Практикум по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений (190,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова С. Д. Глызин, А. О. Толбей ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЫКНОВЕННЫХ Учебное пособие Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по специальностям Прикладная математика и информатика и Прикладная математика в экономике Ярославль 2011

Стр.1

УДК 517.91 ББК В 161.61я73 Г 55 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. План 2010 / 2011 учебного года Рецензенты: Цыганков М.П., доктор физико-математических наук, профессор; кафедра теории и методики обучения информатике Ярославского государственного педагогического университета им. К. Д. Ушинского Глызин, С. Д. Практикум по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений: учебное пособие / С. Д. Глызин, А. О. Толбей; Яросл. гос. ун-т, Г 55 им. П.Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2011. – 68 с. ISBN 978-5-8397-0816-7 В книге содержатся материалы для упражнений по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения», она включает в себя краткое изложение методов решения, проиллюстрированное подробным разбором, ряда задач, а также подборку заданий для контрольных работ по курсу. Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 010200.65 Прикладная математика и информатика и 080801.65 Прикладная математика в экономике, дисциплина «Дифференциальные уравнения» (блок ЕН), очной формы обучения. Рис. 10. Библиогр.: 11 назв. УДК 517.91 ББК В 161.61я73 ISBN 978-5-8397-0816-7 ○ Ярославский государственный университет c им. П.Г. Демидова, 2011

Стр.2

Оглавление Введение 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка 4 5 1.1. Уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . . . . . . . 11 1.3. Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Варианты контрольной работы № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Линейные дифференциальные уравнения и системы 20 2.1. Линейные дифференциальные уравнения старших порядков с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Формула Остроградского–Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3. Линейные системы с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . 27 2.4. Матричная экспонента и способы ее вычисления . . . . . . . . . . . . 36 2.5. Варианты контрольной работы № 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6. Варианты контрольной работы № 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3. Устойчивость решений дифференциальных уравнений 43 3.1. Первый метод Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2. Метод функций Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3. Построение фазового портрета системы на плоскости . . . . . . . . . . 52 3.4. Варианты контрольной работы № 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4. Последовательные приближения и метод малого параметра 60 4.1. Метод последовательных приближений Пикара . . . . . . . . . . . . . 60 4.2. Метод малого параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3. Краевые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.4. Варианты контрольной работы № 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Литература 67

Стр.3

Введение Пособие для практических занятий по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения» содержит подборку задач с решениями и кратким изложением необходимых теоретических сведений. Материал разделен на четыре главы. В первой из них обсуждаются уравнения первого порядка. Подробно рассматриваются уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, а также некоторые сводящиеся к ним. Глава завершается вариантами контрольной работы по уравнениям первого порядка. Вторая глава посвящена линейным уравнениям старших порядков и системам обыкновенных дифференциальных уравнений. В первую очередь и достаточно подробно рассмотрены уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Для неоднородных уравнений и систем изложен метод неопределенных коэффициентов и метод вариации произвольных постоянных. Для линейных уравнений с непостоянными коэффициентами рассмотрены способы понижения порядка уравнения с помощью теоремы Остроградского–Лиувилля в случае, когда известно какое-либо нетривиальное решение. В главе также обсуждаются методы построения матричной экспоненты. В силу важности данной темы по линейным уравнениям и системам запланировано две контрольные работы, в конце второй главы содержится подборка соответствующих задач. Задачи по теории устойчивости и некоторые связанные с ними вопросы рассмотрены в третьей главе. В частности, обсуждаются практические аспекты применения первого и второго методов Ляпунова, приведены примеры использования критериев устойчивости многочленов. В главе также содержится сводка правил построения и результатов решения задач по определению фазового портрета линейной системы с постоянными коэффициентами на плоскости. Как и предыдущие главы, данная глава завершается вариантами контрольной работы по этой теме. В последней главе пособия собраны задачи на построение методом последовательных приближений и методом малого параметра приближенных решений начальной задачи Коши обыкновенных дифференциальных уравнений. В третьей части главы обсуждаются способы и приводится пример решения краевых задач и построения функции Грина. Как обычно, глава завершается вариантами контрольной работы. Наша книга не ставит целью дать свод задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям, для этого имеются ряд специализированных сборников задач [1–6], среди которых в первую очередь следует отметить книгу А.Ф. Филипова, пережившую большое количество переизданий (см., например, [1, 2]) и сборник коллектива авторов (М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко) [3]. Пособие в большей степени предназначено для того, чтобы проиллюстрировать ряд ключевых проблем, изучаемых в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений, и способствовать лучшему пониманию и усвоению соответствующего материала. 4

Стр.4