Математический анализ (190,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова М. В. Ануфриенко, В. А. Бондаренко, А. В. Зафиевский, Г. В. Шабаршина Математический анализ Учебное пособие Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по специальности Прикладная математика и информатика Ярославль 2010 1

Стр.1

УДК 51:37 ББК Ч481. 28я73 М 34 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. План 2009/10 учебного года Рецензенты: Е. И. Смирнов, доктор педагогических наук, профессор ЯГПУ, академик РАЕН; кафедра кибернетики ЯГТУ М 34 Математический анализ: учебное пособие / М. В. Ануфриенко, В. А. Бондаренко, А. В. Зафиевский, Г. В. Шабаршина; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2010. – 140 с. ISBN 978-5-8397-0773-3 Настоящее учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов по программе курса математического анализа, который читается на факультете ИВТ. В пособии собраны материалы, которые позволят облегчить подготовку студентов младших курсов к практическим занятиям, зачетам и экзаменам по одной из наиболее сложных дисциплин математического и естественно-научного цикла. Предназначено для студентов, обучающихся по направлению Прикладная математика и информатика (дисциплина «Математический анализ», цикл МЕН), очной формы обучения. УДК 51:37 ББК Ч481. 28я73 ISBN 978-5-8397-0773-3 © Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2010 2

Стр.2

Оглавление Предисловие ........................................................................................ 5 Немного из истории ............................................................................ 9 Глава 1 ................................................................................................ 15 § 1.1. Числовые множества. Границы числовых множеств. Метод математической индукции ............................................................................ 15 § 1.2. Числовые последовательности. Предел последовательности ......... 20 § 1.3. Функция. Предел функции ................................................................. 26 § 1.4. Непрерывность функции. .................................................................... 31 § 1.5. Дифференцируемость функции .......................................................... 34 § 1.6. Исследование функции ....................................................................... 38 Приложение к главе 1 .................................................................................... 41 Глава 2 ................................................................................................ 47 § 2.1. Неопределенный интеграл. ................................................................. 47 § 2.2. Определенный интеграл ...................................................................... 50 § 2.3. Несобственные интегралы .................................................................. 53 § 2.4. Числовые и степенные ряды. .............................................................. 58 § 2.5. Функции нескольких переменных. .................................................... 64 Приложение к главе 2 .................................................................................... 69 Глава 3 ................................................................................................ 74 § 3.1. Функциональные последовательности .............................................. 74 § 3.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей 77 § 3.3. Функциональные ряды. Нахождение множества сходимости функционального ряда .................................................................................. 81 § 3.4. Равномерная сходимость функциональных рядов .......................... 83 § 3.5. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся функциональных рядов ................................................................................. 86 § 3.6. Ряды Фурье. Разложение периодических функций в ряд Фурье ... 88 3

Стр.3

§ 3.7. Интегралы, зависящие от параметра. Вычисление предельной функции ............................................................... 90 § 3.8. Нахождение множества сходимости интеграла, зависящего от параметра ............................................................................... 91 § 3.9. Исследование интегралов на равномерную сходимость по параметру ................................................................................................... 93 Приложение к главе 3 .................................................................................... 95 Глава 4 .............................................................................................. 100 § 4.1. Комплексные числа ........................................................................... 102 § 4.2. Последовательности и ряды комплексных чисел .......................... 104 § 4.3. Аналитические и гармонические функции ..................................... 106 § 4.4. Ряды Тейлора ...................................................................................... 112 § 4.5. Вычеты ................................................................................................ 115 § 4.6. Интеграл по замкнутому контуру .................................................... 120 § 4.7. Вычисление определенных интегралов ........................................... 123 § 4.8. Конформные отображения ................................................................ 128 Приложение к главе 4 .................................................................................. 132 Список литературы ......................................................................... 136 Основная рекомендуемая литература ........................................................ 136 Дополнительная рекомендуемая литература ............................................ 136 4

Стр.4

Предисловие В 2011 г. начинается массовый переход российского высшего образования к многоуровневой системе и новым федеральным государственным образовательным стандартам (ФГОС). Тем не менее введение двух (или трех – в будущем) уровней высшего образования не является главным элементом новой системы. Центральный ее момент – ориентация высших учебных заведений на конечный результат: знания выпускников должны быть применимы в практической деятельности, что должно в гораздо большей степени обеспечить трудоустройство выпускников. Для того чтобы студенты, заканчивающие ту или иную специальность (или направление – в новой терминологии), были востребованы на рынке труда, работодатели должны иметь возможность получить ясное представление о содержании квалификаций, полученных студентами в процессе обучения, и об их качестве. Средством, облегчающим работодателям понимание квалификации выпускников, призваны служить компетенции, отражающие содержание обучения и зачетные единицы (кредиты), выражающие затраты времени студентов на освоение дисциплин. Под компетенцией обычно понимается способность специалиста применять приобретенные знания, умения и навыки для получения конкретного практического результата. Типичным примером использования компетенций может служить выполнение курсовой работы, в ходе чего студенту необходимо применить самые разнообразные умения, причем не только математические. Надо отметить, что в процессе выполнения таких практических работ студент приобретает, кроме профессиональных, также и общекультурные компетенции, не связанные непосредственно с выбранной профессией. В примере с курсовой работой такой общекультурной компетенцией является, в частности, умение делать обзор литературы. Здесь хочется отметить, что общекультурные компетенции приобретаются не отдельно от профессиональной деятельности, а в ее ходе. Они играют роль «клея», объединяющего все приобретенные студентом компетенции в единую модель специалиста. Это означает, что в ходе изучения дисциплин, направленных на освоение студентом профессио5

Стр.5