Студент выполняет одну задачу из каждого задания с номером, соответствующим его варианту. <...> По своему усмотрению преподаватель может использовать материалы указаний для проведения контрольных и самостоятельных работ, выполнения домашних заданий. <...> П. Г. Демидова, Изучение курса «Математика» начинается с освоения темы «Линейная алгебра» как одной из основополагающих тем современной математики. <...> Студент знакомится с понятиями линейной алгебры; осваивает основные приемы решения практических задач, что способствует развитию четкого логического мышления. <...> Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы. <...> Элементы nn a , a , ., a 11 22 квадратной матрицы порядка n образуют ее главную диагональ. <...> . Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах. <...> Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. <...> Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны 1, а остальные равны 0. <...> Линейные операции над матрицами Суммой матриц А и В одинаковой размерности mn называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах: cij ij ij a b , i 1,.,m, j 1,., n . <...> 5 1 6 Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число: B A , bij a ij для i 1,2,., ;m j 1,2,.,n . <...> Перемножение матриц Произведением матрицы А размерности mp и матрицы В размерности pn называется матрица С размерности m n , каждый элемент которой ij c определяется формулой: cij a b i k1 p ik kj , 1,., m j 1,., n. , Таким образом, элемент ijc представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. <...> Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще <...>
Математика_Методические_указания.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Кафедра регионоведения и туризма
Математика
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета для студентов,
обучающихся по специальности
Социально-культурный сервис и туризм
Ярославль 2009
1
Стр.1
УДК 51:37
ББК В 1я73
М 34
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2009/10 года
Рецензент
кафедра регионоведения и туризма ЯрГУ им. П. Г. Демидова
Составитель А. О. Толбей
Математика: метод. указания / сост. А. О. Толбей; Яросл.
М 34
гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль : ЯрГУ, 2009. –
55 с.
Методические указания составлены в соответствии с
Государственным образовательным стандартом. Приведены
индивидуальные задания, содержащие 25 вариантов.
Студент выполняет одну задачу из каждого задания с
номером, соответствующим его варианту. По своему
усмотрению преподаватель может использовать материалы
указаний для проведения контрольных и самостоятельных
работ, выполнения домашних заданий.
Предназначены для студентов, обучающихся по
специальности 100103.65 Социально-культурный сервис и
туризм (дисциплина «Математика и информатика», блок
ЕН), очной формы обучения.
УДК 51:37
ББК В 1я73
Ярославский
университет
2009
2
государственный
им. П. Г. Демидова,
Стр.2
Изучение курса «Математика» начинается с освоения темы
«Линейная алгебра» как одной из основополагающих тем
современной математики. Студент знакомится с понятиями
линейной алгебры; осваивает основные приемы решения
практических задач, что способствует развитию четкого
логического мышления.
За время изучения курса студент должен приобрести:
– умение использовать математический аппарат дисциплины
при решении стандартных задач;
– умение оперировать понятиями и методами дисциплины,
используемыми в дальнейшей учебной и профессиональной
деятельности.
1. Матрицы и операции над ними
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел
a11
A
a21
...
am1
a12
a22
...
am2
Обозначения: А – матрица, ij
...
...
...
...
a1
a2
a
n
n
...
mn
строки, в которой стоит данный элемент,
a – элемент матрицы, i номер
j номер
соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число
ее столбцов.
Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом
случае называют порядком квадратной матрицы. Элементы
nn
a , a , ..., a
11
22
квадратной матрицы порядка n образуют ее главную
диагональ.
Например,
A
2 1
3
1 2 7
0 5 4
порядка. Главная диагональ матрицы a11 2,a22
3
– квадратная матрица третьего
5,a33 7 .
.
Стр.3
Матрицы одинаковой размерности называются равными,
если у них соответственно равны элементы, стоящие на
одинаковых местах.
Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0.
Квадратная матрица называется единичной, если элементы,
стоящие на ее главной диагонали, равны 1, а остальные равны 0.
Например,
E
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
– единичная матрица четвертого порядка.
Транспонированием матрицы называется операция, в
результате которой меняются местами строки и столбцы с
сохранением порядка их следования. В результате получается
матрица
A
Т
(может
a11
a21
A
Например, A
1 2 3;456
a12
a22
am1
a1
a2
n
n
a 2m amn
обозначаться
A
T
,
A
Т
a11
a12
4 3
5 2
6 1
.
1.1. Линейные операции над матрицами
Суммой матриц А и В одинаковой размерности mn
называется матрица С той же размерности, каждый элемент
которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же
местах:
cij ij
ij
a b , i 1,...,m, j 1,..., n .
4
a1n
a21
a22
a
a
a 2
m
m
2n amn
A ),
называемая
транспонированной по отношению к матрице А, элементы
которой связаны с элементами А соотношением a′ij = aji :
1
.
0 0
O 0 0 – нулевая матрица второго порядка,
Стр.4
B 1 4
5
Пример 1.1. Найти сумму матриц
0
1 .
3
Решение.
Вычислим элементы матрицы С = А + В, складывая элементы
исходных матриц, стоящие на одинаковых местах:
c11 1 0;
c21 a21
a11
b11
b21
1
0 5 5;
c22 a22 b22 1; c23 a23 1 6.
c12 a12
3
b12
Следовательно, A B 0 2 4 .
5
1 6
Произведением матрицы на число называется матрица той
же размерности, что и исходная, все элементы которой равны
элементам исходной матрицы, умноженным на данное число:
B A
,
bij
a
ij для i 1,2,..., ;m j 1,2,...,n .
Разность матриц А – В можно определить так: А – В=A+(-B).
Пример 1.2. Найти матрицу 2А – 3В, если
А
Решение.
2А
6
4 10 0 , 382
2 5 0 ,41
3
В
В 3 9 6
6 3
3
Итак, 2А – 3В 3
2 7 12
11 2
2 7 12
11 2
.
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число
обладают следующими свойствами:
1. A+B=B+A;
2. A+(B+C)=(A+B)+C;
5
1 3 2
2 1
4 .
12 , 2А В3
6 3
.
4 6 10 3 0 12
2 9 8 6
2 4 2;
2
c13
b23
a13
b13
7
4 0 4;
A 1
0 2 7
2 4
и
Стр.5