Асимптотические методы в нелинейной механике (110,00 руб.)

Такими особенностями являются, например, нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной формы и т.д. <...> Мало того, если даже точное решение задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для физической интерпретации или численных расчётов. <...> В этом пособии рассмотрены метод усреднения, метод погранфункций решения сингулярно возмущённых обыкновенных дифференциальных уравнений и метод интегральных многообразий, позволяющий в некоторых случаях понизить размерность системы до двух. <...> Теоремы приведены без доказательств, сделан акцент на описании методов и рассмотрении простых примеров. <...> 2 Высшие приближения метода двух масштабов на полуоси для нелинейных систем с периодическими коэффициентами На полуоси [0, ∞) построим асимптотику решения нелинейной задачи Коши с малым параметром 𝜀 > 0 <...> Через 𝐴0 обозначим производную Фреше 𝑑𝐴(𝑥)/𝑑𝑥 в точке 𝑥 = 𝑥∗. <...> Будем считать, что весь спектр матрицы 𝐴0 принадлежит левой открытой комплексной полуплоскости. <...> Будем предполагать, что начальная задача (2) однозначно разрешима при всех 𝑡 ∈ [0, ∞). <...> Вектор 𝐻(∞) ∈ ℝ𝑚 является экспоненциальным пределом при 𝑡 −→ ∞ отображения 𝐻 : [0, +∞) → ℝ𝑚, если существуют такие положительные константы 𝑐0 и 𝜎, что при всех 𝑡 ≥ 0 справедливо ∥𝐻(𝑡) − 𝐻(∞)∥ ⩽ 𝑐0𝑒−𝜎𝑡. <...> 0 Обозначим через 𝒦𝜏 , ℐ𝜏 соответственно оператор удаления среднего 𝒦𝜏 [𝑓 ] = 𝑓 (𝑥, 𝑡, 𝜏 ) − ℳ𝜏 [𝑓 ](𝑥, 𝑡) и оператор интегрирования с последующим удалением среднего <...> + 𝜀𝑛[𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 + 𝑤𝑛]. Здесь 𝑣𝑖(𝑡, 𝜏 ), 𝑤𝑖(𝜏 ) – неизвестные, 2𝜋-периодические по 𝜏 векторфункции со значениями в ℝ𝑚, имеющие нулевое среднее по 𝜏 на [0, 2𝜋] <...> Приравнивая слагаемые при одинаковых степенях 𝜀, мы, как это будет видно в дальнейшем, всегда (т.е. на каждом шаге построения асимптотики) будем получать уравнение, правую часть которого можно однозначно представить в виде суммы трёх слагаемых. <...> При этом первое слагаемое будет зависеть только от 𝑡 и будет приравниваться <...>