ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"
М.И. Каменский, А.М. Красносельский, Ю.В. Лысакова
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
Учебно-методическое пособие для вузов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2011
Стр.1
Содержание
1 Вполне непрерывные операторы
4
1.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Линейные вполне непрерывные операторы . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Спектр линейного вполне непрерывного оператора . . 4
1.3.2 Собственные значения линейного вполне
непрерывного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Вполне непрерывные операторы, зависящие от параметра 5
2.1 Элементы теории возмущений линейных вполне
непрерывных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Теория возмущений вполне непрерывных векторных полей . 10
3 Теорема о бифуркации
10
3.1 Определение бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Необходимые условия бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Достаточные условия бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . 15
3
Стр.3
Доказательство.
Поскольку λmk
mk
→λ0 = 0, то 1
совокупности переменных hmk
G(hmk
λmkG(hmk
)Ω ⊂ G(H ×Ω) и так как
em = 1
λm
G(hm)em + 1
λm
ym,
Делая предельный переход в равенстве (1) при m→∞, получаем
e0 = 1
(1)
то в силу Леммы 1 имеем, что множество em – относительно компактно.
λ0G(0)e0.
Лемма 3 Предположим, что оператор G(0) не имеет собственных
значений в некотором замкнутом множестве Z ⊂ C/{0}, и множество
Z – ограничено. Тогда для достаточно больших m и для λ ∈ Z операторы
(λI − G(hm))−1 определены, нормы (λI − G(hm))−1 ограничены общей
константой и
(λI −G(hm))−1y →(λI −G(0))−1y при m→∞
равномерно по λ и для любого y ∈ E.
достаточно больших m и λ ∈ Z покажем, что σ(G(hm))Z = ∅.
Предположим противное, что существуют последовательности {λp}, {mp}
и{xp}, p = 1, 2, ... такие, что λp ∈ Z,mp →∞, xp = 1 и λpxp = G(hmp
Доказательство.
Для доказательства существования операторов (λI − G(hm))−1 при
)xp.
Тогда по принципу равномерной ограниченности G(hmp) ограничены
общей константой. Сделовательно, последовательность {λp} ограничена.
Тогда по Лемме 2 оператор G(0) имеет собственное значение в Z, что
константой. Предположим противное, существуют последовательности
{λp}, {xp}, {y}, {mp} (p=1,2,...) такие, что λp ∈ Z, xp = 1,mp →∞ и
yp = (λpI −G(hmp))−1xp
и yp→∞ когда p→∞. Тогда из (2) получим
λpzp = G(hmp
)zp +yp−1xp.
6
противоречит условию.
Покажем теперь, что (λI − G(hm))−1 ограничены общей
(2)
)x является вполне непрерывным по
и x оператором. Поскольку
Стр.6
Но тогда из Леммы 2 следует, что существует λ ∈ Z и z0, z0 = 1 такие,
что λz0 = G(0)z0. Это противоречит условиям Леммы 3.
Докажем, что для любых y ∈ E, y = 1 и λ ∈ Z
(λI −G(hm))−1y →(λI −G(0))−1y
когда m→∞равномерно по λ. Предположим противное, что существуют
µ0 > 0,mp и λp ∈ Z такие, что
(λpI −G(hmp))−1y −(λpI −G(0))−1y ≥ µ0, p = 1, 2, ...
(3)
Без потери общности можно предположить, что последовательность {λp}
сходится к некоторой точке λ ∈ Z. Тогда из (3) можно заключить, что
существует такое N, что
(λpI −G(hmp))−1y −(λI −G(0))−1y ≥
для всех p ≥ N. Положим
xp = (λpI −G(hmp)−1y.
λpxp = G(hmp
)xp +y.
Тогда из Леммы 2 следует, что подпоследовательность {xpk
λx0 = G(0)x0 +y.
Тогда x0 = (λI −G(0))−1y, то есть
(λpk
I −G(hnpk ))−1y →(λI −G(0))−1y, k →∞,
что противоречит неравенству (4), поэтому последнее справедливо для всех
p ≥ N.
Лемма 4 Если оператор G(0) имеет простое собственное значение λ0,
тогда существует ε > 0 и существует m0 такое, что для всех
m ≥ m0 оператор G(hm) имеет единственное собственное значение λm,
удовлетворяющее условию |λm−λ0| < ε, причем это собственное значение
простое.
7
последовательности {xp} сходится к вектору x0, который удовлетворяет
равенству
}
(5)
Из доказанного ранее следует, что xp равномерно ограничены. Можно
переписать (5) как
µ0
2
(4)
Стр.7
что G(hmp
– граница круга B(λ0, ε0). Рассмотрим проекторы Pmp
оператору G(hmp
) и контуру Γ1.
Поскольку внутри Γ1 существует точка спектра оператора G(0), то P0 =
0, то есть ∃x = 0 в P0E. Но тогда P0x = x и Pmp
контура Γ1 нет точек спектра оператора G(hmp
Pmp
независимые векторы такие, что
λ1
λ2
m,λ2
m →λ0 , e1
m, e2
x = 0, так как внутри
). Следовательно оператор
B(λ0, ε). Предположим противное. Тогда имеем: ∃λ1
me1
me2
При этом λ1
m = G(hm)e1
m = G(hm)e2
m
m
m →e0 при m→∞ и
λ0e0 = G(0)e0, λ0 - простое собственное значение оператора G(0).
Введем проекторы
Pmx = x− < g0, e1
Из (6) и (7) следует
λ2
m(αme1
m +Pme2
mPme2
m) = λ1
< g0,x >
m >e1
mαme1
Применим к обеим частям оператор Pm:
λ2
Следовательно Pme2
m = 0 и e1
m, e2
m.
m +G(hm)Pme2
m = PmG(hm)Pme2
m.
m линейно зависимы.
Покажем теперь, что λm – простое собственное значение. Предположим
противное, то есть, что существует присоединенный вектор к собственному
вектору, отвечающему собственному значению λm, то есть выполнены
равенства
G(hm)em = λmem
G(hm)em = λmem +em
8
(8)
(9)
m.
x не сходится к оператору P0x, что противоречит Лемме 3.
Покажем теперь, что собственное значение λm – единственно в круге
m,λ2
m, ∃e1
m, e2
m – линейно
(6)
(7)
Доказательство.
Докажем вначале существование собственного значения λm оператора
G(hm) в круге B(λ0, ε).
Предположим противное, что существуют ε0 и mp, p = 1, 2, ..., такие,
) не имеет собственных значений в круге B(λ0, ε0). Пусть Γ1
, соответствующие
Стр.8