МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Т. К. Кацаран,
Л. Н. Строева
НАХОЖДЕНИЕ ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ
ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
(лабораторная работа)
Методическое пособие для студентов вузов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2011
Стр.1
ных уравнений с периодическими коэффициентами вида
d (),)( xtBAt
= +
– малый параметр, т.е. системы, мало отличающиеся от систем с постоянными
коэффициентами. Здесь x R n∈ , A – постоянная матрица, )
где
B(t –
интегрируемая на каждом конечном промежутке вещественной прямой
матрица-функция, )
B(t T B(t=+
)
,
t R∈ , 0
нято называть слабовозмущенными.
Известно, что матрицант системы
является аналитической функцией параметра
X t( , ) при любом фиксированном t
< r 0 .
в промежутке
Многие задачи современной техники приводят к исследованию систем
указанного вида. Для этих систем требуется определить порядок роста
или убывания решений, выделить области устойчивости или неустойчивости
системы на плоскости или прямой параметров. Часто «невозмущенная»
система для
возмущенная система может быть неустойчивой даже при сколь угодно малых
.
(или
мультипликаторов системы) при малых
Эти задачи сводятся к вычислению характеристических показателей
.
ких систем. Он сводится к численному нахождению мультипликаторов системы
и исследованию их зависимости от
В настоящей работе применяется прямой метод для исследования та.
=
0 является устойчивой, но не асимптотически, при этом
T > . Системы такого вида приВ
настоящей работе исследуются системы линейных дифференциальdx
3
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
Стр.3
xe tf=+f[()21 2
..................
xe f
σασ
() () ( )
11
σασ
=
() () ( )
t
t
σ
σ
x=++
mσ
(σ=1, ..., ;sm m n),
(–1)!
...
1 + + =
где f ( ) ( )t
n
( −
( ))m
матрицы К.
x t = e f t
( )
t
mm
s
() ()σασ t
ϖ
e
[ 1
1
( ) ...
t ft ftσ ( )];
mσ−1
( )
σ
( )
σ
– Т-периодические вектор-функции с кусочно-непрерывной интегрируемой
производной. Каждая группа решений соответствует элементарному
делителю
Собственные значения матрицы К называются характеристическими
показателями системы (1). Каждому характеристическому показателю
соответствует одно или несколько решений системы (1) вида
( ),
шение вида (10), то
дого мультипликатора
( 10)
где f ( )t – T-периодическая векторная функция. Обратно, если найдено ре–
характеристический показатель. Причем для кажстических
показателей
, таких, что
T
1 ln
системы (1) можно указать множество характери=
e T
.
Из последнего равенства получаем следующую формулу связи между
характеристическими показателями и мультипликаторами T-периодической
линейной системы дифференциальных уравнений:
= + 2 ,im m Z .
∈
На основании вышеизложенных фактов о структуре решений системы
(1) и общих теорем об устойчивости линейных систем сформулированы
следующие теоремы об устойчивости системы (1) в терминах характеристических
показателей и мультипликаторов.
Предположим, что элементы матрицы А(t) представляют собой кусочно-непрерывные,
интегрируемые на каждом конечном интервале вещественной
оси функции. Это гарантирует существование, единственность и
продолжимость решения задачи Коши 00
x() =
tx при всех t ≥ .
t 0
Теорема 1. При сделанных предположениях относительно матрицы
А(t) система (1) устойчива тогда и только тогда, когда вещественные части
всех ее характеристических показателей не положительны, причем в случае
чисто мнимых или нулевых характеристических показателей максимальная
из размерностей соответствующих им клеток Жордана матрицы К должна
быть равна 1.
Следствие. Система (1) неустойчива тогда и только тогда, когда существует
характеристический показатель системы с положительной вещественной
частью или характеристический показатель, вещественная часть ко6
();
t
t
(
)
σ
( )];
t
(9)
α
σ
λ
σ
α ρ
α
ρ
α
ασ
α
α
ρ
π
Стр.6
торого равна 0, а размерность соответствующей ему клетки Жордана матрицы
К больше 1.
Теорема 2. При сделанных ранее предположениях относительно матрицы
А(t) система (1) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда
вещественные части всех ее характеристических показателей отрицательны.
Теорема
3. При сделанных выше предположениях относительно матрицы
A( )t система (1) устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы
лежат внутри или на границе круга, радиус которого равен единицы
на комплексной плоскости, причем, если мультипликаторы лежат на
границе этого круга, максимальная размерность соответствующих им
клеток Жордана матрицы монодромии должна быть равна единице.
Теорема 4. При сделанных ранее предположениях относительно матрицы
A( )t система (1) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда
ее мультипликаторы лежат внутри круга радиусом единица на комплексной
плоскости.
Теорема 5. Линейная T-периодическая система (1) с кусочнонепрерывной,
интегрируемой на каждом конечном промежутке вещественной
прямой матрицей-функцией
Таким образом,
задача исследования устойчивости
2. Постановка задачи
Приведенные здесь теоретические сведения являются предисловием к
постановке следующей задачи: рассматривается слабовозмущенная Т-периодическая
система:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
<
dx2
dt
dt a x a x
dx
11 22
>
1 = 11 1 + 12 2 + (b t x b t x ),
= 21 1 + 22 2
a x a x + (b t x b t x ),
11( ) 1 + 12 ( )
21( ) 1 + 22 ( )
где a11 + a22 0 , a a − aa21 12 0 , a R , ij∈ { }
Функции b ( )tij
, ,{1, 2}∈ij
ij ∈ ,1, 2 .
2
(12)
предполагаются кусочно-непрерывными, интегрируемыми
на каждом конечном промежутке вещественной прямой,
T-периодическими.
7
2
(11)
A( )t имеет T-периодическое решение тогда
и только тогда, когда по крайней мере один из его мультипликаторов равен
единице; она имеет 2T-периодическое решение тогда и только тогда, когда
существует мультипликатор, равный ( )1− .
линейной
Т-периодической системы сводится к построению матрицы монодромии и
нахождению ее мультипликаторов.
ε
ε
Стр.7
при
Условия (12) гарантируют асимптотическую устойчивость системы
= 0. При малых изменениях параметра
тойчивость, при дальнейшем возрастании
система (1) сохраняет уснаиболее
вероятен переход
системы в неустойчивое состояние. Если a11 + a22 0> , что гарантирует по,
а в случае комплексно-сопряженных собственных значений
1 0<
,
2 0>
,
1 0,>
2 0>
∈ − 1 1
( 1
чения ,1
∈( ,1 1 + ∪ − 2 ,
, )∪( ,
1)
(
(0 2 >
2
2
ложительность одного или обоих собственных значений матрицы
A = { } 2,1, =jiija
положительность их вещественных частей, система (11) неустойчива. Более
подробно: существуют такие значения
, что при
2 + 2 ) система (11) неустойчива (устойчива), а при
2 ) эта система устойчива (неустойчива). Эти зна2
называются, как правило, точками бифуркации системы.
Задача состоит в том, чтобы найти минимальные значения
1 < ,0), при которых происходит переход системы из устойчивого
состояния в неустойчивое или наоборот, и исследовать поведение решений
системы в окрестности точек бифуркации.
Конкретнее, решение поставленной задачи состоит из следующих этапов:
уравнений
исследовать наличие точек бифуркации при
б) построить графики зависимости от
0
промежутке
, 0 k < , k = 1, 2.
Обозначим
2 >
,
0
k(
≤ ;
в) найти минимальные по модулю точки бифуркации системы (11):
1 0<
условиям
или условиям
k(
где
k = 1, 2, 1. Через
0 < <<
ряющие начальным условиям
k
(0)
на промежутке tT ;
∈ 0, 2 ]
[
д) в заключение ответить на следующие вопросы:
– является ли система (11) при
экспоненциально неустойчивой?
8
= 0 асимптотически устойчивой или
k − >) 1,
ak
x± ( )tk
k(
k + <) 1,
( ) обозначим соответствующий ему нормированный
собственный вектор матрицы монодромии;
г) построить графики решений
x± = ak (
k ±
исследуемой системы, удовлетво)
, k = 1, 2, 1
0 < <<
(13)
k( ) за мультипликатор системы (11), удовлетворяющий
k − <) 1,
k(
k + >) 1
а) для данной Т-периодической системы линейных дифференциальных
≤ ;
0
модулей мультипликаторов на
ε
ε
δ
ε
ε
ε
ε
δε
ε
ε
ε
εε δε
ε
δ
ε
δ
εε ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
δ
δ
ε ρε
ε
ρε
δ
ρε
ε
δ
ε
ε
ρε
δ
δ
ρε
δ
ε
δ
ε
Стр.8