Дифференциальные уравнения с запаздыванием нейтрального типа . <...> Общий вид решения линейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием
15 <...> Общий вид решения линейной неавтономной системы
дифференциальных уравнений с запаздыванием . <...> Общий вид решения линейной автономной системы
дифференциальных уравнений с запаздыванием . <...> Характеристические показатели линейных периодических систем с запаздыванием . <...> Устойчивость положения равновесия при отсутствии заболевания . <...> Устойчивость положения равновесия в случае хронического заболевания . <...> Устойчивость положения равновесия в периодической
модели производства товаров . <...> Методы изучения математических моделей с запаздыванием разрабатывались и получили теоретическое обоснование в
теории функционально-дифференциальных уравнений. <...> Для них класс
функционально-дифференциальных уравнений теряет универсальность. <...> Переход к функциональному пространству состояний, предложенный Н. Н. Красовским, позволяет использо5
вать новую универсальную форму математической модели —
класс дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. <...> Реализация последнего
требования связана с применением теории дифференциальных
уравнений в банаховом пространстве. <...> т. е. последействие отсутствует, то уравнение (1.1) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение
dx(t)
= F (t, x(t)).
dt <...> Дифференциальные уравнения
с запаздыванием
Проблему существования и единственности решений уравнения (1.1) обсудим для класса дифференциальных уравнений
с одним сосредоточенным постоянным запаздыванием
dx(t)
= F (t, x(t), x(t − r)),
dt <...> Метод шагов интегрирования дифференциальных уравнений с запаздыванием позволяет заменить задачу
нахождения решения задачи Коши для уравнения (1.3) последовательностью задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений [39] (рис. <...> Метод шагов интегрирования
дифференциальных уравнений
с постоянным запаздыванием
и начальное условие x(t0 , t0 , ϕ) = ϕ(t0 ). <...> Следовательно <...>
Математические_модели_динамических_систем_с_запаздыванием.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА
Ю. Ф. Долгий, П. Г. Сурков
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Рекомендовано методическим советом УрФУ
в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся
по программе бакалавриата по направлению подготовки
010800 «Механика и математическое моделирование»,
по программе магистратуры по направлению подготовки
010300 «Фундаментальные информатика и информационные технологии»
Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2012
Стр.2
УДК 517.938(075.8)
Д 64
Рецензенты:
кафедра мехатроники Уральского государственного университета путей сообщения
(заведующий кафедрой доктор технических наук, профессор Б.М. Готлиб);
В.
И. Максимов, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий
отделом дифференциальных уравнений Института математики и механики
УрО РАН
Долгий, Ю. Ф.
Д 64 Математические модели динамических систем с запаздыванием :
учеб. пособие / Ю. Ф. Долгий, П. Г. Сурков. – Екатеринбург : Изд-во
Урал. ун-та, 2012. – 122 с.
ISBN 978-5-7996-0772-2
В учебном пособии рассмотрены математические модели с запаздыванием,
описывающие поведение динамических систем в различных прикладных областях
науки и техники. Приведены основные результаты теории функциональнодифференциальных
уравнений. Использованы методы качественного анализа
при исследовании конкретных математических моделей с запаздыванием.
Для студентов университетов, изучающих методы математического моделирования.
УДК
517.938(075.8)
ISBN 978-5-7996-0772-2
-Уральский федеральный университет, 2012
c
c
-Долгий Ю. Ф., Сурков П. Г., 2012
Стр.3
Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Дифференциальные уравнения с запаздыванием
7
1.1. Дифференциальные уравнения с запаздыванием . . . . . 8
1.2. Дифференциальные уравнения с распределенным запаздыванием
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Дифференциальные уравнения с запаздыванием нейтрального
типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Общий вид решения линейной системы дифференциальных
уравнений с запаздыванием
15
2.1. Общий вид решения линейной неавтономной системы
дифференциальных уравнений с запаздыванием . . . . . 15
2.2. Общий вид решения линейной автономной системы
дифференциальных уравнений с запаздыванием . . . . . 23
3. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
с запаздыванием
31
3.1. Определения устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Устойчивость линейных автономных систем дифференциальных
уравнений с запаздыванием . . . . . . . . . . . 32
3.3. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве 33
3.4. Характеристические показатели линейных периодических
систем с запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. Популяционная модель Хатчинсона
39
4.1. Описание математической модели . . . . . . . . . . . . . 39
4.2. Устойчивость положения равновесия. Метод
D-разбиения в случае одного параметра . . . . . . . . . 40
5. Модель кроветворения Мэкки–Гласса
44
5.1. Описание математической модели . . . . . . . . . . . . . 44
5.2. Устойчивость положения равновесия. Метод
D-разбиения в случае двух параметров . . . . . . . . . . 44
6. Популяционная модель «хищник–жертва»
49
6.1. Популяционная модель Лотки–Вольтерра . . . . . . . . . 49
6.2. Популяционная модель Мэя . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3
Стр.4
7. Модель инфекционного заболевания Марчука
56
7.1. Описание математической модели . . . . . . . . . . . . . 56
7.2. Устойчивость положения равновесия при отсутствии заболевания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3. Устойчивость положения равновесия в случае хронического
заболевания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8. Влияние запаздывания на движение заряженной частицы 64
8.1. Описание математической модели . . . . . . . . . . . . . 64
8.2. Исследование устойчивости круговых движений заряженной
частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9. Модель деформации вязкоупругого стержня
10. Модель роста и деления клеток
71
9.1. Описание математической модели . . . . . . . . . . . . . 71
9.2. Устойчивость вертикальных положений равновесия . . . 72
77
10.1. Описание математической модели . . . . . . . . . . . . 77
10.2. Эволюционные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
10.3. Асимптотическое поведение решений . . . . . . . . . . 82
11. Модель фрезерования металлов
85
11.1. Описание математической модели . . . . . . . . . . . . 85
11.2. Области устойчивости в автономной модели . . . . . . 86
11.3. Параметрический резонанс в периодической модели . . 89
12. Двухпродуктовая модель производства товаров
96
12.1. Описание математической модели . . . . . . . . . . . . 96
12.2. Устойчивость положения равновесия в автономной
модели производства товаров . . . . . . . . . . . . . . 97
12.3. Устойчивость положения равновесия в периодической
модели производства товаров . . . . . . . . . . . . . . 99
13. Периодические колебания в популяционной модели
Хатчинсона
109
13.1. Бифуркация Хопфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
13.2. Вычисление периодического решения . . . . . . . . . . 110
13.3. Устойчивость периодического решения . . . . . . . . . 113
Библиографические ссылки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Стр.5