Как и
в теории Галуа, в теории Пикара Вессио по произвольному
дифференциальному уравнению определяется группа инвариантных преобразований уравнения. <...> Произвольная алгебраическая группа G обладает разрешимым радикалом
vii
viii
radG . <...> Торы представляют алгебраические группы, изоморфные прямому произведению мультипликативных
групп поля определения. <...> Если же максимальный тор алгебраической
группы все еще представляет прямое произведение мультипликативных групп поля определения, то такой тор и сама алгебраическая группа называются расщепимыми группами. <...> Отметим, что к настоящему времени О.В. Белеградеком приведено групповое описание
унипотентных частей простых групп типа An даже для ассоциативного кольца определения, итоги этой работы подведены в
статье: Belegradek O.V. <...> Описываются группы точек всех разрешимых алгебраических групп с конечным центром без каких-либо ограничений типа изотропности. <...> 5.14 доказано, что для группы точек G любой связной алгебраической группы над полем нулевой характеристики также
имеется совпадение, (G) = (G). <...> В частности, таким является изучение вопроса об изоморфности алгебраических групп, имеющих изоморфные группы точек. <...> А изучение вопроса
об абстрактно изоморфных группах отвечает на вопрос: какие
группы точек при этом будут изоморфными?
xii
Начало таким исследованиям положено в известной статье <...> В этой статье показано, что в случае простых изотропных алгебраических групп над произвольным бесконечным полем определения из изоморфности групп точек
следует изоморфизм алгебраических групп. <...> Кроме того, изоморфизм групп точек таких групп является стандартным. <...> В силу известной теоремы Шелаха элементарная эквивалентность точек
алгебраических групп означает, что группы точек алгебраических групп (над ультрастепенями полей определения) изоморфны. <...> Произвольная алгебраическая группа представляется почти
прямым произведением полупростой алгебраической группы
на разрешимую <...>
Центроиды_групп_и_жесткие_алгебраические_группы .pdf
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
СЕРИИ «МОНОГРАФИИ НГТУ»
д-р техн. наук, проф. (председатель) Н.В. Пустовой
д-р техн. наук, проф. (зам. председателя) А.Г. Вострецов
д-р техн. наук, проф. (отв. секретарь) В.Н. Васюков
д-р техн. наук, проф. А.А. Батаев
д-р техн. наук, проф. А.С. Востриков
д-р техн. наук, проф. А.А. Воевода
д-р техн. наук, проф. В.В. Губарев
д-р техн. наук, проф. В.И. Денисов
д-р физ.-мат. наук, проф. А.К. Дмитриев
д-р физ.-мат. наук, проф. В.Г. Дубровский
д-р филос. наук, проф. В.И. Игнатьев
д-р филос. наук, проф. В.В. Крюков
д-р техн. наук, проф. Г.И. Расторгуев
д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Селезнев
д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Соловейчик
д-р техн. наук, проф. А.А. Спектор
д-р экон. наук, проф. В.А. Титова
д-р юр. наук, доц. В.Л. Толстых
д-р техн. наук, проф. А.Г. Фишов
д-р техн. наук, проф. А.Ф. Шевченко
Стр.1
УДК 519.4
П563
Рецензенты:
Академик РАН Ю.Л. Ершов
д-р физ.-мат. наук, проф. Е. И. Тимошенко
д-р физ.-мат. наук, проф. В. А. Селезнѐв
Пономарев К.Н.
П563 Центроиды групп и жесткие алгебраические группы
: монография / К.Н. Пономарев. – Новосибирск : Изд-во
НГТУ, 2012. – 254 с. (Серия «Монографии НГТУ»)
ISBN 978-5-7782-1978-6
В монографии приводятся результаты авторских исследований в
теории алгебраических групп. Указаны приложения этих результатов к
определению классов жесткости алгебраических групп.
Монография может быть использована студентами старших курсов
и аспирантами университетов различной направленности.
УДК 519.4
ISBN 978-5-7782-1978-6
© Пономарев К.Н., 2012
© Новосибирский государственный
технический университет, 2012
Стр.2
К.N. PONOMAREV
CENTROID OF GROUPS
AND RIGID ALGEBRAIC GROUPS
Monograph
Novosibirsk
2012
Стр.3
UDC 519.4
P563
Reviewers:
Academican of Russian academy of Sciences Yury L. Ershov
Professor E. I. Timoshenko, D.Sc. (Phys. & Math.)
Professor V. A. Seleznev, D.Sc. (Phys. & Math.)
Ponomarev K.N.
P563 Centroid of groups and rigid algebraic groups : monograph /
K.N. Ponomarev. – Novosibirsk : NSTU Publisher, 2012. – 254 pp.
(“NSTU Monographs” series)
ISBN 978-5-7782-1978-6
Exposition of author’s investigations in algebraic group theory is presented
in the monograph. You can find here applications of the theory to
rigidity theory of algebraic groups.
The book can be used by postgraduates.
UDC 519.4
ISBN 978-5-7782-1978-6
© Ponomarev K.N., 2012
© Novosibirsk State Technical
University, 2012
Стр.4
Оглавление
Предисловие
Введение. Центроиды и фактор-морфизмы групп
Глава I. Центроиды нильпотентных групп
1. Центроиды абстрактных групп
2. Конечные группы
3. Инвариантные преобразования
4. Формула Á-Ê-Õ и другие формулы
5. Центроиды полных групп
6. Пополнение группы и ее центроид
Комментарии к главе I
Глава II. Центроиды алгебраических групп
1. Нильпотентные алгебраические группы
2. Алгебраические группы с конечным центром
3. Изогении и центроиды
4. Верхний гиперцентр алгебраической группы
5. Разложения группы
Комментарии к главе II
Глава III. Унипотентные группы
1. Центроиды конечномерных алгебр
2. Фактор - морфизмы абстрактных групп
3. Симметричные когомологии групп
4. Фактор-морфизмы правильных групп
5. Группы точек унипотентных групп
6. Плотность структурных ф.-морфизмов
233
vii
1
7
13
15
21
24
29
32
9
33
35
37
42
47
57
62
7. Пополнения групп и проблема Грюнвальда Сегала 91
Комментарии к главе III
63
64
69
71
79
82
87
96
Стр.245
234
Оглавление
Интермедия. Предмет и инструмент
1. Монолитичность
2. Жесткие унипотентные группы
3. Жесткость алгебр эндоморфизмов
4. Максимальные поля скаляров пространств
5. О центроидах групп
2. Структура квазиминимальных групп
3. Накрытия стандартных групп
102
105
109
4. Минимальные неразрешимые группы
Комментарии к главе IV
Глава V. Экспоненциальное действие
1. Точность экспоненциального действия
2. Нулевая характеристика
3. Абелева группа автоморфизмов
4. К совершенным замыканиям полей
5. Доказательство теоремы 0.2
6. Лемма È. Капланского
Комментарии к главе V
Глава VI. Жесткость квазиминимальных групп
1. К стандартной группе
2. Ядра стандартных групп
3. Классы абстрактного изоморфизма
4. Поля определения QM(L,T)
5. Группа Вейля
6. Свойства групповых колец
7. Основные утверждения
Комментарии к главе VI
Глава VII. Разрешимые алгебраические группы
1. Свойства алгебраических групп
2. Свойства разрешимых групп
3. Квазиминимальные группы
4. Теорема о подобных группах
115
118
122
125
132
97
98
99
Глава IV. Минимальные алгебраические группы 111
1. Квазиминимальные группы
133
136
137
139
141
145
149
150
151
156
165
168
171
176
179
180
186
187
194
200
207
209
Стр.246
Оглавление
5. Оболочки Вейля
Послесловие
Предметный указатель
6. Абстрактные изоморфизмы
7. Некоторые примеры
Комментарии к главе VII
215
219
222
224
225
229
235
Стр.247
236
Table of contents
Table of Contents extended
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Introduction. Centroid and factor - morphismes
of groups.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
Chapter 1. Centroid of nilpotent groups. . . . . . . . . . 7
1. Abstract group centroid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Finite group centroid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. B.-C.-H. formula and others.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
4. Complete group centroid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5. Group completion and centroid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
Comments to the chapter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 2. Algebraic group centroid. . . . . . . . . . . . . . 33
1. Nilpotent algebraic groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2. Algebraic groups with nite center. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3. Isogenies and centroid morphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4. Upper hypercenter of algebraic group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
5. Group decomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
Comments to the chapter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chapter 3. Unipotent groups.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1. Centroid of nite dimensional algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2. Factor - group of abstract group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
3. Symmetric cohomology of group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
4. Factor - morphismes of proper groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5. Points of unipotent groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6. Density of structure factor - morphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7. Completions and Grunewald-Segal problem. . . . . . . . . . . . . . . . .91
Comments to the chapter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Стр.248
Table of contents
Intermedia. Object and tool. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1. Monolithicity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98
2. Rigid unipotent groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
3. Endomorphismes algebra rigidity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4. Maximal scalar elds in linear spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
5. On solvable groups centroid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Chapter 4. Minimal algebraic groups. . . . . . . . . . . . 111
1. Quasiminimal groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
2. Structure of quasiminimal group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3. Standard group coverings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4. Minimal unsolvable groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Comments to the chapter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Chapter 5. Exponential action. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
1. Faithful property of exponential action. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2. Zero characteristic case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3. Commutative automorphismes group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4. Excellency eld closure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141
5. Proof of the theorem.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
6. Kaplanski lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Comments to the chapter.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
Chapter 6. Quasiminimal groups rigidity. . . . . . . 151
1. To standard group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2. Standard group kernel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3. Abstract isomorphismes classes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
4. De nition eld for QM(L,T). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5. Weil group.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
6. Group rings properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7. Statements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Comments to the chapter.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186
237
Стр.249
238
Table of contents
Chapter 7. Solvable algebraic groups. . . . . . . . . . . . 187
1. Algebraic group properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
2. Solvable group properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
3. Quasiminimal groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207
4. Similar group theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5. Weil hull.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215
6. Abstract isomorphismes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219
7. Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Comments to the chapter.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224
Postface.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Table of contents in Russian.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233
Стр.250