О.Ф. Меньших, Ю.Л. Файницкий
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Самара
Издательство СГАУ
2006
УДК 517.958(075)
ББК 22.311
М513
Рецензенты: проф., канд. тех. наук В.Г. Шахов,
доц., канд. физ.-мат. наук В.А. Носов,
доц., канд. физ.-мат. наук М.И. Тимошин
М513
Меньших О.Ф. <...> …...….…18
2.2 Первая смешанная задача для волнового уравнения………………22
2.3 Первая смешанная задача для уравнения теплопроводности…….. <...> 39
4.1 Задача Дирихле для уравнения Лапласа……………………………39
4.2 Краевая задача для уравнения Пуассона в кольце…………………43
5
Краевые задачи, требующие применения специальных функций... <...> 49
5.2 Первая смешанная задача для волнового уравнения………………52
5.3 Первая смешанная задача для уравнения теплопроводности…….. <...> В первой главе рассматривается вводная часть математической физики –
классификация квазилинейных уравнений с частными производными второго
порядка и приведение их к каноническому виду. <...> Вторая глава посвящена основам фундаментального приема математической физики – метода Фурье. <...> На примере первой краевой задачи для волнового уравнения на отрезке достаточно подробно разбирается разделение переменных, решение задачи Штурма-Лиувилля и представление искомой функции в виде ряда по собственным функциям. <...> На этот раз подробно рассматривается задача Дирихле для
уравнения Лапласа, затем решается пример этой задачи. <...> Приводятся также
4
решения уравнения Гельмгольца, Пуассона (в кольце), уравнения теплопроводности и волнового уравнения. <...> На примере уравнения Вольтерра второго рода показано, как применение метода последовательных приближений приводит к понятию резольвенты ядра и как ее использовать для решения интегрального уравнения. <...> Во второй части главы рассматривается уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром. <...> В восьмой главе изложены элементы теории гиперболических систем первого порядка, линейных и квазилинейных <...>
Уравнения_математической_физики.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»
О.Ф. Меньших, Ю.Л. Файницкий
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Самара
Издательство СГАУ
2 0 0 6
Стр.1
УДК 517.958(075)
ББК 22.311
М513
Рецензенты: проф., канд. тех. наук В.Г. Шахов,
доц., канд. физ.-мат. наук В.А. Носов,
доц., канд. физ.-мат. наук М.И. Тимошин
Меньших О.Ф.
М513
Уравнения математической физики: учеб. пособие /
О.Ф. Меньших, Ю.Л. Файницкий. − Самара: Изд-во Самар. гос.
аэрокосм. ун-та, 2006. − 118 с.: ил.
ISBN 5-7883-0395-8
Учебное пособие содержит материалы теоретического характера и решения
типовых задач по курсу математической физики, предусмотренному учебным
планом специальности «Механика». В пособие включены некоторые результаты
оригинальных исследований одного из авторов.
Выполнено на кафедре высшей математики и предназначено для студентов
третьего курса факультета летательных аппаратов, обучающихся по указанной
специальности.
УДК 517.958(075)
ББК 22.311
ISBN 5-7883-0395-8
© Меньших О.Ф., Файницкий Ю.Л., 2006
© Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2006
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие…..…………….……………………………………………………4
Введение..……….………………………………………………………………...6
1
2
3
4
5
6
7
Краевая задача в прямоугольнике………..……….…………… ……..30
3.1 Первая смешанная задача для уравнения теплопроводности….….30
3.2 Первая смешанная задача для волнового уравнения………………34
Краевая задача в круге и кольце…………………………………….....39
4.1 Задача Дирихле для уравнения Лапласа……………………………39
4.2 Краевая задача для уравнения Пуассона в кольце…………………43
Краевые задачи, требующие применения специальных функций...49
5.1 Решение уравнения Гельмгольца…………………………………...49
5.2 Первая смешанная задача для волнового уравнения………………52
5.3 Первая смешанная задача для уравнения теплопроводности……..57
Задача Коши……….….…………………………………………………..60
6.1 Уравнение теплопроводности………………………………….……60
6.2 Волновое уравнение на плоскости………………………………….65
6.3 Волновое уравнение в пространстве………………………………..68
Интегральные уравнения………………………………...……………..72
7.1 Резольвента ядра……………………………………………………..72
7.2 Уравнение с вырожденным ядром……………………………… ….76
8 Гиперболические системы линейных и квазилинейных уравнений………………………………………………………………………….82
8.1
Простейшие линейные уравнения и системы…………….………..82
8.2 Линейные и квазилинейные системы общего вида………………..90
8.3 Простейшая слабо нелинейная гиперболическая система……….100
8.4 Взаимодействие уединенных волн………………………………...108
Заключение……..……………………………………………………………...115
Предметный указатель………….……………………………………………116
Список литературы…….……………………………………………………..118
Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду….10
Краевая задача на отрезке………………………………………………18
2.1 Задача Штурма-Лиувилля ………………………………..…...….…18
2.2 Первая смешанная задача для волнового уравнения………………22
2.3 Первая смешанная задача для уравнения теплопроводности……..26
3
Стр.3