Алгебра и геометрия (190,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

Стр.10

Стр.156

Г.Е. БЕЛАШЕВСКИЙ, Н.А. КАЛУГИН АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ 2007 САМАРА

Стр.1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. КОРОЛЕВА» АЛГЕБРА и ГЕОМЕТРИЯ Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Самара, 2007

Стр.2

Стр.3

Инновационная образовательная программа "Развитие центра компетенции и подготовка специалистов мирового уровня в области аэрокосмических и геоинформационных технологий” Модуль I «ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ» Авторы: Чостковская О.П., Старинова О.Л Модуль II «ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ» Автор Калугин Н.А. Модуль III «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА» Автор: Белашевский Г.Е. Рецензенты: д-р. тех. наук., проф. В.С. Асланов (модуль III) д. физ. – мат. н., проф. В.М. Чернов (модуль II) канд. физ. – мат. наук, доц. Е.Я. Горелова (модуль III) канд. тех. наук, доц., А.А. Авраменко (модуль I, модуль II) Б 43 УДК 517.2 УДК 514.14 (075) УДК 514.7 (075) ББК ISBN © Белашевский Г.Е. Калугин Н.А. Чостковская О.П., Старинова О.Л © Самарский государственный аэрокосмический университет, 2007.

Стр.4

Стр.5

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. КОРОЛЕВА» АЛГЕБРА и ГЕОМЕТРИЯ Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Самара Издательство СГАУ 2007

Стр.6

УДК 512 (075)+514 (075) ББК 22.14+22 (151) А 456 А Инновационная образовательная программа "Развитие центра компетенции и подготовка специалистов мирового уровня в области аэрокосмических и геоинформационных технологий” Рецензенты: д-р техн. наук, проф. В. С. А с л а н о в (модуль III) д-р физ. – мат. наук, проф. В. М. Ч е р н о в (модуль II) канд. физ. – мат. наук, доц. Е. Я. Г о р е л о в а (модуль III) канд. техн. наук, доц. А. А. А в р а м е н к о (модуль I, модуль II) Авторы: Белашевский Г.Е., Калугин Н.А., Чостковская О.П., Старинова О.Л. А 456 Алгебра и геометрия: учеб. пособие/ [Г.Е. Белашевский и др.]-Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2007.-160 с.:ил. ISBN 978-5-7883-0482-3 В учебном пособии содержатся методические материалы по реализации нелинейной схемы обучения. Модуль I «Линейные пространства и операторы» предназначен для студентов специальности, содержащей курс «Линейная алгебра». Относится к группе дисциплин по выбору (факультатив), трудоемкость –1 зачетная единица ECTS. Авторы: Чостковская О.П., Старинова О.Л. Модуль II «Основы проективной геометрии» содержит основные теоретические сведения о проективной геометрии и упражнения. Относится к группе дисциплин по выбору (факультатив), трудоемкость – 1 зачетная единица ECTS. Автор Калугин Н.А. Модуль III «Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа» предназначен для студентов – механиков. Относится к группе дисциплин, изучаемых обязательно и строго последовательно, трудоемкость – 3.5 зачетных единиц ECTS. Автор Белашевский Г.Е. Учебное пособие подготовлено на кафедре высшей математики. УДК 512 (075)+514 (075) ББК 22.14+22 (151) ISBN 978-5-7883-0482-3 © Белашевский Г.Е., Калугин Н.А., Чостковская О.П., Старинова О.Л., 2007. © Самарский государственный аэрокосмический университет, 2007. 2 П И Р И О Н Р Е И Т Е Т Н Ы А Ц О Н Л Ь Н Ы Е Ы П Т Р К О Е

Стр.7

Содержание I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ.......................................6 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА................................................................6 1.1. Основные понятия и определения.......................................................... 6 1.2. Базис и размерность линейного пространства ...................................... 7 1.3. Евклидово пространство ......................................................................... 9 Задачи к теме «Линейные пространства» ............................................. 16 Ответы к задачам по теме «Линейные пространства»......................... 18 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.....................................................................19 2.1. Линейное преобразование и его матрица ............................................ 19 2.2. Действия с линейными операторами ................................................... 20 2.3. Характеристический многочлен........................................................... 21 2.4. Собственные векторы линейного оператора....................................... 22 2.5. Ортогональные и симметрические матрицы и преобразования ........ 23 Задачи к теме «Линейные операторы».................................................. 33 Ответы к задачам по теме «Линейные операторы» ............................. 38 3. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ....................................................................40 3.1. Основные понятия и определения........................................................ 40 3.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду..................... Задачи к теме «Квадратичные формы»................................................. 45 Ответы к задачам по теме «Квадратичные формы»............................. 48 Индивидуальное задание на тему «Квадратичные формы»............... 49 II ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ................................................52 4. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ...............................................................53 4.1. Связка. Проективная плоскость............................................................ 53 Упражнения....................................................................................................... 55 5. ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ..........................................................56 5.1. Проективная система координат в связке............................................ 56 5.2. Проективная система координат на плоскости ................................... 57 5.3. Переход к новой системе проективных координат............................. 59 5.4. Однородные координаты....................................................................... 60 5.5. Связь проективных и трилинейных координат................................... 62 Упражнения....................................................................................................... 68 6. ЛИНИИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА.........................................70 3

Стр.8

6.1. Уравнение прямой линии на проективной плоскости........................ 70 6.2. Координаты прямой на проективной плоскости................................. 72 6.3. Понятие инцидентности. Принцип двойственности........................... 75 6.4. Кривая второго порядка ........................................................................ 77 Упражнения....................................................................................................... 78 7. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ..................................................80 7.1. Проективное преобразование и его свойства...................................... 80 7.2. Инвариантные точки и инвариантные прямые.................................... 87 7.3. Проективное и перспективное отображения....................................... 89 7.4. Классификация кривых второго порядка............................................. 90 Упражнения....................................................................................................... 93 III ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА ..............................................................................96 8. ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ............................................................................97 41 8.1. Определения........................................................................................... 97 8.2. Параметризованная кривая ................................................................... 97 8.3. Натуральная параметризация................................................................ 98 8.4. Кривая ..................................................................................................... 99 8.5. Кривизна ............................................................................................... 100 8.6. Репер Френе.......................................................................................... 101 8.7. Формулы Френе. Кручение................................................................. 102 8.8. Кривая с заданными кривизной и кручением.................................... 104 8.9. Эволюта и эвольвента.......................................................................... 105 8.10. Локальное строение кривой................................................................ 106 9. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ..........................................................108 9.1. Определения......................................................................................... 108 9.2. Поверхность ......................................................................................... 109 9.3. Кривые на поверхности....................................................................... 111 9.4. Касательное пространство .................................................................. 112 9.5. Ориентация поверхности .................................................................... 113 9.6. Первая фундаментальная форма поверхности .................................. 114 9.7. Вторая фундаментальная форма......................................................... 115 9.8. Кривизна кривых на поверхности ...................................................... 116 9.9. Гауссова и средняя кривизны поверхности....................................... 117 9.10. Линии кривизны................................................................................... 119 9.11. Деривационные формулы.................................................................... 120 9.12. Геодезические линии на поверхности................................................ 122 10. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА.........................................................................124 4

Стр.9

10.1. Линейные пространства ...................................................................... 124 10.2. Сопряженное пространство ................................................................ 126 10.3. Тензорное произведение линейных пространств.............................. 127 10.4. Тензорное произведение и свертка..................................................... 129 10.5. Полилинейные формы и тензоры....................................................... 130 10.6. Характеристическая поверхность тензора......................................... 133 10.7. Симметрирование и альтернирование тензоров ............................... 133 11. МНОГООБРАЗИЯ...................................................................................137 11.1. Дифференцируемое многообразие ..................................................... 137 11.2. Касательное пространство .................................................................. 138 11.3. Тензорная алгебра на дифференцируемом многообразии ..................... 11.4. Ковариантное дифференцирование.................................................... 141 11.5. Параллельный перенос и геодезические............................................ 142 11.6. Тензор кривизны (тензор Римана-Кристоффеля).............................. 144 11.7. Внешнее дифференцирование ............................................................ 145 11.8. Перенос и интегрирование дифференциальных форм. Формула Стокса .............................................................................................................. 147 12. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК....................................................149 5

Стр.10

Учебное издание Белашевский Геннадий Егорович Калугин Николай Александрович Чостковская Ольга Петровна Старинова Ольга Леонардовна АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Технический редактор Э. И. К о л о м и е ц Редакторская обработка Т. К. К р е т и н и н а Корректорская обработка А. А. Н е ч и т а й л о Доверстка Е. А. Л а р и о н о в а Подписано в печать 10.10.07. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 10,0 Тираж 120 экз. Заказ . ИП- 25/2007. ИП Самарский государственный аэрокосмический университет. 443086 Самара, Московское шоссе, 34. Изд-во Самарского государственного аэрокосмического университета. 443086 Самара, Московское шоссе, 34. 151

Стр.156