Уравнения математической физики. В 2 ч. Ч. 2 (638,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

ББКУДК 517.95 22.311 С12 Сабитов К. Б. С12 Уравнения математической физики : учебник для вузов : в 2 ч. Ч. 2 / К. Б. Сабитов. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2024. — 258 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —Текст : электронный. ISBN 978-5-93208-621-6 (Ч. 2) ISBN 978-5-93208-643-8 В книге дан вывод уравнений математической физики, приведены классические постановки основных задач, аналитические методы их решения, представлены обобщенные по Соболеву решения краевых задач для уравнений эллиптического, гиперболического и параболического типов, вариационный и галеркинский методы решения краевых задач, методы интегральных преобразований, возмущений, автомодельных решений и конечных разностей решения краевых задач уравнений математической физики. В отличие от известных учебников данное пособие содержит новый материал по уравнениям смешанного типа, моделирующим околозвуковые течения. Допущено УМО по классическому университетскому образоваББКУДК 517.95 22.311 нию в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению ВПО 010400 «Прикладная математика и информатика». В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN 978-5-93208-621-6 (Ч. 2) ISBN 978-5-93208-643-8 © Лаборатория знаний, 2024 © Сабитов К. Б., 2024

Стр.3

Оглавление t Список некоторых обозначений и сокращений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Глава 6. Обобщенные решения по Соболеву краевых задач для уравнений математической физики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 § 32. Вспомогательные сведения из функционального анализа . 7 1. Необходимые понятия и утверждения (7). 2. Средние функции. Обобщенные производные (11). 3. Пространство Соболева и его свойства (17). § 33. Обобщенные решения основных граничных задач для эллиптического уравнения второго порядка . . . . . . . . . . . . . . 26 § 34. Обобщенные решения начально-граничных задач для гиперболического уравнения второго порядка. . . . . . . . . . . . . 33 1. Постановка начально-граничных задач (33). 2. Задача на собственные значения для эллиптического оператора второго порядка (34). 3. Вариационные свойства собственных значений и функций спектральной задачи (42). 4. Построение обобщенного решения первой начальнограничной задачи для однородного гиперболического уравнения (43). 5. Построение обобщенного решения первой начально-граничной задачи для неоднородного гиперболического уравнения (47). § 35. Обобщенные решения начально-граничных задач для параболического уравнения второго порядка. . . . . . . . . . . . . . 49 § 36. Вариационный метод решения граничных задач для эллиптических уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1. Задача Дирихле (54). 2. Задача Неймана и третья граничная задача (58). 3. Метод Ритца (59). § 37. Метод Галеркина решения краевых задач для уравнений математической физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1. Задача Дирихле для уравнения Пуассона (64). 2. Начально-граничная задача для уравнения теплопроводности (65). 3. Начально-граничная задача для волнового уравнения (67). Глава 7. Уравнения смешанного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 § 38. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева—Бицадзе. Единственность решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1. Постановка задачи Трикоми. Принцип экстремума. Единственность решения задачи Трикоми (73). 2. Метод Трикоми доказательства единственности решения задачи (76). § 39. Существование решения задачи Трикоми . . . . . . . . . . . . . . 77

Стр.4

4 Оглавление § 40. Задача Дирихле для уравнения Лаврентьева—Бицадзе в прямоугольной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1. Постановка задачи (87). 2. Единственность решения (88). 3. Существование решения задачи (91). 4. Устойчивость решения (94). § 41. Начально-граничная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1. Постановка задачи (95). 2. Единственность решения (96). 3. Существование и устойчивость решения задачи (99). Глава 8. Другие методы решения краевых задач для уравнений математической физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 § 42. Метод интегральных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 1. Преобразования Лапласа, Фурье и Меллина (103). 2. Применение интегральных преобразований к решению краевых задач (114). § 43. Метод возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 § 44. Метод подобия, автомодельные решения . . . . . . . . . . . . . . . 125 § 45. Метод конечных разностей или сеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Приложение. Общие сведения о специальных функциях . . . . . . . . . . 145 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 § 1. Эйлеровы гамма- и бета-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 1. Свойства гамма-функции (148). 2. Свойства бетафункции (152). 3. Логарифмическая производная гаммафункции (154). § 2. Теорема существования и единственности решения начальной задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 § 3. Поведение решений дифференциальных уравнений второго порядка в особой точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 § 4. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя и свойства функций Бесселя первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 § 5. Модифицированные функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 § 6. Гипергеометрическое уравнение. Функции Гаусса и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 § 7. Ортогональные многочлены. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 1. Полиномы Лежандра и их свойства (198). 2. Присоединенные функции Лежандра и их свойства (208). 3. Многочлены Эрмита и их свойства (211). 4. Многочлены Лагерра и их свойства (217). 5. Многочлены Якоби и Чебышёва и их свойства (223). § 8. Сферические и шаровые функции. Свойства сферических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Стр.5