УДК 512.6
ББК 22.143
Т15
Т15 Занимательная математика. Линейная алгебра. Манга / Син Такахаси
(автор), Ироха Иноуэ (худ.); пер. Т. И. Сенниковой, А. С. Слащевой. —
М.: ДМК Пресс, 2018. — 270 с.: ил. — (Серия «Образовательная манга»).
— Доп. тит. л. яп.
Такахаси С.
ISBN 978-5-97060-599-8
Линейная алгебра, которую «сочиняют» математики, либо туманна, либо абстрактна,
а большинство учебников и курсов подразумевают длинные вычисления
и подробные доказательства. Это скучно и непродуктивно!
В манге рассказывается о том, как Рейхи Юурино, хилый студент-математик,
очень хочет стать сильным и поэтому мечтает поступить в клуб каратистов. Капитан
клуба согласен принять новичка при условии, что тот поможет его младшей
сестренке Мисе, у которой проблемы с математикой. В итоге Миса узнает
о матрицах, векторах и действиях над ними, о множествах и подмножествах,
о базисах и других «премудростях» линейной алгебры.
Хотя эта дисциплина и кажется абстрактной, она находит множество применений
в таких областях, как архитектура, предсказание землетрясений, защита
морской флоры и фауны, а также в компьютерной графике.
Книга может быть полезна студентам университетов, учащимся старших классов
и колледжей, а также всем, кто ценит чувство юмора и питает интерес к математике!
Manga
de Wakaru Senkei Daisu_ (Manga: Guide to Linear Algebra)
By Shin Takahashi (Author), Iroha Inoue (Illustrator)
and Trend Pro Co. (Producer)
Published by Ohmsha, Ltd.
Russian language edition copyright © 2018 by DMK Press
Все права защищены. Никакая часть этого издания не может быть воспроизведена
в любой форме или любыми средствами, электронными или механическими, включая
фотографирование, ксерокопирование или иные средства копирования или сохранения
информации, без письменного разрешения издательства.
ISBN 978-4-274-06741-9 (яп.)
ISBN 978-5-97060-599-8 (рус.) © Издание, оформление, перевод,
ДМК Пресс, 2018
Copyright © 2008 by Shin Takahashi
and TREND-PRO Co., Ltd.
УДК 512.6
ББК 22.143
Стр.5
содержание
ПРЕДИСЛОВИЕ ....................................................................................................... V
Пролог. ЗАНЯТИЯ НАЧИНАЮТСЯ! ........................................................ 1
Глава 1. ЧТО ТАКОЕ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА? ..............................9
1.1. Краткий обзор курса линейной алгебры ..........................................................14
1.2. Темы, которые важны для науки, и темы, которые попадаются
на экзаменах ..............................................................................................................21
1.3. Линейная алгебра с точки зрения математиков .......................................... 22
11.3.1. Линейное пространство, как его видят математики ....................... 22
.3.2. Линейная алгебра и аксиомы ................................................................ 24
Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ .................................................... 25
2.1. Классификация систем чисел ............................................................................ 29
2.2. Импликация и равенство ......................................................................................31
22.2.1. Положения .....................................................................................................31
2.2.2. Импликация ................................................................................................. 32
.2.3. Эквивалентность ........................................................................................ 33
2.3. Теория множеств ..................................................................................................... 34
22.3.1. Множества ..................................................................................................... 34
3.3.2. Символы множеств .................................................................................... 36
.3.3. Подмножества ............................................................................................. 37
2.4. Функции ...................................................................................................................... 39
2.4.1. Обозначение функций .............................................................................. 39
22.4.2. Образы ........................................................................................................... 44
.4.6. Линейные преобразования ..................................................................... 54
2.5. Греческий алфавит ................................................................................................ 59
2.6. Научные выражения ...............................................................................................61
2.7. Сочетания и перестановки ................................................................................... 62
2.8. Не все "команды к выполнению" являются функциями ......................... 68
VI
2.4.3. Домен и кодомен ...................................................................................... 48
2.4.4. Cюръекция и биекция ............................................................................... 50
2.4.5. Обратные функции .................................................................................... 52
Стр.7
Глава 3. ПОЗНАКОМИМСЯ С МАТРИЦАМИ ............................. 69
3.1. Что такое матрица? ................................................................................................. 72
3.2. Вычисление матриц .............................................................................................. 76
33.2.1. Сложение ....................................................................................................... 76
.2.4. Умножение матриц ..................................................................................... 79
3.2.2. Вычитание .................................................................................................... 77
3.2.3. Скалярное умножение .............................................................................. 78
3.3. Специальные матрицы ......................................................................................... 83
3.3.1. Нулевые матрицы....................................................................................... 83
3.3.2. Транспонированные матрицы ............................................................... 84
3.3.3. Симметричные матрицы ......................................................................... 85
33.3.4. Верхние треугольные и нижние треугольные матрицы ............... 85
3.3.5. Диагональные матрицы .......................................................................... 86
.3.6. Тождественные матрицы ......................................................................... 88
Глава 4. И СНОВА МАТРИЦЫ .................................................................91
4.1. Обратные матрицы ................................................................................................. 92
Обратные матрицы ............................................................................................... 92
4.2. Вычисление обратных матриц .......................................................................... 94
4.3. Определители ........................................................................................................ 101
4.4. Вычисление определителей ............................................................................ 102
4.5. Вычисление обратных матриц с помощью алгебраических
дополнений ..................................................................................................................... 114
44.5.1. Mij .................................................................................................................... 114
4.5.2. Сij ..................................................................................................................... 115
.5.3. Вычисление обратных матриц ............................................................. 116
4.6. Применение определителей ............................................................................ 117
4.7. Решение линейных систем уравнений
с помощью правила Крамера .................................................................................... 117
Глава 5. ПОЗНАКОМИМСЯ С ВЕКТОРАМИ ............................... 119
5.1. Что такое векторы? ................................................................................................122
5.2. Вычисление векторов .......................................................................................... 131
5.3. Геометрические интерпретации .......................................................................133
Глава 6. ЕЩЕ О ВЕКТОРАХ ...................................................................... 137
6.1. Линейная независимость ................................................................................... 138
6.2. Базисы .......................................................................................................................146
VII
Стр.8
6.3. Размерность ............................................................................................................ 155
6.3.1. Подпространства ...................................................................................... 156
6.3.2. Базис и размерность .................................................................................162
6.4. Координаты .............................................................................................................167
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ................................. 169
7.1. Что такое линейное преобразование? ............................................................172
7.2. Почему мы изучаем линейные преобразования .......................................179
7.3. Специальные преобразования ......................................................................... 184
77.3.1. Масштабирование ..................................................................................... 185
7.3.2. Вращение ..................................................................................................... 186
7.3.3. Перенос ....................................................................................................... 188
.3.4. 3D-проекция ................................................................................................ 191
7.4. Некоторые предварительные подсказки ...................................................... 194
7.5. Ядро, образ и теорема размерности для линейных
преобразований ............................................................................................................ 195
7.6. Ранг............................................................................................................................. 199
7.6.1. Ранг .................................................................................................................200
7.6.2. Вычисление ранга матрицы .................................................................204
7.7. Отношения между линейными преобразованиями и матрицами ........212
Глава 8. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ................................................................ 213
8.1. Что такое собственные числа и собственные векторы .............................219
8.2. Вычисление собственных чисел и собственных векторов ...................224
8.3. Вычисление степени p матрицы n Ч n ...........................................................227
8.4. Повторяемость и приведение к диагональному виду .............................232
и8.4.1. Матрица простой структуры с собственным числом,
Эпилог ............................................................................................................................238
Приложение. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ .............................................. 251
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ .................................................................. 261
8меющая повторяемость 2 ..............................................................................233
и.4.2. Недиагонализированная матрица с собственным числом,
меющая повторяемость 2 ..............................................................................235
VIII
Стр.9