Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетострое, техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей. В 2 ч. Ч. 2 (219,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

УДК 517/519(075.8) ББК 22.11я73 Ч-46 Печатается по решению кафедры высшей математики Института компьютерных технологий и информационной безопасности Южного федерального университета (протокол № 8 от 21 апреля 2021 г.) Рецензенты: профессор кафедры теоретической, общей физики и технологии ТИ им. А. П. Чехова (филиал РИНХ) доктор физико-математических наук А. И. Жорник доцент кафедры высшей математики Института компьютерных технологий и информационной безопасности ЮФУ, кандидат технических наук Н. Е. Сапунцов Черепанцев, А. С. Ч-46 Основы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей : учебное пособие : в 2 ч. / А. С. Черепанцев, В. В. Семенистый ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2021. ISBN 978-5-9275-3897-3 Часть 2. – 146 с. ISBN 978-5-9275-3899-7 (Ч.2) Учебное пособие "Основы высшей математики (Часть 2)" представляет собой продолжение систематизированного изложения основных понятий математического анализа, изучаемых в курсе "высшая математика" в соответствии с учебным планом образовательных направлений "самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей" в ИРТСУ ЮФУ. Пособие направлено на воспитание у слушателей понимания языка математики при формулировке математических понятий и доказательств основных утверждений. УДК 517/519(075.8) ББК 22.11я73 ISBN 978-5-9275-3899-7 (Ч.2) ISBN 978-5-9275-3897-3 © Южный федеральный университет, 2021 © Черепанцев А. С., Семенистый В. В., 2021 © Оформление. Макет. Издательство Южного федерального университета, 2021 2

Стр.3

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………... ЛЕКЦИЯ 19 …………………………………………………………... 7 9 19.1. Бесконечно малые функции и их свойства …………………. 9 19.2. Бесконечно большие функции и их свойства ………………. 11 19.3. Основные теоремы о пределе функции …………………….. 12 16 ЛЕКЦИЯ 20 …………………………………………………………... и ее предел при x→0 …………………… 16 20.1. Функция f(x)= sin x x 20.2. Непрерывность функции в точке ……………………………. 18 20.3.Точки разрыва функции ……………………………………… 20 20.4. Непрерывность функции на интервале и отрезке ………….. ЛЕКЦИЯ 21 …………………………………………………………... 21 23 21.1. Натуральный логарифм ……………………………………… 23 21.2. Показательная и гиперболические функции ……………….. 24 21.3. Задачи, приводящие к понятию производной функции …… 26 21.4. Понятие производной функции. Геометрический и физический смысл производной функции ……………………………... 21.5. Производные некоторых функций ………………………….. 27 29 ЛЕКЦИЯ 22 …………………………………………………………... 22.1. Правила дифференцирования функций …………………….. 31 31 22.2. Производная обратной функции ……………………………. 32 22.3. Производная сложной функции …………………………….. 22.4. Основные формулы дифференцирования ………………….. 22.5. Производные высших порядков …………………………….. 22.6. Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл 33 33 34 35 ЛЕКЦИЯ 23 …………………………………………………………... 23.1. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях ……………………………………………………………….. 38 38 23.2. Свойства дифференциала функции …………………………. 39 23.3. Дифференциал функции высших порядков ………………… 40 3

Стр.4

Содержание 23.4. Основные теоремы дифференциального исчисления ……… 41 23.4.1. Теорема Лагранжа …………………………………………… 41 23.4.2. Теорема Ролля …………………………………………………. 42 23.4.3. Теорема Коши ………………………………………………….. ЛЕКЦИЯ 24 …………………………………………………………... 24.1. Формула Тейлора …………………………………………….. ЛЕКЦИЯ 25 …………………………………………………………... 25.1. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции ... 43 45 45 24.2. Примеры формулы Тейлора для функций …………………. 48 24.3. Правило Лопиталя−Бернулли ……………………………….. 49 53 53 25.2. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума функции ……………………………………………………………………. 25.3. Достаточные условия экстремума функции ………………... 25.4. Исследование функций с помощью формулы Тейлора ……. 59 55 57 ЛЕКЦИЯ 26 …………………………………………………………... 26.1. Направления выпуклости функции, точки перегиба функции ………………………………………………………………….. 61 61 26.2. Асимптоты …………………………………………………… 63 26.3. Исследование и построение графика функции ……………... 65 26.4. Задачи на определение наибольшего и наименьшего значения …………………………………………………………………... 26.5. Первообразная функции. Понятие неопределенного интеграла 26.6. Свойства неопределенного интеграла ……………………… 67 66 66 ЛЕКЦИЯ 27 …………………………………………………………... 27.1. Таблица основных неопределенных интегралов …………... 27.2. Основные методы вычисления неопределенных интегралов 27.3. Интегрирование рациональных функций ………………….. ЛЕКЦИЯ 28 …………………………………………………………... 69 69 71 73 76 28.1. Интегрирование функций. Иррациональные функции ……. 76 28.2. Интегрирование функций. Тригонометрические выражения 28.3. Особенности интегрирования функций …………………….. 78 80 28.4. Понятие интегральной суммы. Задачи, приводящие к пределу интегральных сумм ……………………………………………… 81 4

Стр.5

Содержание 28.4.1. Задача о площади криволинейной трапеции …………….. 81 28.4.2. Задача вычисления длины пути по известной скорости движения ………………………………………………………………… 83 ЛЕКЦИЯ 29 …………………………………………………………... 29.1. Определенный интеграл ……………………………………... 84 84 29.2. Геометрический смысл определенного интеграла …………. 85 29.3. Основные свойства определенного интеграла ……………... 29.4. Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем …….. 86 88 ЛЕКЦИЯ 30 …………………………………………………………... 30.1. Представление первообразной для непрерывной функции 91 91 30.2. Формула Ньютона−Лейбница ………………………………. 93 30.3. Замена переменной в определенном интеграле. Вычисление определенного интеграла с помощью интегрирования по частям 30.4. Приложения определенного интеграла …………………….. 94 96 ЛЕКЦИЯ 31 …………………………………………………………... 31.1. Площадь криволинейного сектора ………………………….. 99 99 31.2. Понятие несобственного интеграла ………………………… 100 31.3. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов …. 103 31.4. Признаки сходимости несобственных интегралов ………… 104 ЛЕКЦИЯ 32 …………………………………………………………... 106 32.1. Частный признак сравнения …………………………………. 106 32.2. Несобственный интеграл II− го рода ……………………….. 108 32.3. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла 110 ЛЕКЦИЯ 33 …………………………………………………………... 113 33.1. Понятие главного значения несобственного интеграла …… 113 33.2. Числовые ряды ……………………………………………….. 114 33.3. Свойства сходящихся рядов ………………………………… 115 33.4. Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами ……………………………………………………………… 117 ЛЕКЦИЯ 34 …………………………………………………………... 119 34.1. Знакочередующиеся ряды …………………………………… 119 34.2. Абсолютно сходящиеся ряды ……………………………….. 121 5

Стр.6

Содержание 34.3. Условно сходящиеся ряды …………………………………... 122 34.4. Функциональные последовательности и ряды …………….. 123 34.5. РС функциональных последовательностей ………………… 125 ЛЕКЦИЯ 35 …………………………………………………………... 126 35.1. Критерии равномерной сходимости функциональных рядов 126 35.2. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов ………………………………………………………………... 128 ЛЕКЦИЯ 36 …………………………………………………………... 134 36.1. Степенной ряд ………………………………………………... 134 36.2. Аналитическая функция на множестве действительных чисел 137 36.3. Ряд Тейлора. Формы остаточного члена ряда Тейлора …….. 139 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………… 142 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………... 145 6

Стр.7