Лекции по интегральному исчислению функций одной переменной и теории рядов (391,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

УДК 517.4(075.8) ББК 22.162я73 А164 Печатается по решению учебно-методической комиссии Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета (протокол № 6 от 22 июня 2021 г.) Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика» Южно-Российского государственного политехнического университета, почетный работник высшего профессионального образования РФ, профессор А. Э. Пасенчук; кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и дискретной математики Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета, доцент А. В. Козак Учебник подготовлен в рамках договора № ОПОП/2/1 от 10.06.2021 по актуализации основной профессиональной образовательной программы высшего образования по направлению 01.03.02 «Прикладная математика и информатика (бакалавриат)» Абрамян, М. Э. А164 Лекции по интегральному исчислению функций одной переменной и теории рядов / М. Э. Абрамян ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2021. – 261 с. ISBN 978-5-9275-3828-7 Учебник содержит лекционный материал второй части курса математического анализа и включает следующие темы: неопределенный интеграл, определенный интеграл и его геометрические приложения, несобственный интеграл, числовые ряды, функциональные последовательности и ряды, степенные ряды, ряды Фурье. Особенностью книги является возможность ее изучения одновременно с просмотром видеолекций, записанных автором и доступных на сайте youtube.com. Разделы и подразделы учебника снабжены сведениями о номере лекции, времени начала соответствующего фрагмента и длительности этого фрагмента. В электронном варианте учебника эти сведения оформлены в виде гиперссылок, позволяющих немедленно перейти к просмотру требуемого фрагмента лекции. Учебник предназначен для студентов физико-математических и технических специальностей. УДК 517.4(075.8) ББК 22.162я73 ISBN 978-5-9275-3828-7 © Южный федеральный университет, 2021 © Абрамян М. Э., 2021 © Оформление. Макет. Издательство Южного федерального университета, 2021

Стр.3

Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Видеолекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1. Первообразная и неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Определение первообразной и неопределенного интеграла . . . . . . . . .13 Таблица неопределенных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Простейшие свойства неопределенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Замена переменной в неопределенном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Формула интегрирования по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Разложение рациональной функции на простейшие дроби . . . . . . . . .22 Методы разложения рациональной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Интегрирование слагаемых в разложении рациональной функции на простейшие дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Теорема об интегрировании рациональной функции . . . . . . . . . . . . . . . 26 3. Интегрирование тригонометрических функций . . . . . . . . . . . . . 28 Рациональные выражения для тригонометрических функций . . . . . 28 Универсальная тригонометрическая замена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Особенности применения универсальной тригонометрической замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Другие виды замены переменной для тригонометрических выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4. Интегрирование иррациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Интегрирование рациональной функции с иррациональным аргументом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Обобщение на случай нескольких иррациональных аргументов . . . 37 Интегрирование биномиального дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Подстановки Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5. Определенный интеграл и суммы Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Суммы и интегралы Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . 53

Стр.4

4 М. Э. Абрамян. Лекции по интегральному исчислению и теории рядов 6. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Свойства интеграла, связанные с подынтегральными функциями . 61 Свойства, связанные с промежутками интегрирования . . . . . . . . . . . . 64 Оценки интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Интегральные теоремы о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 Интеграл с переменным верхним пределом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Формула Ньютона – Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Дополнительные приемы вычисления определенных интегралов . . 83 8. Вычисление площадей и объемов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Квадрируемые фигуры на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора . . . . .91 Вычисление объемов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9. Кривые и вычисление их длины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Вектор-функции и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 Дифференцируемые вектор-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Теорема Лагранжа для вектор-функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Кривые в пространстве. Спрямляемые кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Свойства непрерывно дифференцируемых кривых . . . . . . . . . . . . . . . 116 Варианты формулы для нахождения длины кривой . . . . . . . . . . . . . . 121 10. Несобственные интегралы: определение и свойства . . . . . .124 Задачи, приводящие к понятию несобственного интеграла . . . . . . . 124 Варианты определения несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Свойства несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 11. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Критерий Коши сходимости несобственного интеграла . . . . . . . . . . . 132 Абсолютная сходимость несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . .133 Свойства несобственных интегралов от неотрицательныхфункций 134 Условная сходимость несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 ПризнакДирихле условной сходимости несобственного интеграла . 140 Интегралы, имеющие несколько особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Стр.5

Оглавление 5 12. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Числовые ряды: определение и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145 Критерий Коши сходимости числового ряда и необходимое условие его сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 Абсолютно сходящиеся числовые ряды и арифметические свойства сходящихся числовых рядов . . . . . .149 13. Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Признак сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 Интегральный признак сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Признаки Даламбера и Коши сходимости числовых рядов . . . . . . . 157 14. Знакочередующиеся ряды и условная сходимость . . . . . . . 162 Знакочередующиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Признаки Дирихле и Абеля условной сходимости числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Дополнительные замечания об абсолютно и условно сходящихся рядах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 15. Функциональные последовательности и ряды . . . . . . . . . . . . 171 Поточечная и равномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Признаки равномерной сходимости функциональных рядов . . . . . .179 16. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Непрерывность равномерного предела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Интегрирование функциональных последовательностей и рядов . 185 Дифференцирование функциональных последовательностей и рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188 17. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Степенной ряд: определение и теоремы Абеля о его сходимости . 193 Верхний и нижний пределы последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Формула Коши– Адамара для радиуса сходимости степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Свойства степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Стр.6

6 М. Э. Абрамян. Лекции по интегральному исчислению и теории рядов 18. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Вещественные аналитические функции и их разложение в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206 Вещественные аналитические функции и свойство бесконечной дифференцируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Достаточное условие существования ряда Тейлора. Разложения экспоненты, синуса и косинуса в ряд Тейлора . . . .211 Разложение степенной функции в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Разложения логарифма и арксинуса в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . 216 19. Ряды Фурье в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Вещественное евклидово пространство и его свойства . . . . . . . . . . . . 220 Ряд Фурье по ортонормированной последовательности векторов в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 20. Ряды Фурье в пространстве интегрируемых функций . . 232 Евклидово пространство интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . 232 Построение ортонормированной последовательности интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235 Построение формального ряда Фурье для интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Сходимость ряда Фурье в среднеквадратичном в случае периодических непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . 240 Сходимость ряда Фурье в среднеквадратичном в случае кусочно-непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Поточечная сходимость ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Равномерная сходимость ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Скорость убывания коэффициентов Фурье для дифференцируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Ряд Фурье по полной ортонормированной последовательности векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Стр.7