Математические основы геометрического моделирования кривых линий (1306,80 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

УДК 514.74(075) ББК 22.15я73 П16 Рецензенты: А. К. Гуц, д-р физ.-мат. наук, профессор, ФГБОУ ВО «ОмГУ им. Ф. М. Достоевского»; Д. Н. Коротаев, д-р техн. наук, профессор, ФГБОУ ВО «СибАДИ» Панчук, К. Л. П16 Математические основы геометрического моделирования кривых линий : учеб. пособие / К. Л. Панчук, В. Ю. Юрков, Н. В. Кайгородцева ; Минобрнауки России, ОмГТУ. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2020. – 200 с. : ил. ISBN 978-5-8149-2993-8 Содержит теоретический материал, задачи и упражнения по теме «Кривые линии». Материал изложен в логической последовательности, формирующей у обучающихся знания и умения, начиная от простейших геометрических понятий до оперирования математическим аппаратом геометрического моделирования кривых линий. Предназначено для обучающихся в аспирантуре по специальности 05.01.01 «Инженерная геометрия и компьютерная графика». Может быть полезным для аспирантов смежных и родственных специальностей. УДК 514.74(075) ББК 22.15я73 Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета ISBN 978-5-8149-2993-8 © ОмГТУ, 2020 2

Стр.2

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................................. 6 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ....................................................................... 10 2. ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА................. 24 2.1. Понятие метрического пространства ...................................................................... 24 2.2. Понятие топологического пространства ................................................................ 26 2.3. Непрерывные и гомеоморфные отображения топологического пространства . 31 2.4. Понятие отделимых, компактных и связных топологических пространств ..... 37 Вопросы и упражнения для закрепления теоретического материала ....................... 39 3. ПОНЯТИЕ ЛИНИИ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА. ГЛАДКОСТЬ И СОПРИКОСНОВЕНИЕ ЛИНИЙ ........................................................... 41 3.1. Элементарные линии ................................................................................................ 41 3.2. Общее понятие линии .............................................................................................. 42 3.3. Гладкие линии класса 𝑪𝒌, 𝒌 ∈ 𝑵 ............................................................................. 44 3.4. Допустимые параметризации гладкой линии класса 𝑪𝒌, 𝒌 ∈ 𝑵 .......................... 46 3.5. Геометрическая гладкость линии (G-гладкость) ................................................... 50 3.6. Касание линий ........................................................................................................... 54 Вопросы и упражнения для закрепления теоретического материала ....................... 58 4. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА И ХАРАКТЕРИСТИКИ КРИВОЙ ЛИНИИ ................ 60 4.1. Понятие касательной и ее уравнения ..................................................................... 60 4.2. Соприкасающаяся плоскость, главная нормаль и бинормаль кривой ............... 64 4.3. Длина дуги кривой. Естественная параметризация .............................................. 68 4.4. О параметризации кривых векторного представления ......................................... 69 4.5. Кривизна и кручение кривой ................................................................................... 72 4.6. Формулы Френе и натуральные уравнения кривой .............................................. 76 4.7. Определение кривизны и кручения пространственной кривой по её модели на чертеже Монжа.............................................................................. 78 Вопросы и упражнения для закрепления теоретического материала ........................ 89 3

Стр.3

5. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИВЫХ ЛИНИЙ НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПЛОСКОСТИ ........................................................ 92 5.1. Инверсия ................................................................................................................... 93 5.2. Обобщенная инверсия ............................................................................................. 97 5.3. Центральные преобразования общего вида .......................................................... 98 5.4. Кривые проективных соответствий ..................................................................... 100 Вопросы и упражнения для закрепления теоретического материала ..................... 102 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ КРИВЫХ ................................................. 104 6.1. Задача интерполяции ............................................................................................. 106 6.1.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа ............................................... 109 6.1.2. Интерполяционные формулы Ньютона ................................................... 109 6.1.3. Интерполяция сплайнами .......................................................................... 110 6.1.4. Моделирование составной кривой ........................................................... 111 6.2. Задача аппроксимации (сглаживания) ................................................................. 111 6.2.1. Моделирование кривых методом наименьших квадратов ..................... 112 6.2.2. Линеаризация в методе наименьших квадратов ..................................... 114 6.2.3. Исключение точек перегиба ...................................................................... 114 6.2.4. Метод наименьших квадратов для кривых, заданных неявными функциями .................................................................................................. 115 6.2.5. Оптимизация степени многочленов в методе наименьших квадратов .............................................................. 116 6.3. Аппроксимация сглаживающими сплайнами ..................................................... 118 Вопросы и упражнения для закрепления теоретического материала ..................... 118 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ (СПЛАЙНЫ БЕЗЬЕ) .......................................... 120 7.1. Общая задача геометрического моделирования составной кривой линии ..... 120 7.2. Квадратичная кривая Безье и полиномиальный сплайн на ее основе ............. 122 7.3. Кубическая кривая Безье и полиномиальный сплайн на ее основе ................. 129 7.4. Дробно-рациональная квадратичная кривая Безье и сплайн на ее основе ...... 134 Вопросы и упражнения для закрепления теоретического материала ...................... 141 4

Стр.4

ГЛАВА 8. МНОЖЕСТВА ЛИНИЙ .................................................................................. 143 8.1. Множества прямых трехмерного пространства .................................................. 148 8.2. Множества кривых. Огибающая ........................................................................... 151 Вопросы и упражнения для закрепления теоретического материала ..................... 154 ГЛАВА 9. ЛИНИИ В МНОГОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ........................................ 156 9.1. Понятие многомерного евклидова пространства ................................................ 156 9.2. Моделирование многомерного пространства ...................................................... 158 9.3. Моделирование кривых в евклидовом многомерном пространстве ................. 162 Вопросы и упражнения для закрепления теоретического материала ...................... 165 ГЛАВА 10. Примеры геометрического моделирования кривых линий в решении задач теории и практики ................................................................................. 166 10.1. Циклографическая проекция кривой .................................................................. 166 10.2. Применение кривых в задачах геометрической оптики на плоскости ........... 171 10.3. Аналитическое и конструктивное решение задачи Аполлония ...................... 179 10.4. Кинематическая геометрия кривой линии и ее приложение в теории плоского зубчатого зацепления ............................................................. 183 10.4.1. Кинематическая геометрия пространственной кривой линии ............ 183 10.4.2. Геометрическая модель плоского зубчатого зацепления ..................... 187 ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................................................................................. 194 Библиографический список .............................................................................................. 195 5

Стр.5