УДК 517.518.45
ББК 22.16
А70
Рецензенты:
докт. тсхн. наук проф. Jlисов А.А. (МАТИ, техн. университет);
канд.физ-мат.наук доц. Мягкова МЛ. (МЭИ, техн. университет).
Шмелев П.А., Шмелева Г.А., Фураев А.Н.
А 70 Пособие по Высшей математике для Вузов физкультурного профиля.
Элементы теории вероятностей и математической статистики: Учебное
пособие - М.: МГАФК, 1999 - 165 с.: ил.
ISBN 5-900871-46-0
Пособие соответствует программам курсов высшей математики для
вузов указанного профиля. Оно содержит элементы комбинаторики, теории
вероятностей и математической статистики.
Предназначено для студентов младших курсов вузов физкультурного
профиля.
Пособие подготовлено на кафедре биомеханики и компьютерной
технологии.
ISBN 5-900871-46-0
ББК 22.16
© П.А. Шмелев, Г.А. Шмелева, А.Н. Фурасв
© МГАФК, 1998
Стр.2
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Предлагаемая книга представляет собой З-ю часть учебного
пособия [10 началам аналитической геометрии, дифференциального и
интегрального исчисления, тсории вероятностей и матсматической
статистики для вузов фИЗКУJII>ТУРНОГО профиля. Разумеется, в России
имеется богатая литература по всем указанным разделам. Однако, на
сколько известно шпорам, в России нет учебника, достаточно
элементарного, специально приспособленного для студентов -
спортсменов и тренеров. Предлагаемая книга имеет целью в какой-то
степени восполнить этот пробел. Перед авторами стояла нелегкая
задача по отбору материала и по методике его изложения. Насколько
авторам справились с этой задачей - судить СJIециалистам и читателю.
В трстью часть пособия вошли разделы: Комбинаторика, Теория
вероятностей и Элементы математической статистики.
Каждый раздел I10дра:щелен на главы, а каждая глава- на
параграфы.
Формулы, IlрИПСl1,енные в книге, имеют сквозную нумерацию.
Однако, часть формул, на которые имеются ссылки только в данном
параграфе и которые, как правило, фиксируют промежуточные
рсзультаты.в выкладках, обозначены прописными буквами русского
алфавита (в каждом параграфе эти обозначения повторяются).
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам
рукописи проф. Лисову А.л. (МАТИ) и доц. Мягковой М.l 1. (МЭИ) за
замечания, способствующие улучшению пособия, а также студентам
МГУП Зарщикову АЛ., Дмитриевой О.В. и Капрановой Ю.с. :ш
кропотливую работу 110 1I0дготовке оригинал-макета рукописи.
3
Стр.3
СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА 1
КОМБИНАТОРИКА
1. Размещения.
2. Перестановки.
3. Сочетания.
4. Формула бинома Ньютона и ее связь с сочетаниями.
5. Число всех подмножеств конечного множества.
6. Принцип умножения (общий комбинаторный принцип).
7. Повторная и беСПОLlторная выборки. Общая схема решения
комбинаторной задачи.
ГЛАВА 2
СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ
8. События.
9. Классическое определение всроятности события.
10. Статистическая вероятность. ... . . . . . . .
11. Геометрические вероятности. . . . . . . . . . .
12. Некоторые определения, связанные с понятием события.
13. Сложение (объединение) событий. . ...... .
14. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.
15. Произведение событий.
. ............... .
16. Заuисимые и независимыс события. Условные вероятности.
17. Теорема умножения веРОЯТlIостеЙ.
18. Персход к противоположным событиям.
19. Общая теорема сложения вероятностей.
20. Формула полной вероятности.
21. Формула БаЙеса. . . . . . . . . . .
ГЛАВА 3
БИНОМИАЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
22. Формула Бернулли.
. ......... .
23. Биномиальное распределение вероятностей.
4
52
53
22
24
27
28
31
33
35
37
39
40
43
45
48
50
. . . . . . . . . . . . . . ..
8
12
lЗ
15
18
18
19
Стр.4
24. Наивероятнейшее число наступлений события при повторении
испытаний. ..................
25. Обобщенная формула Бернулли. ........
26. Пуассоновское приближение формулы Бернулли.
27. Формула Муавра-Лаllласа. ...........
28. Интегральная формула Муавра-Лапласа.
29. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной
вероятности в независимых испытаниях. .. . . . . . ..
55
56
57
58
60
61
ГЛАВА 4
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЗАКОН ЕЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
30. Дискретная случайная величина. Закон, ряд и многоугольник
ее распределения. .................... 64
31. Понятие о непрерывной случайной величине. Функция распределения
случайной величины. .............. 66
32. Свойства функции распределения. Вероятность "попадания"
случайной величины в заданный интервал. . . . . . . ..
33. Плотность вероятности случайной величины. . . . . . ..
35. Нахождение функции распределения случайной величины по
известной плотности вероятности. .......
36. Свойства плотности вероятности. . . . . . . . .
37. Закон равномерного распределения вероятностей.
ГЛАВА 5
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
38. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
39. Различные интерпретации математического ожидания.
40. Свойства математического ожидания. . . . . . . . . . ..
82
85
87
41. Математическое ожидание произведения случайных величин. 89
42. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. 90
43. Математическое ожидание функции случайной величины.
44. Мода и медиана случайной величины.
45. Дисперсия случаЙIIОЙ величины. ... . . . . . . . . .
46. Свойства дисперсии. . . . . . . . . . . . . . . . . .
49. Математическое ожидание и дисперсия суммы одинаково
распределенных случайных величин.
5
92
93
94
96
47. Дисперсия равномерно распределенной случайной веЛИЧИIIЫ. 98
48. Среднее квадратичное отклонение случайной величины.
98
99
71
74
34. Вероятность "попадания" непрерывной случайной величины в
заданный интервал. ................... 76
77
77
79
Стр.5
50. Зависимые случайные величины. Корреляционный момент и
коэффициент корреляции. . . . . . . . . . . . . . . .. 100
ГЛАВА 6
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДI!ЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
51. ПОНЯТllе о нормальном законе распределеНllЯ случайной
веЛИЧИIIЫ. .... . . . . . . . . . . . . .
52, Кривая Гаусса, , , , , , . , . , . , . . , , . , , , "
53. Эксцесс и асимметрия кривой распределения. ,....
104
105
107
54, Вероятность "попадания" нормально распределенной случайной
величины в заданныIй интервал. ........... 110
55. Вычисление вероятности заданного отклонения, Правило 30'. 111
5б. Какие случайные величины распределены по нормальному
закону') . , , .', , .. ",..., ""'" 112
ГЛАВА 7
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
57. Предмет и задачи математической статистики.
58, ГенераЛl>IIая и выборочная совокупности.
59, Статистичсское распредеЛСllие выборки.
БО. Эмпирическая функция распределения.
б 1. Полигон и гистограмма, .,.....
б2. Числовые характеристики статистического распределения.
б3. Статистические оценки параметров распределения. , ,
б6, Доверительный интервал для математического ожидания и
дисперсии величины с неи:mсстным законом распределения
в случае большой выборки. . ....... , . , ,
67, Доверительный интервал для вероятности события.
б8. Распределение "хи-квадрат". . ... , . . . . . .
б9. Распределения Стыодента и Фишера-Снедекора.
114
114
115
116
117
118
119
б4. Генеральная и выборочная средние. .,...,..... 119
б5. Доверительный интервал и доверительная вероятность.
120
121,
124
124
126
70. Доверительный интервал JjЛЯ дисперсии нормального распределения.
. , , , ................ , " . .. 127
71, Понятис о двумерных случайных величинах. ""'" 129
72. Закон раСllределения J!.искретноЙ двумерной случайной величины,
.......... ,., .... ,., ... ,.
73. Функция распределения двумерной случайной величины.
6
130
131
Стр.6
74. Вероятность попадания двумсрной случайной величины в
полосу и в IIРНМОУГОЛЬНИК. . . . . . . . . . . . . . ..
132
75. Математическое ожидание и ДИСlIерсия составляющих двумерной
случайной веЛИЧИНbI. ............... 1З3
76. Линии регрессии. ................... 134
77. Еще об оценке степени зависимости слу'н\йных величин.
78. Корреляционнан таблица. .............
79. Статистическан гипотеза. Основные понятия. . . . . ..
80. Односторонние и двусторонние критические области.
81. Сравнение reHepaJIbllblX средних двух произвольно раснределенных
случайных величин. . . . . . . . . . . .
82. Сравнение выборочного среднего арифметического со средним
значением генеральной совокупности.
83. Сравнение двух дисперсий нормuльно распредсленных гснсра.пьных
совокупностей.
. . . . . .
84. Ранговая корреляция. Коэффициснт Спирмена.
Литература. ....... .
135
136
141
143
144
146
147
149
154
ПРИЛОЖЕНИЕ
ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ И СТАТИСТИЧЕСКИХ
РАСЧЕТОВ.
Таблица 1 значений функции <р (х). . . . .
Таблица 2 значений функции Лапласа Ф (х).
Таблица 3 критических значений критерия Х 2
Таблица 4 корней уравнения Р(Х> х2) = q. . . .
Таблица 5 критических точек распределения Стьюдента.
Таблица 6 критических точек F-распредеЛСIIИЯ ..
156
157
159
160
162
163
7
Стр.7