Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 563745)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента
Уважаемые СТУДЕНТЫ и СОТРУДНИКИ ВУЗов, использующие нашу ЭБС. Рекомендуем использовать новую версию сайта.

Частные производные функции нескольких переменных (110,00 руб.)

0   0
АвторыБезручкина Людмила Валентиновна, Садчиков Павел Валерьевич
ИздательствоИздательский дом ВГУ
Страниц28
ID747911
АннотацияМетодические указания предназначены для активизации самостоятельной работы студентов, изучающих разделы «Частные производные функции нескольких переменных» учебной дисциплины курсов Б1.Б.5 Математика, Б1.Б.6 Математика и Б.1.Б.10 Математика. Разработка содержит учебный материал практических занятий, темой которых является техника вычисления примеров по темам: «Частные производные функции нескольких переменных» Пособие может быть использовано студентами для самостоятельного изучения материала и является базой для подготовки к семестровым зачетам и аттестациям по курсам Б1.Б.5 Математика, Б1.Б.6 Математика и Б.1.Б.10 Математика.
Кому рекомендованоРекомендовано для студентов 1-го курса геологического, исторического и химического факультетов очной формы обучения.
Частные производные функции нескольких переменных / Л.В. Безручкина, П.В. Садчиков .— Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2019 .— 28 с. — 28 с. — URL: https://rucont.ru/efd/747911 (дата обращения: 20.06.2021)

Предпросмотр (выдержки из произведения)

Частные_производные_функции_нескольких_переменных.pdf
Стр.1
Стр.3
Стр.6
Стр.7
Стр.8
Стр.9
Стр.10
Частные_производные_функции_нескольких_переменных.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебно-методическое пособие Составители: Л.В. Безручкина, П.В. Садчиков Воронеж Издательский дом ВГУ 2019
Стр.1
самостоятельной работы студентов, Методические указания предназначены для активизации изучающих разделы «Частные производные функции нескольких переменных» учебной дисциплины курсов Б1.Б.5 Математика, Б1.Б.6 Математика и Б.1.Б.10 Математика. Разработка содержит учебный материал практических занятий, темой которых является техника вычисления примеров по темам: «Частные производные функции нескольких переменных» Пособие может быть использовано студентами для самостоятельного изучения материала и является базой для подготовки к семестровым зачетам и аттестациям по курсам Б1.Б.5 Математика, Б1.Б.6 Математика и Б.1.Б.10 Математика. Определение функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии, естествознания и пр. дисциплин приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных. Примеры: 1. Площадь треугольника S a h , где a – основание, а 1 2 h – высота ( S , a h – функция двух переменных). длина, ширина и высота соответственно ( V ,, x y z – функция от трех 2. Объем прямоугольного параллелепипеда V x y z    , где ,xy и z – переменных). Определение. Переменная z называется функцией двух переменных 2 соответствует единственное число z . Обозначения: z f x y z F x y z z x y и т.д.   ; ,    ; ,    ; переменными, а z – зависимой переменной или функцией. Множество D всех точек  z f x y  значений функции. Каждой тройке   При этом x и y называются аргументами или независимыми xy; , при которых z f x y   ;  имеет смысл, называется областью определения, а множество значений z , принимаемых функцией  ;  при x; y D , называется множеством x,, y z в пространстве Oxyz соответствует точка z f x y z f M . Областью  , ,  ( ) M ,, x y z . Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных: определения функции трех переменных будет все пространство или его часть. 3 x и y , если каждой упорядоченной паре xy;  значений двух независимых друг от друга переменных величин x и y из некоторой области D
Стр.3
  0 x y Определение. Частными производными функции z f x y z M z M z M f x x y f x y z M z M z M f x y y f x y    0     0   1    2    0     0  0    0  , 0 0    ,  z M  //0M  xy,xxlim 00 00  xyz M   . x     lim y M0  Определение. Частным дифференциалом функции z f x y  0 дифференциалы имеют вид d z M z M x d z M z M y  ,  в точке d z M и x x  0   0 dz M , то функции   0  z M dz M x, y порядка малости, чем  xy    , т.е. lim  00     dz M z M x z M yxy 0 в точке      , где  xy, бесконечно малого большего   . 0    0     0    22  xy   , x y 0 0  0 Если полное приращение функции можно так представить, то функция имеет полный дифференциал и ее называют дифференцируемой в точке, т.е. дифференциал функции есть бесконечно малая величина относительно бесконечных малых x и y , эквивалентная полному приращению функции. Теорема (необходимое и достаточное условие дифференцируемости).  Функция z f x y  ,  дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке непрерывные частные производные. Замечания. 1) xy z 2) xy     z dz d z d z z   Определение. Полным дифференциалом функции z f x y //    .  0    ; y  0   y  0 M называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно x и y , причем если функция имеет полный дифференциал //    . Тогда полное приращение M можно представить в виде d z M . Легко показать, что частные 0   x  y  0    0 0  0 0 , ,  , .  ,  в точке M по переменным x или y называют пределы отношения частного приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю и обозначаются:  изменения функции в точке 0 Механический смысл частных производных – мгновенная скорость M в направлении оси Ox или Oy .  ,  в точке M по x или y называется главная часть частного приращения функции по x или y , линейная относительно x или y . Обозначаются частные дифференциалы 6
Стр.6
M0 1;2 функции z 23xy x y  z M z M z M x 4 2 1  x 0      xx;00  6; /  z M z M z M0            12 2 6 x d z M z M  y      07 ;y z M0   7; 2     7 y y 7 y y ( ) dz M x y  образом: 0 67     для независимых переменных дифференциал имеет вид // f x y / x x dx y dy ; Замечание. Частные производные можно обозначить следующим  z zz f x y  . x x    / x  ; ;;; z f x y   / dz z dx z dy . f x y xy y  y  ; /  y y Правило нахождения частных производных Чтобы найти частную производную по одной из переменных x или y, необходимо вторую переменную y или x зафиксировать (т.е. считать постоянной) и находить производную как от функции одной переменной x или y , пользуясь таблицей и правилами нахождения производной для функции одной переменной. 4 z x y x y 2 3 5 7 Пример. Найти частные производные по x и y для функции 2 3     и полный дифференциал. Решение. (Такая формулировка, как правило, подразумевает нахождение частных производных первого порядка). В первую очередь найдем частную производную по x (переменную y считаем постоянной): 2 3 zx  2x y x y / x считается постоянной).  2 3 y     4 3 5 7 2y x  /  3 2 x     4 x  3      / x 4 / x 0 0 4 12x . xy //  / 2 3 0 5 y 7 z  2x y x y yy y / 3 3 Аналогично находим частную производную по y (тогда переменная  3 5 7 2x y       . 2 2 0 6x y 5    , тогда полный 0      y y  /               22 z z M z M x 2  6 4 x x y x y y  0             12 2 2 1    x y 0 0 x 3 7 6 ;    y x y  2    1 2  y 2 1 3 1  y 1    1 Пример. Найти частные приращения, полное приращение, частные     . 2 , тогда Решение. Возьмем точки M 1 ;2 ;121;2 ; 1 ;2       x  6 4 2 6    x M y M x   y 0               дифференциалы, полный дифференциал, частные производные в точке 
Стр.7
Тогда полный дифференциал  dz xy4 12x dx x y dy .   3 z ln x y и полный дифференциал. Решение. 2  z    / x x z    /   lnx y  2 x / y lnx y  2 / 1 x y 1  x y  Полный дифференциал: z x y y Решение. 34 sin xy z x y y    / zzz  2 3 sin , x y z arctg   y  . или xy cos 4 или    / 3 3 . Пример. Найти частные производные первого порядка функции x Решение. 22 2 1 1   .     z x 11           z f x y  xx y yy y y ;    Производные и дифференциал сложной функции Пусть x t y t( ) ( ), Тогда ,xy , а, следовательно, и z получат свои приращения  и z . В // ,, d ,x dy dt dt xy, силу достаточного условия дифференцируемости  откуда xy f x y t z f x y x f x y y x y     , z // ,,    xy  x Устремим теперь t к нулю. Тогда x и y будут стремиться к нулю, так как функции x и y непрерывны (мы предположили t   f x y    y    . t y t x t  будет функцией одной переменной t . Предположим, что // и  ,  , где  . Тогда в конечном итоге z zz непрерывны xy, существуют. Найдем dz dt . Дадим переменной t приращение t . z 1 x 3   6 2    2 2    2 x y  x y  / y dz dx ydy xy   2  2 / x 2 2  5 Пример. Найти частные производные по x и y для функции  1 x y 1  x y .  2    0 2  1 0 y 1 x y  2    2 ; 2y  x y 2 . Пример. Найти частные производные первого порядка функции 8
Стр.8
существование производных / нулю. В пределе мы получим t dt или, короче dz dz dx dz dy dt dx dt dy dt     Найти частные z x x   y , arctg , sin . 1 Решение. / yy / t y t x    z y x z x x xt  / , Тогда dz y x dt   t yy 2 1   arctg   x x t 1 t 1 sin arctgt sin t sin 1   arctg ln arctg cost tt 1 1 t 1 arctg 2 sin  2 t ttt tt sin  cos ln arctgt       Производная функции, заданной неявно Если уравнение, с помощью которого задается функция одной переменной x , не разрешено относительно y , то эта функция называется неявной. Разрешая это уравнение относительно y , мы получаем ту же функцию, но уже заданную в явной форме. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно y невозможно (например, 2 2 2 yx   ) или нецелесообразно; в этом случае уравнение так и y 1 0 оставляют неразрешенным, в общем виде (когда все его члены перенесены в левую часть): F( , ) 0x y  неявной функции, не разрешая уравнение ( , ) 0 F( , ) 0. F ,0   x y x  и dF 0 . Отсюда // В связи с этим возникает вопрос о том, как найти производную F x y  относительно y . Рассмотрим функцию одной переменной, заданную неявно x y  Подставим зависимость () F dx F dyxy 0 получили формулу для производной функции () yx в уравнение F( , ) 0x y  . Тогда     . Таким образом, yx , заданной неявно: ln cos  t    y   ln , 1 1 t 2 , yt  cos . / t ( * ) Формула (*) называется формулой производной сложной функции. Пример. производные функции x и / t f x y dt  dz // ,,f x yxy , dz dt y ), а потому  и  будут стремиться к dy 9
Стр.9
  F x y dy dx F x y / / x y dx F x y dy F x y / / y x   e x y xy , , условий /   ( , ) ( , ) . Аналогично получаем производную для . Для существования dy dx F  или / x 0 F  . y 0    . Найти dy dx . согласно формуле Пример. Пусть y как функция от x задана соотношением 0 Решение. Для ( , )    имеем // xy xy dy dx F x y  F x y / / x y x a t y a t sin cos , F x y e x y xyF ye F xe xy xy ( , ) ( , ) имеем 1. Найти производную dz dt 2. Найти dz dt , если 53 2 z x xy y x 1, 2, 2 y z dx xe   1 dy Примеры для самостоятельного решения функции t y ze      и  t x cos2 , arctg функции z аргументов x и y , заданной уравнением 2      3. Найти полный дифференциал и частные производные неявной    в точке x y z 2 2 9 Частные производные высших порядков Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции z f x y  которые обозначаются символами: 2 z // xx 22 xy   z x , z // yy  Частные производные и старших порядков. 10 y z , z // xy и  z 2 //   z 2  x y z , отличающиеся порядком // yx дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка. Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого , z // yx    .  z 2 y x  ,  двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, 22 xy , если 1, ye xy 1     и  . 1 или dx dy xy : () необходимо выполнение
Стр.10

Облако ключевых слов *


* - вычисляется автоматически