Математические основы защиты информации (400,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.307

Стр.308

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» В. С. Пилиди МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ Рекомендовано экспертным советом по направлению «Математика, механика, информатизация» ЮФУ в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Фундаментальная информатика и информационные технологии» и «Прикладная математика и информатика» Ростов-на-Дону – Таганрог Издательство Южного федерального университета 2019

Стр.2

УДК 511+512.5 ББК 22.13+22.144 П32 Печатается по решению экспертного совета «Математика, механика, информатизация» Южного федерального университета (протокол № 1 от 25 ноября 2019 г.) Рецензенты: кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» ФГБОУ ВО ДГТУ В. В. Долгов; кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и дискретной математики института математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета С. С. Михалкович Пилиди, В. С. П32 Математические основы защиты информации : учебное пособие / В. С. Пилиди ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2019. – 308 с. ISBN 978-5-9275-3363-3 Настоящая книга представляет собой учебник по математическим основам защиты информации. Она посвящена изложению основ теории чисел и общей алгебры, в ней среди прочего рассматриваются такие вопросы как делимость чисел и мультипликативные функции, теория групп, элементы теории колец и полей, символы Лежандра и Якоби, тестирование чисел на простоту и дискретное логарифмирование. Во второе издание книги добавлены главы, посвященные введению в криптографию и теорию информации. Приведены решения всех имеющихся в тексте задач. Пособие может быть использовано студентами, обучающимися по программам бакалавриата направлений подготовки «Фундаментальная информатика и информационные технологии» и «Прикладная математика и информатика». Публикуется в авторской редакции. УДК 511+512.5 ББК 22.13+22.144 ISBN 978-5-9275-3363-3 © Южный федеральный университет, 2019 © Пилиди В. С., 2019

Стр.3

Оглавление Введение 1 Введение в теорию чисел 3 4 1.1 Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Деление с остатком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Отношение делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Наибольший общий делитель . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Алгоритм Евклида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Взаимно простые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7 Наименьшее общее кратное . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8 Простые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.9 Мультипликативные функции . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.10 Сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.11 Сравнения первой степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.12 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2 Группы 48 2.1 Бинарная операция. Моноиды . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2 Определение группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3 Порядок элемента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4 Подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.5 Циклические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.6 Гомоморфизм и изоморфизм . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.7 Смежные классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.8 Нормальные подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.9 Прямое произведение групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.10 Экспонента группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3 Кольца и поля 99 3.1 Определение кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2 Кольцо многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 306

Стр.307

Оглавление 307 3.3 Идеалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.4 Характеристика поля, подполе . . . . . . . . . . . . . . . . 139 3.5 Конечные расширения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.6 Дополнение 1. Поле частных . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 3.7 Дополнение 2. Отношение делимости в кольце . . . . . . . 163 3.8 Дополнение 3. Евклидовы кольца . . . . . . . . . . . . . . 165 3.9 Дополнение 4. Формальные степенные ряды . . . . . . . . 167 3.10 Дополнение 5. Подполя конечных полей . . . . . . . . . . . 171 4 Теория чисел. Продолжение 173 4.1 Дискретное логарифмирование . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.2 Двучленные сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.3 Символ Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.4 Символ Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 4.5 Цикличность групп Z∗n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 4.6 Структура группы Z∗2n 4.7 Сравнения по составному модулю . . . . . . . . . . . . . . 199 4.8 Тестирование чисел на простоту . . . . . . . . . . . . . . . 206 5 Криптосистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 214 5.1 Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.2 Примеры криптосистем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.3 Криптоанализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 5.4 Стойкость криптосистем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 6 Теория информации 244 6.1 Определение энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 6.2 Кодирование для канала без шума . . . . . . . . . . . . . . 254 6.3 Однозначно декодируемые коды . . . . . . . . . . . . . . . 255 6.4 Ложные ключи и расстояние единственности . . . . . . . . 265 7 Решения задач 273 7.1 Задачи главы 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.2 Задачи главы 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 7.3 Задачи главы 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 7.4 Задачи главы 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

Стр.308