Курс лекций по алгебре. Многочлены (110,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

Стр.10

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А.В. Звягин КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АЛГЕБРЕ. МНОГОЧЛЕНЫ Учебно-методическое пособие Воронеж Издательский дом ВГУ 2018

Стр.1

Оглавление 1. Кольцо многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Деление многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3. Корни многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4. Основная теорема алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5. Каноническое разложение многочлена над полем комплексных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6. Каноническое разложение многочлена над полем вещественных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 8. Рациональные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3

Стр.3

Определение 1.3. Суммой многочленов f(x) = bixi называется многочлен is =0 h(x) = max(n,s)i=0 in =0 aixi и g(x) = cixi, где ci = ai + bi. (1.2) Здесь недостающие коэффициенты ai, bi заменяют нулями. Из определения вытекают следующие простые факты. 1. Для любого многочлена f(x) ∈ P[x] f(x) + 0 = 0 + f(x) = f(x). 2. Для ненулевых многочленов f(x), g(x), f(x) + g(x) deg(f + g) ≤ max(deg f, deg g). стве P[x]. g(x) = is =0 (1.3) (1.4) 3. Если f(x), g(x) ∈ P[x], то f(x) + g(x) ∈ P[x], т.е. сложение многочленов является бинарной алгебраической операцией на множеОпределение 1.4. Произведением многочленов f(x) = bixi называется многочлен h(x) = Здесь суммирование в i+j=k n+sk=0 ckxk, где ck = i+j=k aibj, k = 0, n + s. in =0 aixi и (1.5) aibj ведется по всевозможным индексам i и j, для которых i + j = k. Из определения вытекают следующие простые факты. 6

Стр.6

1. Произведение ненулевых многочленов над полем P не может быть нулевым, при этом deg fg = deg f + deg g. стве P[x] (1.6) 2. Если f(x), g(x) ∈ P[x], то f(x)g(x) ∈ P[x], т.е. умножение многочленов является бинарной алгебраической операцией на множе3. Операция умножения многочленов порождает операцию умножения многочлена на элемент из поля P как частный случай умножения многочленов: если f(x) = αf(x) = in =0 aixi и α ∈ P, то n i=0 αaixi, таким образом, на множестве P[x] определен и внешний закон композиции. Приведем примеры действий с многочленами. Пример 1.1. Пусть f(x) = 2x3 + x2 + 2 и g(x) = x3 + 2x2 + 2x + 1 – многочлены над полем Z3. Вычислить: 1) f(x) + g(x); 2) f(x)g(x); 3) (f(x) + 2g(x))9. Решение: 1)f(x) + g(x) = (2 + 1)x3 + (1 + 2)x2 + (0 + 2)x + (2 + 1) = 2x; 2)f(x)g(x) = (2x3+x2+2)(x3+2x2+2x+1) = 2x6+2x5+x3+2x2+x+2; 3)f(x) + 2g(x) = (2x3 +x2 + 2) + 2(x3 + 2x2 + 2x+ 1) = x3 + 2x2 +x+ 1. Так как Z3 – поле характеристики 3, то в нем справедливы тождества (a + b)3 = a3 + b3, (a + b)9 = a9 + b9. Разумеется, это распространяется и на многочлены над полем Z3. Поэтому (f(x) + 2g(x))9 = (x3 + 2x2 + x + 1)9 = = (x3)9 + 29(x2)9 + x9 + 19 = x27 + 2x18 + x9 + 1. 7

Стр.7

Теорема 1.1. Множество P[x] всех многочленов над полем P является коммутативным кольцом с единицей и без делителей нуля (областью целостности). Доказательство. Проверим все аксиомы кольца. Прежде всего отметим, что P[x] - аддитивная абелева группа: коммутативность и ассоциативность сложения очевидны (в силу (1.2)), нулем является нулевой многочлен (как отмечено в (1.3)). Противоположным к многочлену f(x) = гочлен −f(x) = Коммутативность умножения следует из коммутативности умножения элементов в поле. Докажем ассоциативность умножения. Пусть fn(x) = in =0 значим через αk, βk, γk, δk коэффициенты при xk у многочленов f(x)g(x), g(x)h(x), (f(x)g(x))h(x) и f(x)(g(x)h(x)) соответственно. Тогда в силу (1.5): kn =0 akxk, gs(x) = ks =0 bkxk и hp(x) = kp =0 γk = i+j=k δk = r+i=k αicj = i+j=k r+t=i arβi = r+i=k т.е. γk = δk. Отсюда, если учесть, что deg(fg)h = deg f(gh) = n + s + p, следует равенство (f(x)g(x))h(x) = f(x)(g(x)h(x)). Роль единицы при умножении многочленов играет число 1, рассматar  t+j=i btcj = r+t+j=k риваемое как многочлен нулевой степени. i Справедливость аксиомы дистрибутивности вытекает из равенства +j=k ства является коэффициентом при xk в многочлене (f(x) + g(x))h(x), а правая часть - коэффициентом при этой же степени x в многочлене f(x)h(x) + g(x)h(x). Наконец, из (1.6) следует, что в P[x] нет делителей нуля. (ai +bi)cj = i+j=k aicj + i+j=k 8 bicj, так как левая часть этого равенarbt cj = r+t+j=k arbtcj, arbtcj, (−ai)xi. ckxk. Обоin =0 aixi, как легко проверить, является мно

Стр.8

Замечание 1.1. Кольцо P[x] не является полем, так как не всякий многочлен f(x) ∈ P[x] обладает обратным многочленом f−1(x). Действительно, равенство f(x)f−1(x) = 1 с учетом (1.6) означает, что многочлены нулевой степени, и только они, обладают обратными. Отсюда вытекает, что для умножения многочленов обратная операция - деление - не существует. В этом отношении система всех многочленов над полем P напоминает систему всех целых чисел. Эта аналогия проявляется в том, что для многочленов, как и для целых чисел, существует алгоритм деления с остатком. 9

Стр.9

2. Деление многочленов Сначала приведем теорему о представление многочлена. Теорема 2.1. Для двух любых многочленов f(x), g(x) ∈ P[x], где g(x) = 0, существует, и притом единственная, пара многочленов q(x), r(x) ∈ P[x] такая, что: f(x) = g(x)q(x) + r(x), где либо r(x) = 0, либо deg r < deg g. Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Будем считать, что f(x) = 0, так как в противном случае можно положить q(x) = 0, r(x) = 0. Пусть f(x) = чения общности считаем, что n ≥ s, так как в противном случае можно взять q(x) = 0 и r(x) = f(x). Применим метод математической индукin =0 aixi, g(x) = is =0 ции по степени n многочлена f(x), считая g(x) фиксированным. 1. Пусть n = 0. Тогда s = 0 и q(x) = a0b−1 0 , r(x) = 0. 2. Пусть теперь теорема верна для любого многочлена степени меньшей n. 3. Докажем теорему для многочлена f(x) степени n ≥ s. Воспроизведем первый шаг известного из элементарной алгебры алгоритма деления многочленов с действительными коэффициентами, т.е. построим одночлен anb−1 s xn−s и составим разность f1(x) = f(x) − anb−1 s xn−sg(x). (2.2) Либо многочлен f1(x) равен 0, либо deg f1 < n. В первом случае можно предположить q(x) = anb−1 гочлена f1(x) по индуктивному предположению найдутся многочлены q1(x) и r(x) такие, что f1(x) = g(x)q1(x) + r(x), где либо r(x) = 0, либо deg r < deg g. Тогда, согласно (2.2), f(x) = anb−1 r(x). Положив q(x) = anb−1 s xn−s, r(x) = 0. Во втором случае для мноs xn−sg(x) + g(x)q1(x) + q(x), r(x) ∈ P[x], удовлетворяющих условиям (2.1). 10 s xn−s + q1(x), приходим к паре многочленов bixi, deg f = n, deg g = s. Без ограни(2.1)

Стр.10