Краткий курс высшей математики (200,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

Стр.8

УДК 517 (0. 75.8) ББК 22.16 К78 Авторы: К. В. Балдин — доктор экономических наук, профессор; А. В. Рукосуев — старший преподаватель. А. И. Данилов — доктор экономических наук, профессор, Финансовый университет при Правительстве РФ. И. В. Минаев — доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, Военная академия РВСН им. Петра Великого; Рецензенты: К78 Краткий курс высшей математики : учебник для бакалавров / [К. В. Балдин, А. В. Рукосуев] ; под общ. ред. д. э. н., проф. К. В. Балдина. — 6-е изд. — Москва : Издательскоторговая корпорация «Дашков и К°», 2023. — 510 с. ISBN-978-5-394-05268-2. Настоящий учебник содержит систематизированное изложение основ математики и написан на базе лекционных курсов, которые авторы преподавали в ряде вузов столицы. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим направлениям и специальностям. Сертификат соответствия № РОСС RU.AB51.HO5316 Подписано в печать 10.09.2022. Формат 60 Ч 90 1/16. Печ. л. 32. Тираж 100 экз. Заказ № 181793 Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°» 129347, Москва, Ярославское шоссе, д. 142, к. 732 Тел.: 8 (495) 668-12-30, 8 (499) 182-01-58 E-mail: sales@dashkov.ru — отдел продаж; office@dashkov.ru — офис; http://www.dashkov.ru ISBN-978-5-394-05268-2 © Коллектив авторов, 2009 © Оформление. ООО «ИТК «Дашков и К°», 2021, с изменениями

Стр.2

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение .....................................................................................................................................9 Глава 1. Основы дискретной математики ..........................................12 1.1. Основы теории множеств ..............................................................12 1.2. Основные понятия комбинаторики ......................................26 1.3. Основы теории графов .....................................................................29 1.4. Некоторые сведения из математической логики ...........................................................59 Задачи для самостоятельного решения ...........................66 Вопросы для самопроверки ........................................................67 Глава 2. Элементы линейной и векторной алгебры ..................69 2.1. Матрицы, определители и их свойства ............................69 2.2. Системы линейных алгебраических уравнений .........................................................90 2.3. Собственные числа, собственные векторы матриц и квадратичные формы ..............................................97 2.4. Некоторые сведения о векторах ..........................................106 Задачи для самостоятельного решения ........................119 Вопросы для самопроверки .....................................................121 Глава 3. Функции и пределы .......................................................................123 3.1. Некоторые сведения о функциях .......................................123 3.2. Предел последовательности. Предел функции. Вычисление пределов .....................136 3.3. Комплексные числа ........................................................................150 3

Стр.3

Задачи для самостоятельного решения ........................152 Вопросы для самопроверки .....................................................154 Глава 4. Основы дифференциального исчисления.................155 4.1. Производная первого порядка. Дифференциал. Производные высших порядков ..........................................155 4.2. Некоторые сведения о функциях многих переменных. Понятие о частной производной ........166 4.3. Некоторые приложения дифференциального исчисления ........................................176 4.3.1. Формула Тейлора ............................................................176 4.3.2. Правило Лопиталя ..........................................................179 4.3.3. Асимптоты .............................................................................182 4.3.4. Исследование функций с помощью производных первого и второго порядков, построение их графиков ..................186 4.3.5. Экстремумы функций двух и многих аргументов .............................................................................197 4.3.6. Понятие о методе наименьших квадратов ...............................................202 Задачи для самостоятельного решения ........................205 Вопросы для самопроверки .....................................................207 Глава 5. Элементы интегрального исчисления ..........................210 5.1. Первообразная и неопределенный интеграл ...........210 5.2. Определенный интеграл .............................................................233 5.3. Некоторые сведения о несобственных интегралах ...................................................242 5.3.1. Несобственный интеграл первого рода .........242 5.3.2. Несобственный интеграл второго рода .........247 5.4. Некоторые приложения определенного интеграла ...........................................................251 5.4.1. Вычисление площадей плоских фигур .........251 4

Стр.4

5.4.2. Нахождение длины дуги кривой ........................257 5.4.3. Объем тела вращения ..................................................260 5.5. Приближенное вычисление определенных интегралов ...............................................................................................263 5.6. Понятие о двойном интеграле ................................................269 5.7. Некоторые сведения о тройном интеграле .................289 Задачи для самостоятельного решения ........................295 Вопросы для самопроверки .....................................................299 Глава 6. Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях .............................................................................................301 6.1. Основные понятия и определения .....................................301 6.2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка .........302 6.2.1. Общие понятия ...................................................................302 6.2.2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными .......................................................................303 6.2.3. Однородные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным .........307 6.2.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли ....................................................315 6.2.5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель ..................................323 6.2.6. Уравнения Лагранжа и Клеро ..............................326 6.3. Дифференциальные уравнения 2-го порядка .........331 6.3.1. Общие понятия ...................................................................331 6.3.2. Дифференциальные уравнения второго порядка, решаемые с помощью понижения порядка ..........................334 5

Стр.5

6.3.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ..............................................................339 6.3.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ..............................................................342 6.4. Понятие о системах обыкновенных дифференциальных уравнений ...........................................350 Задачи для самостоятельного решения ........................355 Вопросы для самопроверки .....................................................358 Глава 7. Ряды .............................................................................................................360 7.1. Числовые ряды ...................................................................................360 7.2. Функциональные ряды ................................................................365 7.3. Степенные ряды .................................................................................367 7.4. Некоторые приложения степенных рядов .................370 7.4.1. Приближенное вычисление определенных интегралов ........................................370 7.4.2. Приближенное решение дифференциальных уравнений ..........................372 7.5. Понятие о рядах Фурье ...............................................................374 Задачи для самостоятельного решения ........................378 Вопросы для самопроверки .....................................................379 Глава 8. Краткие сведения из теории вероятностей .............381 8.1. Общие понятия и определения .............................................381 8.2. Классификация событий ............................................................382 8.3. Алгебра событий ................................................................................383 8.4. Вероятность события .....................................................................385 8.5. Алгебра вероятностей...................................................................390 6

Стр.6

8.6. Случайные величины ....................................................................394 8.7. Понятие о нормальном распределении .........................408 8.8. Системы случайных величин .................................................411 8.9. Понятие о предельных теоремах ........................................425 Задачи для самостоятельного решения ........................428 Вопросы для самопроверки .....................................................429 Глава 9. Задачи линейного программирования и методы их решения ...................................................................431 9.1. Постановка задачи линейного программирвоания ...........................................................................431 9.2. Графический метод решения задач линейного программирования ...............................................433 9.3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования ...............................................440 9.3.1. Стандартная форма задач линейного программирования ..........................................................440 9.3.2. Основные понятия симплекс-метода..............442 9.3.3. Алгоритм симплекс-метода ....................................445 9.3.4. Метод искусственных переменных .................448 9.4. Двойственная задача линейного программирования ...............................................452 9.5. Анализ чувствительности задачи линейного программирования ...............................................458 9.6. Классификация методов решения задач целочисленного линейного программирования ......463 9.7. Метод отсекающих плоскостей Гомори ........................465 9.7.1. Метод Гомори для полностью целочисленных задач ...................................................465 9.7.2. Метод Гомори для частичноцелочисленных задач ...................................................470 7

Стр.7

9.8. Метод ветвей и границ .................................................................473 Задачи для самостоятельного решения ........................476 Вопросы для самопроверки .....................................................477 Глава 10. Специальные задачи линейного программирования .............................................478 10.1. Вербальная и математическая постановка транспортной задачи линейного программирования ...........................................................................478 10.2. Решение транспортной задачи .............................................482 10.3. Практическое решение задачи оптимального планирования ...................................................492 10.4. Многопродуктовая транспортная задача ....................499 10.5. Транспортная модель с промежуточными пунктами ................................................503 Задачи для самостоятельного решения ........................506 Вопросы для самопроверки .....................................................507 Литература .........................................................................................................................508 8

Стр.8