Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 507300)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента
Уважаемые СТУДЕНТЫ и СОТРУДНИКИ ВУЗов, использующие нашу ЭБС. Рекомендуем использовать новую версию сайта.

Применение интегралов типа Коши при моделировании некоторых физических процессов в средах с разрезами (180,00 руб.)

0   0
АвторыПетрова Вера Евгеньевна, Медведев Сергей Николаевич, Медведева Ольга Александровна, Корольков Олег Геннадьевич
ИздательствоИздательский дом ВГУ
Страниц62
ID673153
АннотацияПодготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Кому рекомендованоРекомендовано для студентов 3–4-го курсов очной формы обучения факультета прикладной математики, информатики и механики и для студентов 3–4-го курсов очной формы обучения математического факультета.
Применение интегралов типа Коши при моделировании некоторых физических процессов в средах с разрезами [Электронный ресурс] / В.Е. Петрова, С.Н. Медведев, О.А. Медведева, О.Г. Корольков .— Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2017 .— 62 с. — 62 с. — Режим доступа: https://rucont.ru/efd/673153

Предпросмотр (выдержки из произведения)

Применение_интегралов_типа_Коши_при_моделировании_некоторых_физических_процессов_в_средах_с_разрезами_.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СРЕДАХ С РАЗРЕЗАМИ Учебно-методическое пособие для вузов Составители: В.Е. Петрова, С.Н. Медведев, О.А. Медведева, О.Г. Корольков Воронеж Издательский дом ВГУ 2017
Стр.1
Содержание 1 Некоторые сведения из теории аналитических функций 5 1.1 Дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Интеграл от комплексной функции . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Интегралы типа Коши 9 2.1 Определение и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Функции, удовлетворяющие условию Гёльдера . . . . . . . 12 3 Главное значение интеграла типа Коши 16 3.1 Несобственный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Главное значение особого интеграла . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Многозначные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.4 Сингулярный криволинейный интеграл . . . . . . . . . . . 20 3.5 Свойства особого интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 Предельные значения интеграла типа Коши 26 4.1 Формулы Сохоцкого – Племеля . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2 Условие того, что произвольная комплексная функция есть краевое значение функции аналитической в области . . . . 29 4.3 Дифференцирование интеграла типа Коши и особого интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4 Формулы Сохоцкого – Племеля для угловых точек контура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.5 Интеграл типа Коши по действительной оси . . . . . . . . 34 4.6 Свойства предельных значений интеграла типа Коши . . . 39 5 Некоторые краевые задачи 42 5.1 Задача Римана – Гильберта для прямолинейного разреза . 42 3
Стр.3
Пусть f(z) = u(x, y)+iv(x, y) есть однозначная функция комплексной переменной z, определенной в области D. Пусть u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы в области D. Тогда для того, чтобы функция W = f(z) была аналитична в области D необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Коши – Римана: ∂u ∂x = ∂v ∂y ; ∂u ∂y = −∂v ∂x. (1) Эти условия показывают, что функции u и v не могут быть выбраны независимо друг от друга, чтобы получить аналитическую функцию f(z). Дифференцируя первое уравнение (1) по x, второе по y и складывая результат, получим уравнение вида ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0, т.е. △u = 0. Аналогично можно получить △v = 0. Следовательно, функции u и v являются гармоническими в области D. Отметим, что u = Ref(z) и v = Imf(z), поэтому аналитическая функция f(z) является гармонической функцией. Однако, если взять за u и v две произвольные гармонические в области D функции, то u + iv в общем случае не будет аналитической функцией в этой области. Для того, чтобы u + iv была аналитической в области D, надо взять за одну из них произвольную гармоническую функцию, например u, и определить затем v из уравнений Коши – Римана (1). Понятие голоморфности функции Функция f(z) есть голоморфная функция в точке a, если она в некоторой окрестности этой точки разлагается в степенной ряд относительно (z − a). Это свойство голоморфности функции в точке a эквивалентно свойству аналитичности в этой же точке. Мы будем пользоваться понятием аналитичности, предполагая разложимость функции в окрестности точки в степенной ряд. Производную от аналитической функции f(z) можно выразить че6
Стр.6
рез её действительную и мнимую части u и v следующим образом: ∂x = ∂v f ′(z) = ∂u ∂x + i∂v ∂y − i∂u ∂y = ∂u ∂x − i∂u 1.2 Интеграл от комплексной функции Пусть W = f(z) — произвольная непрерывная функция комплексной переменной z, определенная в области D. Пусть L — простая гладкая кривая, принадлежащая области D и соединяющая точку a и точку b. Под гладкой кривой (или контуром) мы подразумеваем простую (т.е. без точек самопересечения) замкнутую или незамкнутую линию с непрерывно меняющейся касательной и не имеющей точек возврата (заострения). Интеграл от f(z) вдоль кривой L определяется т.е. он выражается через два действительных криволинейных интеграла. Если z = z(t), а кривая L задана параметрически для α ≤ t ≤ β, то ∫L f(z)dz = ∫L ∫L (udx − vdy) + i ∫L Если имеем кусочно-гладкую линию L, состоящую из гладких L1, + i ∫ β α L2,...,LN, тогда ∫L f(z)dz = ∫L1 1.3 Теорема Коши Утверждение. Если f(z) аналитична в односвязной области D и L ∈ D — кусочно-гладкая кривая, тогда ∫L f(z)dz не зависит от формы линии 7 f(z)dz + ... + ∫Ln f(z)dz. [v(z(t))x′(t) + u(z(t))y′(t)]dt = ∫ β α f(z)dz = ∫ β α (vdx + udy) = ∫L [u(z(t))x′(t) − v(z(t))y′(t)]dt+ f(z(t))z′(t)dt. (u − iv)(dx + idy), ∂y = ∂v ∂y + i∂v ∂x.
Стр.7
L, а определяется только положением начальной и конечной точек этой линии. Теорема. Если f(z) аналитична в односвязной области D, то для любого замкнутого контура C ∈ D имеет место следующее равенство ∫C f(z)dz = 0. Формула Коши Пусть f(z) — аналитическая функция в области D и непрерывна на её границе L. Тогда для любой точки ξ ∈ D f(ξ) = Направление интегрирования по L выбирается так, чтобы область D оставалась слева. 2πi ∫L t − ξ dt. 1 f(t) Аналитическая функция f(z) в замкнутой области D полностью определяется, если известны её значения на границе области D, т.е. формула Коши (2) решает краевую задачу для аналитических функций. Пусть L — некоторый гладкий замкнутый контур на комплексной плоскости Z. Обозначим через D+ область внутри контура L, а дополнительную к D+ ∪ L, содержащую бесконечно удаленную точку, обозначим D− и будем называть внешней. Контур L ̸∈ D+ и L ̸∈ D−. За положительное направление обхода контура L принимаем то, при котором область D+ остается слева. Если f(z) — функция, аналитическая в D+ и непрерывная в D+∪L, то согласно формуле Коши 1 2πi ∫L Если f(z) аналитична в области D− и непрерывна в D− ∪ L, то 1 τ − zdτ = { f(z), z ∈ D+, 0, z ∈ D−. f(τ) 2πi ∫L τ − zdτ = { f(∞), z ∈ D+, f(τ) −f(z) + f(∞), z ∈ D−. 8 (3) (2) (4)
Стр.8
Формула (4) — это прямое следствие из теоремы Коши, так как в этом случае подынтегральная функция f(τ)/(τ − z) (z ̸∈ D+) аналитична в D+ и непрерывна в D+ ∪ L. Интеграл, стоящий в левой части формул (3) и (4), называется интегралом Коши. 2 Интегралы типа Коши 2.1 Определение и свойства Пусть теперь L — гладкий замкнутый или незамкнутый контур, целиком расположенный в конечной части плоскости, τ — комплексная координата его точек и φ(τ) — непрерывная функция точек контура. Тогда интеграл Φ(z) = 2πi ∫L 1 φ(τ) τ − zdτ, (5) построенный так же, как и интеграл Коши, называется интегралом типа Коши. Функция φ(τ) называется его плотностью, а 1/(τ − z) — ядром. Свойства 1) Φ(z) — функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного за исключением точек самого контура L. Доказательство аналитичности Φ(z) заключается в установлении возможности дифференцирования по переменной z (параметру) под знаком интеграла. (Доказать самостоятельно.) Приведём теорему и доказательство для более общего случая. Из него аналитичность интеграла типа Коши будет вытекать как частный случай. Теорема. Пусть L — гладкий контур (замкнутый или незамкнутый), f(τ, z) — функция, непрерывная по переменной τ ∈ L, аналитическая по z в некоторой области D для всех значений τ ∈ L и ограниченная постоянной M при всех τ ∈ L и z ∈ D. Тогда функция, представленная 9
Стр.9
криволинейным интегралом F(z) = ∫L f(τ, z)dτ, есть аналитическая функция переменной z. Доказательство. Выберем круг радиуса R с центром в точке z, ограниченный окружностью C, целиком лежащей в D. Тогда, представляя аналитическую по z функцию f(τ, z) интегралом Коши, интеграл (5) можно записать так: F(z) = Используя тождество 1 получим равенство △z [ t − z −△z − t − z ] − (t − z)2 = 1 1 J = F(z +△z) − F(z) △z Пусть l — длина кривой L. Легко найдем оценку |J| = △z = △z 2πi ∫L При достаточно малом △z величину |J| можно сделать меньше любого заданного числа ε > 0. Следовательно, функция F(z) имеет производную, 2π R2(R − |△z|)2πRl. M равную F ′(z) = цируя ее, будем иметь ∂f(τ, z) ∂z Отсюда и из (6) следует = С другой стороны, еще раз используя формулу Коши и дифферен2πi ∫L 1 dτ ∫C (t − z)2 dt. f(τ, t) 2πi ∫C 1 10 f(τ, t)dt (t − z)2 . (6) 1 − 1 dτ ∫C (t − z)2(t − z −△z). f(τ, t)dt 2πi ∫L dτ ∫C 2πi ∫L 1 dτ ∫C f(τ, t) t − z dt. (t − z)2(t − z −△z), △z f(τ, t)dt (t − z)2 =
Стр.10

Облако ключевых слов *


* - вычисляется автоматически