МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ
ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ НЕКОТОРЫХ
ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
В СРЕДАХ С РАЗРЕЗАМИ
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители:
В.Е. Петрова, С.Н. Медведев,
О.А. Медведева, О.Г. Корольков
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2017
Стр.1
Содержание
1 Некоторые сведения из теории аналитических
функций
5
1.1 Дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Интеграл от комплексной функции . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Интегралы типа Коши
9
2.1 Определение и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Функции, удовлетворяющие условию Гёльдера . . . . . . . 12
3 Главное значение интеграла типа Коши
16
3.1 Несобственный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Главное значение особого интеграла . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Многозначные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Сингулярный криволинейный интеграл . . . . . . . . . . . 20
3.5 Свойства особого интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Предельные значения интеграла типа Коши
26
4.1 Формулы Сохоцкого – Племеля . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Условие того, что произвольная комплексная функция есть
краевое значение функции аналитической в области . . . . 29
4.3 Дифференцирование интеграла типа Коши и особого
интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Формулы Сохоцкого – Племеля для угловых точек
контура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5 Интеграл типа Коши по действительной оси . . . . . . . . 34
4.6 Свойства предельных значений интеграла типа Коши . . . 39
5 Некоторые краевые задачи
42
5.1 Задача Римана – Гильберта для прямолинейного разреза . 42
3
Стр.3
Пусть f(z) = u(x, y)+iv(x, y) есть однозначная функция комплексной
переменной z, определенной в области D. Пусть u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы
в области D. Тогда для того, чтобы функция W = f(z)
была аналитична в области D необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
условия Коши – Римана:
∂u
∂x = ∂v
∂y ; ∂u
∂y = −∂v
∂x.
(1)
Эти условия показывают, что функции u и v не могут быть выбраны
независимо друг от друга, чтобы получить аналитическую функцию f(z).
Дифференцируя первое уравнение (1) по x, второе по y и складывая результат,
получим уравнение вида
∂2u
∂x2 + ∂2u
∂y2 = 0,
т.е. △u = 0. Аналогично можно получить △v = 0. Следовательно, функции
u и v являются гармоническими в области D. Отметим, что u =
Ref(z) и v = Imf(z), поэтому аналитическая функция f(z) является
гармонической функцией. Однако, если взять за u и v две произвольные
гармонические в области D функции, то u + iv в общем случае не будет
аналитической функцией в этой области. Для того, чтобы u + iv была
аналитической в области D, надо взять за одну из них произвольную гармоническую
функцию, например u, и определить затем v из уравнений
Коши – Римана (1).
Понятие голоморфности функции
Функция f(z) есть голоморфная функция в точке a, если она в некоторой
окрестности этой точки разлагается в степенной ряд относительно
(z − a). Это свойство голоморфности функции в точке a эквивалентно
свойству аналитичности в этой же точке. Мы будем пользоваться понятием
аналитичности, предполагая разложимость функции в окрестности
точки в степенной ряд.
Производную от аналитической функции f(z) можно выразить че6
Стр.6
рез её действительную и мнимую части u и v следующим образом:
∂x = ∂v
f ′(z) = ∂u
∂x + i∂v
∂y − i∂u
∂y = ∂u
∂x − i∂u
1.2 Интеграл от комплексной функции
Пусть W = f(z) — произвольная непрерывная функция комплексной
переменной z, определенная в области D. Пусть L — простая гладкая
кривая, принадлежащая области D и соединяющая точку a и точку b.
Под гладкой кривой (или контуром) мы подразумеваем простую
(т.е. без точек самопересечения) замкнутую или незамкнутую линию с
непрерывно меняющейся касательной и не имеющей точек возврата (заострения).
Интеграл
от f(z) вдоль кривой L определяется
т.е. он выражается через два действительных криволинейных интеграла.
Если z = z(t), а кривая L задана параметрически для α ≤ t ≤ β, то
∫L
f(z)dz = ∫L
∫L
(udx − vdy) + i ∫L
Если имеем кусочно-гладкую линию L, состоящую из гладких L1,
+ i ∫ β
α
L2,...,LN, тогда
∫L
f(z)dz = ∫L1
1.3 Теорема Коши
Утверждение. Если f(z) аналитична в односвязной области D и L ∈ D
— кусочно-гладкая кривая, тогда ∫L f(z)dz не зависит от формы линии
7
f(z)dz + ... + ∫Ln
f(z)dz.
[v(z(t))x′(t) + u(z(t))y′(t)]dt = ∫ β
α
f(z)dz = ∫ β
α
(vdx + udy) = ∫L
[u(z(t))x′(t) − v(z(t))y′(t)]dt+
f(z(t))z′(t)dt.
(u − iv)(dx + idy),
∂y = ∂v
∂y + i∂v
∂x.
Стр.7
L, а определяется только положением начальной и конечной точек этой
линии.
Теорема. Если f(z) аналитична в односвязной области D, то для
любого замкнутого контура C ∈ D имеет место следующее равенство
∫C
f(z)dz = 0.
Формула Коши
Пусть f(z) — аналитическая функция в области D и непрерывна на
её границе L. Тогда для любой точки ξ ∈ D
f(ξ) =
Направление интегрирования по L выбирается так, чтобы область D оставалась
слева.
2πi ∫L t − ξ dt.
1
f(t)
Аналитическая функция f(z) в замкнутой области D полностью
определяется, если известны её значения на границе области D, т.е. формула
Коши (2) решает краевую задачу для аналитических функций.
Пусть L — некоторый гладкий замкнутый контур на комплексной
плоскости Z. Обозначим через D+ область внутри контура L, а дополнительную
к D+ ∪ L, содержащую бесконечно удаленную точку, обозначим
D− и будем называть внешней. Контур L ̸∈ D+ и L ̸∈ D−. За положительное
направление обхода контура L принимаем то, при котором область D+
остается слева.
Если f(z) — функция, аналитическая в D+ и непрерывная в D+∪L,
то согласно формуле Коши
1
2πi ∫L
Если f(z) аналитична в области D− и непрерывна в D− ∪ L, то
1
τ − zdτ = { f(z), z ∈ D+,
0, z ∈ D−.
f(τ)
2πi ∫L τ − zdτ = { f(∞), z ∈ D+,
f(τ)
−f(z) + f(∞), z ∈ D−.
8
(3)
(2)
(4)
Стр.8
Формула (4) — это прямое следствие из теоремы Коши, так как в
этом случае подынтегральная функция f(τ)/(τ − z) (z ̸∈ D+) аналитична
в D+ и непрерывна в D+ ∪ L.
Интеграл, стоящий в левой части формул (3) и (4), называется интегралом
Коши.
2 Интегралы типа Коши
2.1 Определение и свойства
Пусть теперь L — гладкий замкнутый или незамкнутый контур, целиком
расположенный в конечной части плоскости, τ — комплексная координата
его точек и φ(τ) — непрерывная функция точек контура. Тогда интеграл
Φ(z) =
2πi ∫L
1
φ(τ)
τ − zdτ,
(5)
построенный так же, как и интеграл Коши, называется интегралом типа
Коши. Функция φ(τ) называется его плотностью, а 1/(τ − z) — ядром.
Свойства
1) Φ(z) — функция, аналитическая во всей плоскости комплексного
переменного за исключением точек самого контура L.
Доказательство аналитичности Φ(z) заключается в установлении
возможности дифференцирования по переменной z (параметру) под знаком
интеграла. (Доказать самостоятельно.)
Приведём теорему и доказательство для более общего случая. Из
него аналитичность интеграла типа Коши будет вытекать как частный
случай.
Теорема. Пусть L — гладкий контур (замкнутый или незамкнутый),
f(τ, z) — функция, непрерывная по переменной τ ∈ L, аналитическая
по z в некоторой области D для всех значений τ ∈ L и ограниченная
постоянной M при всех τ ∈ L и z ∈ D. Тогда функция, представленная
9
Стр.9
криволинейным интегралом
F(z) = ∫L
f(τ, z)dτ,
есть аналитическая функция переменной z.
Доказательство. Выберем круг радиуса R с центром в точке z,
ограниченный окружностью C, целиком лежащей в D. Тогда, представляя
аналитическую по z функцию f(τ, z) интегралом Коши, интеграл (5)
можно записать так:
F(z) =
Используя тождество
1
получим равенство
△z [
t − z −△z − t − z ] − (t − z)2 =
1
1
J = F(z +△z) − F(z)
△z
Пусть l — длина кривой L. Легко найдем оценку
|J| = △z
= △z
2πi ∫L
При достаточно малом △z величину |J| можно сделать меньше любого
заданного числа ε > 0. Следовательно, функция F(z) имеет производную,
2π R2(R − |△z|)2πRl.
M
равную
F ′(z) =
цируя ее, будем иметь
∂f(τ, z)
∂z
Отсюда и из (6) следует
=
С другой стороны, еще раз используя формулу Коши и дифферен2πi
∫L
1
dτ ∫C (t − z)2 dt.
f(τ, t)
2πi ∫C
1
10
f(τ, t)dt
(t − z)2 .
(6)
1
− 1
dτ ∫C (t − z)2(t − z −△z).
f(τ, t)dt
2πi ∫L
dτ ∫C
2πi ∫L
1
dτ ∫C
f(τ, t)
t − z dt.
(t − z)2(t − z −△z),
△z
f(τ, t)dt
(t − z)2 =
Стр.10