Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи (220,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

Стр.10

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ Практическое руководство Составитель И. Д. Коструб Воронеж Издательский дом ВГУ 2017 1

Стр.1

СОДЕРЖАНИЕ Введение ............................................................................................................... 4 1. Основные понятия и определения ................................................................. 4 2. Дифференциальные уравнения первого порядка ........................................ 5 3. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка. Метод изоклин .................................................................................................... 7 4. Уравнения с разделяющимися переменными ........................................... 12 5. Некоторые задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям ....... 14 6. Однородные и приводящиеся к ним уравнения ......................................... 19 7. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель .... 22 8. Линейные уравнения первого порядка ....................................................... 25 9. Линейные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами ... 29 10. Линейные уравнения с переменными коэффициентами ........................ 35 11. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай простых корней) ........................ 38 12. Устойчивость по Ляпунову ........................................................................ 45 13. Спектральный признак устойчивости ....................................................... 50 14. Устойчивость по первому приближению ................................................. 52 15. Критерий Рауса-Гурвица ............................................................................ 55 Ответы ...................................................................................................... 58 Материалы для самопроверки ............................................................... 61 Справочные материалы .......................................................................... 63 Библиографический список ................................................................... 67 3

Стр.3

частная производная по y ( , 00 yx Теорема (Коши). Пусть дано уравнение (3). Если функция f ( , )yx f ( , )yxy и её непрерывны в некоторой области D плоскости Oxy, то в некоторой окрестности любой внутренней точки ) удовлетворяющее условию y y0 при x x0 . Определение. Начальными условиями или условиями Коши называются условия, которые задают значение функции 0y в фиксированной точке x0 . Записываются они в такой форме y x  . ( 0) y0 y  Определение. Общим решением уравнения (3) называется функция ( , )Cx , удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении C. ется функция y  ( , 0Cx янной Определение. Частным решением уравнения (3) в области D называ), полученная при определённом значении постоC C0 . Примеры. Рассмотрим различные уравнения при начальном условии y(0) 1. 1. y 0. Его общее решение ( ) Cx  Частное решение оши . получающееся при C 1. 2. оши Коши К ( )  xx 3.  (x e) y ay. ax y 1. Его общее решение x x C 1, получающееся при C 1. ( ) ( ) , получающееся при C 1. При написании этого раздела использовалась литература [1], [3], [4]. . Его общее решение x Ceax . К ( ) 1x , Частное решение Частное решение этой области существует единственное решение уравнения (3), 6

Стр.6

3. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка. Метод изоклин y  Рассмотрим дифференциальное уравнение (3). Пусть его решение ( )x , график которого есть непрерывная интегральная кривая, причём в каждой её точке существует касательная. Из дифференциального уравнения следует, что угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в каждой её точке равен правой части этого уравнения. Значит, уравнение первого порядка задаёт угловой коэффициент y касательной к интегральной кривой как функцию двух переменных. Если каждой точке ( , )yx ставить отрезок, направленный под углом наклона  tagarc ( ( , ))yxf сопок оси Ox, то получим поле направлений данного уравнения. Это и есть геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка. Поле направлений позволяет проанализировать решение дифференциального уравнения и приблизительно построить интегральные кривые. Определение. Изоклина – это геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и тоже направление. Семейство изоклин дифференциального уравнения (3) определяется уравнением f ( , ) kyx  , (4) где k – параметр. Придавая ему близкие числовые значения, мы получим достаточно густую сеть изоклин, с помощью которых приближённо строятся интегральные кривые рассматриваемого уравнения. Примеры. С помощью метода изоклин приближённо начертить решения уравнения: 1. y y x    2 2 2 x . 7

Стр.7

Решение. Запишем уравнение семейства изоклин y x   222 или в более привычном виде y x   222 x x раболы с вертикальной осью симметрии. Построим их. При k 0 получаем изоклину y x 2 2 2 x k k . Изоклинами являются па. Касательные, проведённые к интегральным кривым в точке пересечения с изоклиной k 0, образуют нулевой угол с осью Ox. Эта прямая делит плоскость на две части, в каждой из которых производная имеет один и тот же знак, и именно на ней находятся точки экстремума. При k 1 изоклина y x 2 2 3 x наклона касательных 4/ . При k  1 изоклина . Интегральные кривые имеют угол y x 2 2 1 x угол наклона касательных 3 / 4 . . Интегральные кривые имеют Рис. 1 Проверим, встречаются ли среди изоклин интегральные кривые. Для этого подставим уравнение семейства изоклин в наше дифференциальное уравнение. Получим 2 2 2 x x    22 x 8 k или 2x  2 k . Это равенство ни

Стр.8

при каком k не превратится в тождество. Значит, среди изоклин нет интегральных кривых. Семейство интегральных кривых изображено на приводимом ниже рис. 1. 2. Используя метод изоклин, приближённо начертить решения уравнения: dx dy    . y x y x y    . Изоклинами являются прямые, проходящие через начало (1 )k x(1 ) координат. При Решение. Выпишем уравнение семейства изоклин k k  0 получаем изоклину y x . y x y x   k или Рис. 2 9

Стр.9

При k 1 получаем прямую x0 , интегральные кривые имеют угол наклона касательных 4/ . При касательных 3 / 4 . Рассмотрим перевёрнутое уравнение изоклин y x y x   dy dx    . Уравнение семейства y x y x k . При k  0 получаем изоклину y  , и на ней интеx гральные кривые имеют вертикальные касательные. Все прямые пересекаются в начале координат. Расположение интегральных кривых см. на рис. 2. 3. С помощью метода изоклин приближённо начертить решения уравнения: y  2x y . Решение. Уравнение семейства изоклин 2x y k рах построим сеть изоклин. При или в привычном виде y  2x k . Изоклинами являются прямые. Как и в предыдущих примеk 0 получаем изоклину y 2 . Нулевая изоклина даёт уравнеx ние линии, на которой находятся точки максимума и минимума интегральных кривых. Эта прямая делит плоскость на две части, в каждой из которых производная имеет один и тот же знак. В нашем случае касательные, проведённые к интегральным кривым в точке пересечения с изоклиной разуют нулевой угол с осью Ox. При k 1 изоклина наклона касательных 4/ . При k  1 изоклина наклона касательных 3 / 4 . Проверим, встречаются ли среди изоклин интегральные кривые. Для этого подставим уравнение семейства изоклин в наше дифференциальное уравнение. Получим 2 2 2 2 x x 10 или 2 2 , т. е. мы получили тождество. k 1 изоклина y 0, интегральные кривые имеют угол наклона k 0, обy  2 1x , интегральные кривые имеют угол y  2 2x , интегральные кривые имеют угол

Стр.10