Высшая математика. Т. 1 (5000,00 руб.)

Стр.2

Стр.573

Стр.574

Стр.575

Стр.576

Стр.577

Стр.578

Стр.579

Стр.580

ББК 22.УДК 51(075.8) Х30 1я73 Электронные версии книг на сайте www.prospekt.org Х30 Лобкова Н. И., Максимов Ю. Д., Хватов Ю. А. то Высшая математика. Том 1 : учебное пособие / отв. ред. В. И. Ан-нов, Ю. Д. Максимов. — Москва : Проспект, 2015. — 584 с. ISBN 978-5-392-12162-5 Данное учебное пособие создано на основе восьми выпусков опорного конспекта по математике, изданного в СПбГПУ в 2000—2004 гг. для общетехнических и экономических направлений, а также учебного пособия «Математика, выпуск 10», являющегося дополнением к предыдущим выпускам и содержащего выводы формул и доказательства теорем. Эти выпуски соответствуют государственным образовательным стандартам и действующим программам. Изложение теоретического материала, методы решения основных задач сопровождаются значительным количеством примеров. Издание предназначено для студентов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников. ББК 22.УДК 51(075.8) 1я73 Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Печатается по решению редакционно-издательского совета Учебное издание Лобкова Наталья Ивановна, Максимов Юрий Дмитриевич, Хватов Юрий Алексеевич ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ТОМ 1 Учебное пособие Оригинал-макет подготовлен компанией ООО «Оригинал-макет» www.o-maket.ru; тел.: (495) 726-18-84 Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.60.953.Д.004173.04.09 от 17.04.2009 г. Подписано в печать 20.08.2014. Формат 60×90 1 Печать цифровая. Печ. л. 36,5. Тираж 100 экз. Заказ №. ООО «Проспект» /16 111020, г. Москва, ул. Боровая, д. 7, стр. 4. ISBN 978-5-392-12162-5 © Коллектив авторов, 2014 © ООО «Проспект», 2014

Стр.2

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................................................................3 Введение к курсу математики .............................................................5 Раздел 1. Линейная алгебра Глава 1. Определители, матрицы и системы линейных алгебраических уравнений.....................................................9 § 1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса........................................9 § 2. Определители 2го и 3го порядков..........................18 § 3. Определители высших порядков ................................27 Глава 2. Матрицы и действия с ними ............................................36 § 1. Линейные операции с матрицами и их свойства...36 § 2. Операция умножения матриц и ее свойства ...........39 § 3. Операция транспонирования матриц и ее свойства ........................................................................42 § 4. Обратная матрица .........................................................43 § 5. Понятие о ранге матрицы. Ранг ступенчатой матрицы .................................................49 Глава 3. Общая теория систем линейных алгебраических уравнений ..............................................................................53 § 1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений...............................................................................53 § 2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений ...................................................58 § 3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений...............................................................................68 Раздел 2. Векторная алгебра Глава 1. Линейные операции над векторами..................................75 § 1. Понятие вектора. Равные векторы. Коллинеарные и компланарные векторы ....................................................75 § 2. Операция сложения векторов и ее свойства ...........76 § 3. Операция умножения вектора на число и ее свойства ........................................................................79 § 4. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов ................81 § 5. Геометрический смысл линейной зависимости векторов .................................................................................83 § 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат..............................................87 § 7. Полярная система координат......................................93 § 8. Задача о делении отрезка в данном отношении ....96 Глава 2. Операции умножения векторов..........................................99 § 1. Проекция вектора на ось и ее свойства..................99

Стр.573

574 Оглавление § 2. Скалярное произведение двух векторов ..................102 § 3. Векторное произведение двух векторов...................106 § 4. Смешанное произведение трех векторов.................110 § 5. Векторное и смешанное произведения векторов, заданных разложениями в прямоугольном базисе ........114 § 6. Преобразование прямоугольных координат на плоскости .......................................................................118 Раздел 3. Аналитическая геометрия Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей .....................................124 § 1. Понятие обуравнении плоской линии. Алгебраические линии. Теорема об инвариантности порядка.................................................................................124 § 2. Прямая как линия первого порядка. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору ...............................127 § 3. Различные виды уравнений прямой на плоскости .......................................................................129 § 4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Вычисление угла между двумя прямыми...............................................................................134 § 5. Расстояние от точки до прямой на плоскости .....136 § 6. Понятие обуравнении поверхности. Алгебраические поверхности. Теорема обинвариантности порядка...............................137 § 7. Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору....................139 § 8. Расстояние от точки до плоскости..........................143 § 9. Уравнения линии в пространстве ............................143 § 10. Различные виды уравнений прямой в пространстве.....................................................................147 § 11. Взаимное расположение прямой и плоскости .....152 Глава 2. Кривые второго порядка...................................................155 § 1. Общее уравнение линии второго порядка. Классификация линий второго порядка .........................155 § 2. Эллипс и его свойства ..............................................156 § 3. Гипербола и ее свойства............................................162 § 4. Парабола и ее свойства.............................................168 Глава 3. Поверхности второго порядка ..........................................173 § 1. Общее уравнение поверхности второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка .............173 § 2. Эллипсоид ....................................................................174 § 3. Гиперболоиды...............................................................175

Стр.574

Оглавление 575 § 4. Конус второго порядка ..............................................177 § 5. Параболоиды................................................................178 § 6. Цилиндры второго порядка.......................................180 § 7. Поверхности вращения второго порядка ................181 Раздел 4. Введение в математический анализ Глава 1. Множества и функции ......................................................187 § 1. Множества и операции над ними ...........................187 § 2. Логические символы. Прямая, обратная и противоположная теоремы. Необходимые и достаточные условия ......................................................189 § 3. Понятие вещественного числа. Множество вещественных чисел R и его свойства ...........................190 § 4. Некоторые подмножества из R ................................192 § 5. Модуль вещественного числа и его свойства ........193 § 6. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Точные грани числовых множеств ..............195 § 7. Понятие числовой функции. График функции. Способы задания функции. Классификация функций ...............................................................................196 § 8. Элементарные функции .............................................200 § 9. Метод математической индукции. Неравенство Бернулли .......................................................206 § 10. Символ суммирования. Факториал. Бином Ньютона ...............................................................................207 Глава 2. Предел числовой последовательности .............................209 § 1. Числовая последовательность. Классификация последовательностей...............................209 § 2. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности .........210 § 3. Свойства сходящихся последовательностей.............211 § 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства...................................215 § 5. Достаточный признак существования предела числовой последовательности. Число е. Натуральные логарифмы....................................................219 Глава 3. Предел функции .................................................................221 § 1. Два определения предела функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции на бесконечности................................................................221 § 2. Свойства пределов функций .....................................225 § 3. Замечательные пределы..............................................227 § 4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции ...............................................................................229 § 5. Неопределенности. Вычисление пределов степеннопоказательных функций ....................................232

Стр.575

576 Оглавление § 6. Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» и его свойства...............................................237 § 7. Эквивалентные бесконечно малые функции, их свойства. Главная часть бесконечно малой функции ...............................................................................240 *§ 8. Сравнение бесконечно больших функций ............244 *§ 9. Асимптотическое представление бесконечно малых и бесконечно больших функций .........................247 § 10. Гиперболические функции .......................................251 Глава 4. Непрерывность функции ...................................................254 § 1. Понятие функции, непрерывной в точке. Односторонняя непрерывность. Непрерывность функции на промежутке....................................................254 § 2. Классификация точек разрыва непрерывности......256 § 3. Свойства функций, непрерывных в точке..............258 § 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке ........259 § 5. Непрерывность элементарных функций ..................261 Раздел 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Глава 1. Производная и дифференциал .........................................268 § 1. Производная функции в точке. Односторонние и бесконечные производные.................268 § 2. Геометрический и механический смысл производной.........................................................................270 § 3. Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал .....................................................................272 § 4. Геометрический и механический смысл дифференциала ....................................................................275 § 5. Правила дифференцирования....................................276 § 6. Производная сложной и обратной функции. Свойство инвариантности формы дифференциала........278 § 7. Производные основных элементарных функций. Таблица производных.........................................................280 § 8. Производные неявных функций и функций, заданных параметрически ..................................................287 § 9. Производные высших порядков ...............................290 § 10. Вычисление производных высших порядков от функций, заданных неявно и параметрически.........294 § 11. Дифференциалы высших порядков. Нарушение свойства инвариантности формы ................295 Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления...........................................................................298 § 1. Определение экстремума. Теорема Ферма ..............298 § 2. Теорема Ролля .............................................................299 § 3. Теорема Коши .............................................................301 § 4. Теорема Лагранжа .......................................................303

Стр.576

Оглавление 577 § 5. Правило Лопиталя ......................................................307 § 6. Формула Тейлора для многочлена. Бином Ньютона как частный случай формулы Тейлора для многочлена ....................................................311 § 7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано ...................................................................315 § 8. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ..............................................................321 Глава 3. Исследование функций и построение графиков...........325 § 1. Условие постоянства функции на промежутке ......325 § 2. Достаточный признак строгой монотонности функции на промежутке....................................................325 § 3. Необходимые условия существования экстремума. Критические точки .............................................................326 § 4. Достаточные условия существования экстремума ...........................................................................328 § 5. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции................................................................332 § 6. Асимптоты графика функции ...................................336 § 7. Общий план исследования функции и построение ее графика ..................................................340 § 8. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке ..................................348 Раздел 6. Комплексные числа. Алгебраические многочлены и рациональные алгебраические дроби Глава 1. Комплексные числа............................................................355 § 1. Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами, представленными в алгебраической форме ....................................................355 § 2. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа ..........359 § 3. Действия с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме............362 § 4. Операция сопряжения. Ее свойства ........................366 § 5. Комплексная степень числа е. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа ....................367 § 6. Логарифм комплексного числа .................................368 § 7. Понятие функции комплексной переменной .........369 Глава 2. Алгебраические многочлены и рациональные алгебраические дроби.........................................................372 § 1. Условие тождественного равенства двух многочленов................................................................372 § 2. Разложение алгебраического многочлена на линейные множители. Число корней многочлена...........................................................................373

Стр.577

578 Оглавление § 3. Понятие кратного корня. Признак кратности корня..................................................................375 § 4. Вещественные алгебраические многочлены и их разложение на неприводимые множители на множестве вещественных чисел..................................377 § 5. Рациональные алгебраические дроби. Основные понятия..............................................................380 § 6. Теорема о разложении правильной рациональной алгебраической дроби на простейшие дроби.................381 Раздел 7. Интегральное исчисление функций одной переменной Глава 1. Первообразная и неопределенный интеграл ..................386 § 1. Первообразная. Неопределенный интеграл .............386 § 2. Свойства неопределенного интеграла ......................389 § 3. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.............................................391 § 4. Замена переменной в неопределенном интеграле ..............................................................................392 Глава 2. Интегрирование основных классов элементарных функций ...............................................................................396 § 1. Интегрирование рациональных функций ................396 § 2. Интегрирование функций, зависящих рационально от синуса и косинуса .................................402 § 3. Интегрирование иррациональных функций ............407 § 4. Понятие о неберущихся интегралах ........................413 Глава 3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычисления ..........................................................................414 § 1. Понятие определенного интеграла, его физический и геометрический смысл. Необходимое и достаточные условия интегрируемости ........................414 § 2. Свойства определенного интеграла ..........................420 § 3. Теоремы о среднем для определенного интеграла. Среднее значение функции на промежутке.....................................................................426 § 4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу. Формула Ньютона — Лейбница.......................................429 § 5. Интегрирование по частям в определенном интеграле ..............................................................................432 § 6. Замена переменной в определенном интеграле ..............................................................................433 § 7. Метод трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла .............................436 Глава 4. Несобственные интегралы .................................................439 § 1. Интегралы по бесконечному промежутку (несобственные интегралы 1го рода) .............................439

Стр.578

Оглавление 579 § 2. Простейшие свойства несобственных интегралов 1го рода..........................................................441 *§ 3. Признаки сходимости для несобственных интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций...........................................444 *§ 4. Абсолютная и неабсолютная (условная) сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами...............................................449 § 5. Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2го рода) .............................452 § 6. Свойства несобственных интегралов 2го рода......454 *§ 7. Гаммафункция (интеграл Эйлера 2го рода) .......457 *§ 8. Бетафункция (интеграл Эйлера 1го рода).........461 Глава 5. Геометрические приложения определенного интеграла..............................................................................464 § 1. Вычисление площади фигуры в прямоугольных декартовых координатах .....................464 § 2. Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах ...................................................465 § 3. Вычисление объема тела через площади его сечений..........................................................................468 § 4. Вычисление длины дуги кривой ..............................472 § 5. Площадь поверхности тела вращения .....................476 Глава 6. Приложения определенного интеграла к решению физических задач................................................................481 § 1. Методика применения определенного интеграла к решению практических задач .....................481 § 2. Работа переменной силы ...........................................482 § 3. Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость ....................................................483 § 4. Моменты. Центр масс плоских фигур ....................484 § 5. Расход воды через отверстие в стенке резервуара.............................................................................487 § 6. Приложение определенного интеграла к экономическим задачам .................................................488 Глава 7. Элементы дифференциальной геометрии........................490 § 1. Векторфункция скалярного аргумента....................490 § 2. Понятие кривой, гладкая кривая. Касательная к кривой........................................................493 § 3. Кривизна плоской кривой, радиус и окружность кривизны .......................................494 § 4. Эволюта, эвольвента ...................................................501

Стр.579

580 Оглавление Раздел 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Глава 1. Понятие функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность ....................................................................509 § 1. Пространство Rm подмножества.......................................................................509 § 2. Открытые, связные, замкнутые, ограниченные множества в пространстве Rm и некоторые его .................510 § 3. Понятие функции нескольких переменных............512 § 4. Предел функции нескольких переменных ..............514 § 5. Непрерывность функции в точкеивобласти. Разрывы непрерывности ....................................................516 Глава 2. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных, их приложения ......519 § 1. Частные производные.................................................519 § 2. Частные производные высших порядков ................520 § 3. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Полный дифференциал...............................521 § 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных....................527 § 5. Производная по направлению. Градиент.................530 § 6. Производные сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала. Формулы для вычисления дифференциалов...................533 § 7. Дифференциалы высших порядков. Нарушение свойства инвариантности формы ................537 *§ 8. Формула Тейлора.......................................................541 Глава 3. Неявные функции ..............................................................544 § 1. Неявные функции, определяемые одним уравнением. Теорема существования. Вычисление производных ........................................................................544 § 2. Неявные функции, определяемые системой уравнений. Теорема существования. Вычисление производных ..................................................550 Глава 4. Экстремумы функции нескольких переменных.............554 § 1. Понятие экстремума функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума .................................554 § 2. Достаточные условия существования экстремума. Случай функции двух переменных............556 § 3. Условные экстремумы.................................................559 § 4. Отыскание наибольших и наименьших значений функции..............................................................569

Стр.580