МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФГБОУ ВО «ВГУ»)
Е.П. Белоусова
Т.И. Смагина
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Методические указания для вузов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2016
Стр.1
Настоящие методические указания предназначены для организации
практических занятий и самостоятельной работы студентов, изучающих курс
функционального анализа, а также при подготовке к экзамену по этому
курсу. В начале каждого раздела приводятся необходимые теоретические
сведения, даются образцы решения задач, а затем предлагаются задания для
самостоятельной работы. При подборке задач и упражнений использовалась
приведенная ниже литература.
Литература
1. Треногин В.А. Функциональный анализ/ В.А. Треногин. – М.:
Физматлит, 2002. – 488 с.
2. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального
анализа/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Физматлит, 2004. -
570 с.
3. Соболев В.И.
Лекции
по
дополнительным
главам
математического анализа/ В.И. Соболев. – М.: Наука, 1968. – 286
с.
4. Люстерник Л.А. Краткий курс функциональго анализа/ Л.А.
Люстерник, В.И. Соболев. – М.: «Лань», 2009. – 272 с.
5. Треногин В.А. Задачи и упражнения по функциональному
анализу/ В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева. – М.:
Физматлит, 2002. – 239 с.
6. Антоневич А.Б. Функциональный анализ и интегральные
уравнения/ А.Б. Антоневич, Я.В. Радыно. – Минск: БГУ, 2003. –
430 с.
7. Ульянов П.Н. Действительный анализ в задачах/ П.Н. Ульянов и
[др.]. – М.: Физматлит, 2005.
3
Стр.3
x y
2
x y
б) тождество Апполония
z x
2
z y
2
2
1
что
e1 ( )t 1,
x y
2
2 z x
y
2
e2 ( )t t,
e3 ( )t 2
2
.
3. Провести процесс ортогонализации для функций 1, , 2
показать,
t t
t
3 ,
1
e4 ( )t 3
,... в L2[ 1,1]
.
t
5
3t
многочлены называются многочленами Лежандра.
2. Расстояние от точки до подпространства. Ряд Фурье
Пусть L - подпространство в гильбертовом пространстве H x,
x L . Расстоянием от точки до подпространства L называется число
(x L) inf x u .
,
uL
Теорема 1. Существует единственный элемент
расстояние от точки x до подпространства
(x L) x
,
L
L H
y
,
при этом элемент x y ортогонален пространству L .
Замечание. Элемент
элемента x на подпространство L .
Пусть
c x,
(
k
k
называется рядом Фурье элемента
ck
k1
Многочлен называется многочленом Фурье элемента x .
k 1
n
Теорема 2. Пусть система n
подпространство, натянутое на функции
задается следующими формулами
6
k k 1
1, 2
ортогональна в H , а
,...,
n
,
L n
-
n . Тогда d (x Ln ), x H ,
ck
k
k
x по ортогональной системе n
k k 1
.
k )
2
x H
( k
и
1,2 ,...)
k k1
y называется ортогональной проекцией
- ортогональная система в
H . Числа
называются коэффициентами Фурье, а ряд
y , реализующий
L
H , но
и
Эти
2
2( x
2
y
2
) ;
Стр.6
d x ck
k1
n
n
k
dn
где ck ( k
2 x
2
ck
k1
n
,
2
k
2
,
Фурье, составленный для любого x , сходится к x .
Полная ортогональная система называется ортогональным базисом
пространства H .
Ортогональная система векторов Hkk
H
что норма e p ( )t
t
Пример. Для функции e
n
0, 1, 2 для функции x t )(
1 ( )t 1,
2 ( )t t,
t
t найти многочлены p ( )tn
минимальна в пространстве L2[ 1,1 ]
степени n 0,1,2 такие,
.
Решение. Согласно теореме 2 надо построить многочлены Фурье степени
t
взяв в качестве ортогональной системы
3 ( )t 2
3
1
c0
Следовательно,
p0
2 (
( ) 1
t
(x,
1
e e
c1
(e , )
t t
t
t
( , )
1
1
2
) .
2
3
1
2
) 1
1
e dt
1
t
, которые ортогональны. Имеем p0 ( )t c0
2(
1
e e
1
) .
Построим
Непосредственным вычислением находим, что
1
Таким
2
0 1
p ( )t c c1 2
образом,
t
p t
1
c (t
2
3 )
1
2 (
( ) 1
e e
c
t e dt e
t
1
) 3
e t .
вычислим . Имеем 2
(e , t
t
c
2
t
2
2
3
1
3)
1
2
15
4 (e 7e
1
) .
3
.
Для
построения
p t 1
1( )
c
0 1
c
t .
1 t( ) , где
e . Вычислим коэффициенты Фурье функции x( )t
многочлены Лежандра
,
1,2 ,...) - коэффициенты Фурье элемента x по системе .
1
k k1
называется полной, если ряд
7
Стр.7
Следовательно, p2 ( )t
4 (
3
e 10e
1
) 3
e t
15
4 (e 7e
1
)t
2 .
Задания для самостоятельного решения
1. Показать, что в пространстве 2
подпространства L (0,
2. В пространстве
подпространства L (
x0 (
,1 )
R найти расстояние от элемента
), R.
2
1
,
3. Найти, при каких значениях параметра
L (0,
до подпространства
превосходит 3ln .
4. В пространстве
подпространства
C[0,1 ] найти расстояние от элемента
( )
L y t C[0,1] : y(0) 0.
элементов наилучшего приближения.
5. В пространстве C[0,1 ] найти расстояние:
а) от элемента
степени;
б) от элемента
более 1.
6. В подпространствах а) L2[0,1 ] ; б) L2[ 1,1 ]
x t 3
( )
t
n 0,1, 2 .
3. Линейные ограниченные операторы.
Норма оператора
многообразие в пространстве
Y
A D A )
:
(
Пусть X и
X Y
место соотношение
областью определения, а
значений оператора A.
- линейные нормированные пространства. Отображение
называется линейным оператором, если
,
A x( ) Ax Ay . Множество
y
R(A) (
x
8
X и для всех x y (D A ) и скаляров
y
D(A )
Y :( D A))[y Ax])
- множество
D(A) - линейное
, имеет
называют
найти проекцию элемента
на подпространство многочленов степени не более n, если
x t )(
( )
t
t
x t 2
до подпространства многочленов нулевой
до подпространства многочленов степени не
Описать
x( ) t
1
до
множество
), R в пространстве R не
2
расстояние от элемента
3
), R имеет вид U (0,
R расстояние от элемента x0 (1,0 ) до
), [ 1,1].
x0 (0,2 )
до
Стр.8
x
n X
Оператор A X :
при
x0 0
Y называется непрерывным в точке , если из того что
n следует, что
x0
Axn Ax0 Y . Если линейный
0
оператор непрерывен в любой точке пространства, то он называется просто
непрерывным.
Линейный оператор
такая константа M 0
, что для всех
Y
A X :
Y
называется ограниченным, если существует
x X
Ax M x X
Теорема. Линейный оператор A X :
когда он ограничен.
.
(1)
Y непрерывен тогда и только тогда,
Нормой A оператора A называют наименьшую из констант, для которых
выполнено условие (1).
Имеют место равенства
A sup
x0
замечание
Пример 1. Пусть
:
[
,
Ax Y
x X
sup Ax Y
x X 1
sup Ax Y
x X 1
.
отображение A C a b]C a b]
,
- непрерывная на отрезке [ ba
[
,
(Ax t
)( )
( )t x t( ) .
Доказать, что A - линейный ограниченный оператор и найти его норму.
Решение. Линейность следует из соотношения
(A x y))( )t
(
( )( x t y t( ))
t
( )
(Ax t
)( )
Покажем , что A - ограниченный оператор. Имеем
Ax C max(Ax t max ( )t x t
t[a b]
,
поэтому A C
C .
Докажем, что
A
t[a b]
,
x0 C 1 и Ax0 C max ( )t
C . Рассмотрим функцию x0 ( ) t
C . Таким образом, A
C .
1 . Очевидно, что
)( )
t[a b]
,
( )
(Ay t)( ) .
, определяемое соотношением
]
функция. Рассмотрим
C x C
,
9
Стр.9
x x , x2 , x3 ,...)l2
( 1
Пример 2. Показать, что оператор A l , задаваемый для вектора
соотношением
:
Ax x
( 2 , 2 2
1
3 ,...,
x
l 2
2
l 2
k 1 ,...)
kxk
линеен, ограничен в пространстве , и найти его норму.
число в пространстве . Для доказательства ограниченности покажем оценку
(1), когда
Решение. Линейность вытекает из правила сложения и умножения на
l 2
X . Имеем
Y
Ax l2 Ax)k
k1
2
(
Следовательно,
en
(0,...,0,1,0,...)l
n
l2
2
( 1)
k
k1 k
2
xk
2
xk
k
2
x l2
1
2
.
(2)
A 1. Из анализа знака неравенства видно, что найти
элемент, на котором бы в (2) достигался знак равенства, не удается. Однако,
для любого
0 можно указать такое
2 имеем
Ae
Поэтому A 1.
Пример 3. Доказать непрерывность и найти норму оператора
t sx s ds
(Ax t)( )
для
а) A C C[0,1 ] ,
:
[0,1]
1
0
б) A L C[0,1] .
: 2
[0,1]
Решение. Так как оператор линеен, то для доказательства непрерывности
достаточно проверить его ограниченность.
В случае а) имеем оценку
Ax C maxt sx s ds s x s ds
2
t[0,1]
1
0
( )
1
0
( )
2
1
x C
.
2
( )
n l
n
2
n
n , что
1 (1 ) en l 2
.
n 11
n
. Тогда для
10
Стр.10