МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФГБОУ ВО «ВГУ»)
Полугруппы линейных ограниченных операторов
Учебное пособие для вузов
пособие для студентов, обучающихся по направлению 01.03.04 Прикладная математика
Воронеж
2016
Стр.1
1. Задача Коши.
Рассмотрим в банаховом пространстве E дифференциальное
уравнение
dx Axdt
(1.1)
С линейным оператором A имеющим всюду плотную в E область
определения DA .
Определение 1.1. Решение уравнения на отрезке 0,T называется
функцияxt удовлетворяющее условиям
1) значения xt принадлежат DA 0,
2) в tT существует '
3) уравнение '
0,
xt
x t Ax t удовлетворяет при всехtT
0,
Очевидно решение xt является непрерывным на отрезке 0,T
Задача Коши на
0,T
уравнения(1.1)на отрезке
0
называется задачей нахождения решения
0,T удовлетворяющего начальным условиям
1)
x 0 x D A
Определение 1.2. Задача Коши поставлена корректно на 0,T если:
x0 D A существует еѐ единственное решение
2) это решение зависит непрерывно от начальных данных, в том смысле что,
на
x
xtn
n 0
0 tT
x D A
0,
n 0
корректность на 11
для соответствующих решений n
Замечание. Из корректности задачи Коши на
0,TT 0 т.е. корректность на всей полуоси 0,
0
0
0,T следует еѐ
.
Введем в рассмотрение оператор Ut ,ставящий в соответствие элементу
0
x D A значение решения xt задачи Коши xx в момент
3
xt следует
tT
Стр.3
t
x t x 0
Из замкнутогоAtlim 0
Лемма доказана.
2. Преобразование Лапласа, представление решений.
Исследуем поведение полугруппы ()
рассмотрение функцию ( ) ln ( )
свойства U t t U t U t2
(
1 2) ( ) ( ) (0 ,tt
(
1
1 2
)
и полуаддитивность функции ()
f t U t (0
12
( )
1
Ut при t
t
U t t U t U t( )
ft
2
f (t t ) ( ) ( )
1 2
f t1
2
f t .
Оказывается, что для всякой полуаддитивной на (0, ) функции ()
существует предел
ft
limt tt .
inf
f t( )
Действительно, пусть
f a( ) (
( )
t
in ()
f t nf a f t na na
t
)a. Тогда при ( 1)
( ) (
Так как
2
t
f t( )
f ft
t конечно. Выберем числа a так, чтобы
n a t n a имеем
)
( 2)
()
a t na a, то () a
f (t na)
t
.
f t na M (полуаддитивная функция,
ограниченная на каждом отрезке, содержащемся в (0, ) ), и, следовательно,
правая часть неравенства стремится к
при t
. Таким образом, при
6
)следует неравенство
x t dt x 0 lim0 x t
'
'
t
x t Ax t
xA
'
'
00
'
. Для этого введем в
). Из полугруппового
Стр.6
достаточно больших t значения функции ()
ft
от . Аналогично рассматривается возможный случай, когда
Итак,
lim Ut
t
t
Теорема 2.1. Если задача Коши для уравнения dx Axdt
Число из (2.1) называют типом полугруппы ()
dx Axdt
, x x0 D A .
(0)
( )
Из теоремы (2.1), в частности, следует, что для корректности задачи
Коши необходимо, чтобы оператор A не имел собственных чисел в
полуплоскости Re
оператора A: Az z , то ему отвечает решение
экспоненциальный тип которого равен Re и, значит, Re
оператор AI .
()
()
. При Re
оператор AI имеет на своей области значений ()
1
AI обратный
Ограниченность экспоненциальных типов всех решений позволяет к их
исследованию применять преобразование Лапласа. При 0x ()D A и Re
определен интеграл
( )x
00
0
e U t x dt .
t ( )
0
интегрируя по частям, получим
( )x
00
0
lim ( )
N
t
N
0
e U t x dt 000
l 11im
e U t x
( )
N
7
tt
N
N
e AU t x dt
( )
(2.2)
Функция U()t x непрерывно дифференцируема на (0, ) , поэтому
. Действительно, если z - собственный вектор
t
U t z e z,
ln ( )
t сколь угодно мало отличаются
.
(2.1)
корректна, то
каждое его обобщенное решение растет на бесконечности не быстрее
экспоненты; экспоненциальные типа всех решений ограничены сверху.
Ut и типом задачи Коши
Стр.7
11lim
N
x
N
00
0
( )
e AU t x dt .
t
Предел слева существует, поэтому последний интеграл существует как
несобственный и
( 11)x0
x0
e AU t x dt .
t
( ) 0
Пусть теперь оператор A допускает замыкание A. Тогда за знак
интеграла можно вынести оператор A и прийти к равенству
00
(A I ) ( )x x
( 0x D A( ))
Наконец, для замкнутого оператора A получаем
00
(A ) ( )x x
I
( 0x D A( ))
(2.3)
(1.4)
Отсюда следует, во-первых, что область определения ()
в области значений оператора AI при любом с Re
что на ()
DA
(A I x
) 00
1
e U t x dt
t ( )
(A I x
Формула (2.2) принимает тогда вид
1
) 00
e U t x dt
t ( )
Сделаем еще предположение, что оператор A имеет хотя бы одну
регулярную точку 0 , и обозначим через R() – резольвенту оператора A.
Если x - любой элемент из E, то R() x D A A I при Re
Обозначая
0
0
( )
z A I R x,
(
получаем
8
) ( )
1
0
(
)
.
(2.5)
DA содержится
и, во-вторых,
Стр.8
x A I A I z A I A I z .00)
(
)(
) (
)(
Отсюда следует, что ()x A I , т.е., что область значений
оператора AI совпадает со всем пространством.
Оператор
()
( ) (
)
AI замкнут и определен во всем пространстве,
1
следовательно, он ограничен. Итак, оператор A имеет резольвенту
1
R A I при всех в полуплоскости Re
Если в (2.5) подставим 00
R x R x
( )
( ) (
0 ) e U t R xdt .
0
t ( ) ( )
0
.
x ()R x, то, используя тождество Гильберта,
получим представление для резольвенты ()R на любом xE:
0
(2.6)
резольвента ()R также коммутирует с ()
Из того, что оператор A коммутирует с полугруппой, следует, что
Ut . Если элемент x таков, что
функция ()U t x суммируема на отрезке 0,T , то оператор R() можно
0
вынести за знак интеграла, и мы придем к формуле
( )
R x e U t xdt .
t ( )
(2.7)
Наши результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы:
Теорема 2.2. Пусть задача Коши для уравнения dx Axdt
Ut по формулам (2.6) и (2.7).
Если обобщенное решение ()U t x локально суммируемо на 0,
()
, то
для него справедливо представление
1
U ddt x
t
i
( )
dt
2 i
внутри этого отрезка
9
e R x
( )
i
Если на каком-либо отрезке функция ()U t x абсолютно непрерывна, то
(
, 0) .
t
(2.8)
корректна и
имеет тип . Если оператор A имеет хотя бы одну регулярную точку, то при
Re
он имеет резольвенту ()R , которая выражается через полугруппу
Стр.9
U t x
( )
1
2 i
i
e R xd
t
i
В частности, последняя формула имеет место для решения задачи Коши при
всех
t 0).
Формулы (2.8) и (2.9) следуют из свойств обращения преобразования
Лапласа, а последнее утверждение - из того, что решение задачи Коши имеет
непрерывную производную при
t 0).
может быстро расти при
U( ) ( )
t R 0
Формула (2.6) для резольвенты показывает, что норма резольвенты не
. Действительно, функция U( ) ( )
t R x
0
непрерывна при любом xE, поэтому в силу теоремы Банаха - Штейнгауза
операторы
равномерно ограничены на любом конечном
промежутке 0,T . Учитывая (2.1), можно утверждать, что
()
U t R M e
( ) ( )
0
при любом 0 . Зафиксировав такое и обозначив 1
резольвенты получим оценку
RM )
( )
(1
0
0
Re(
1
где M max ( ) ,R M . Из этой оценки следует, что норма резольвенты
равномерно ограничена на всякой полупрямой Im c , Re
всей полуплоскости Re
21. Во
2
справедлива оценка
1
RM(1 ) .
( )
Таким образом, требование корректности задачи Коши налагает
сильные ограничения на резольвенту оператора A.
До сих пор речь шла о норме резольвенты. Рассмотрим поведение
резольвенты на каждом элементе. Пусть x ()D A .
Тогда
Rx x R()Ax .
()
10
)
(Re
1) ,
, для нормы
t
( )
(2.9)
Стр.10