ФГУП «Российский федеральный ядерный центр –
Всероссийский научно-исследовательский институт
экспериментальной физики»
Н. Н. Веричев, С. Н. Веричев,
С. И. Герасимов, В. И. Ерофеев
ХАОС, СИНХРОНИЗАЦИЯ
И СТРУКТУРЫ
В ДИНАМИКЕ РОТАТОРОВ
Саров
2016
Стр.2
УДК 517.938
ББК 22.161.6
Х 19
Веричев, Н. Н., Веричев, С. Н., Герасимов, С. И., ЕрофеХ
19
ев, В. И. Хаос, синхронизация и структуры в динамике ротаторов
/ Н. Н. Веричев, С. Н. Веричев, С. И. Герасимов, В. И. Ерофеев. –
Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2016. – 267 с., ил.
ISBN 978-5-9515-0324-4
Монография посвящена динамике систем с цилиндрическим
фазовым пространством. Данный класс моделей
охватывает механические, квантово-механические, радиотехнические
и многие другие системы из различных областей
естествознания и технических приложений. Рассматриваются
автономные и неавтономные системы с одной, полутора,
двумя и более степенями свободы. Исследования и изложение
материала проводятся в традициях школы нелинейных
колебаний академика А. А. Андронова: в контексте фазового
пространства моделей с привлечением методов качественной
теории дифференциальных уравнений, теории бифуркаций
и качественно-численных методов. Исследуются качественные
картины характеристик вращения ротаторов и резонансные
характеристики колебательных систем. Показана неопределенность
и нестабильность этих характеристик в областях
существования странных аттракторов, среди которых
аттракторы Лоренца, Фейгенбаума, Шильникова и др. Рассматриваются
кластерные структуры в однородных и упорядоченно
неоднородных решетках динамических систем. Дана
классификация кластерных структур и доказана ограниченность
числа их типов для цепочки и кольца. Рассматриваются
вопросы устойчивости кластерных структур.
Издание предназначено для студентов вузов и аспирантов,
а также специалистов, работающих в области машиностроения.
УДК
517.938
ББК 22.161.6
ISBN 978-5-9515-0324-4
© ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2016
Стр.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ……………………………………………………… 5
Глава 1. АВТОНОМНЫЕ И НЕАВТОНОМНЫЕ
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ ………….. 8
1.1. Динамика автономного ротатора и физические
системы ……………………………………………………...... 8
1.2. Синхронизация и хаотические вращения
неавтономного ротатора …………………………………...... 19
Глава 2. АВТОНОМНЫЕ И НЕАВТОНОМНЫЕ
СИСТЕМЫ С ПОЛУТОРА СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ …... 39
2.1. Динамика ротатора с апериодической нагрузкой …...... 39
2.2. Синхронизация и динамический хаос в системе
неавтономного ротатора с апериодической нагрузкой ……. 51
Глава 3. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ
СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ …………..…………..…………….. 69
3.1. Динамика ротатора с колебательной нагрузкой ………. 69
3.2. Хаотическая динамика простого вибрационного
механизма …………………………………………………...... 78
3.3. Динамика связанных ротаторов ………………………... 94
Глава 4. КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ …………..…………..……….. 107
4.1. Нелинейный резонанс изгибных колебаний гибкого
ротора в системе с источником возбуждения
ограниченной мощности …………………………………...... 107
4.2. Гашение изгибных колебаний вала модуляцией
частоты вращения двигателя ………………………………... 121
4.3. Хаотические крутильные колебания вала в системе
с источником возбуждения ограниченной мощности …...... 131
Глава 5. СИНХРОНИЗАЦИЯ В ОДНОРОДНЫХ
РЕШЕТКАХ …………..…………..…………..…………..……… 150
5.1. Синхронизация в решетках динамических систем.
Общие сведения ……………………………………………… 150
Стр.4
4
Оглавление
5.2. Синхронизация вращений в цепочке
и кольце диффузионно-связанных автономных
и неавтономных ротаторов ………………………………...... 161
5.3. Регулярная и хаотическая синхронизация
в однородной цепочке динамических систем
«ротатор – осциллятор» ……………………………………... 170
Глава 6. ФИЗИКА, СУЩЕСТВОВАНИЕ, СИНТЕЗ
И УСТОЙЧИВОСТЬ КЛАСТЕРНЫХ СТРУКТУР ………... 178
6.1. Физика кластерных структур …………………………... 179
6.2. Синтез и общие свойства схем кластерных структур ..... 195
6.3. К-осцилляторы цепочки и полнота типов
ее кластерных структур ……………………………………… 204
6.4. К-осцилляторы кольца и синтез
кластерных структур ………………………………………… 218
6.5. Устойчивость кластерных структур …………………… 232
Приложение I. Алгоритмы преобразования систем
связанных ротаторов к стандартной форме …………………. 244
Приложение II. Вычисление собственных
значений матриц ………………………………………………… 257
Список литературы ……………………………………………... 260
Стр.5
262
Список литературы
31. Shilnikov L. P., Turaev D. V. A new simple bifurcation of a periodic
orbit of blue sky catastrophe type // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. II
«Methods of qualitative theory of differential equations and related topics».
2000. Vol. 200. P. 165 −188.
32. Белых В. Н. Веричев Н. Н. О динамике взаимодействующих
ротатора и осциллятора // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1988. № 7.
33. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение
в теорию нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1976.
34. Блехман И. И. Вибрации в технике. Т. 2. Колебания нелинейных
механических систем. – М.: Машиностроение, 1979.
35. Веричев Н. Н., Веричев С. Н., Ерофеев В. И. Хаотическая
динамика вибрационных механизмов с источниками энергии ограниченной
мощности // Прикладная математика и механика. 2007.
Т. 71, № 3. С. 439 − 450.
36. Веричев Н. Н. Исследование систем с джозефсоновскими
контактами методом быстро вращающейся фазы // Радиотехника
и электроника. 1986. Т. 31, № 11. С. 2267 − 2274.
37. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О притягивающих
негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца
// Тр. Моск. матем. общ-ва. 1982. Т. 44. С. 180 − 212.
38. Feigenbaum M. J. Quantitative universaliti for a class nonlinear
trasformations // J. Stat. Phys. 1978. Vol. 19, N 1. P. 25 − 52.
39. Минц Р. М. Исследование траекторий системы трех дифференциальных
уравнений в бесконечности // Памяти А. А. Андронова.
– М.: Изд-во АН СССР, 1955. С. 499 − 534.
40. Белых В. Н., Веричев Н. Н. О динамике взаимосвязанных
ротаторов // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1988. Т. XXXI, № 6.
С. 688 − 697.
41. Белых В. Н., Веричев Н. Н. О сложной динамике одной автономной
системы с джозефсоновскими контактами // Радиотехника
и электроника. 1987. Т. 31, № 1. С. 140 –147.
42. Lorenz E. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci.
1963. Vol. 20. P. 130 − 141.
43. Sommerfeld A. // VDI. 1904. Vol. 18.
44. Калищук А. К. Элементарный способ изучения динамических
свойств систем // ЖТФ. 1936. Вып. 9, № 8. С. 687 − 696.
Стр.263
Список литературы
263
45. Мартышкин В. С. Установка для изучения динамических
характеристик строительных материалов // Динамические свойства
строительных материалов. – М.: Стройиздат, 1940.
46. Блехман И. И. Самосинхронизация вибраторов некоторых
вибрационных машин // Инженерный сборник. 1953. Т. 16. С. 49 − 72.
47. Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным
возбуждением. – М.: Наука, 1964.
48. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. – М.:
Машиностроение, 1970.
49. Пат. РФ № 2456481 С2, МПК F04D15/00, F04D13/10. Подавление
поперечных вибраций электроцентробежного насоса посредством
модулирования скорости вращения двигателя / Н. Н. Веричев,
Н. С. Веричев // Бюл. изобр. 20.07.2012.
50. Веричев Н. Н., Веричев С. Н., Ерофеев В. И. Гашение изгибных
колебаний вращающегося вала // Вестник машиностроения.
2012. № 8. С. 26 − 30.
51. Verichev N. N. Chaotic torsional vibration of imbalanced shaft
driven by a limited power supply // J. of Sound and Vibration. 2012.
Vol. 331, Iss. 2. P. 384 − 393.
52. Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. И., Старобинец И. М. //
Письма в ЖЭТФ. 1982. Т. 39. С. 561.
53. Афраймович В. С., Рабинович М. И., Сбитнев В. И. // Письма
в ЖТФ. 1984. Т. 6. С. 338.
54. Арансон И. С., Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. И.,
Старобинец И. М. // ЖЭТФ. 1986. Т. 90. С. 1707.
55. Анищенко В. С., Арансон И. С., Постнов Д. Э., Рабинович
М. И. // ДАН СССР. 1986. Т. 286, № 5. С. 628.
56. Арансон И. В., Веричев Н. Н. Динамика квазипериодических
волновых движений в однонаправленных цепочках генераторов
// Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1988. Т. 31, № 1. С. 29 − 40.
57. Афраймович В. С., Некоркин В. И., Осипов Г. В., Шалфеев
В. Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации
/ Под ред. А. В. Гапонова-Грехова и М. И. Рабиновича. –
Горький: ИПФ АН СССР, 1989.
58. Абарбанель Г. Д., Рабинович М. И., Селверстон А. и др.
Синхронизация в нейронных ансамблях // УФН. 1996. Т. 166, № 4.
С. 363 − 390.
Стр.264
264
Список литературы
59. Борисюк Г. Н., Борисюк Р. М., Казанович Я. Б., Селверстон А.
и др. Моделирование динамики нейронной активности и обработка
информации в мозге – итоги «десятилетия» // УФН. 2002. Т. 172,
№ 10. С. 1189 − 1214.
60. Carpenter G. A. Neural network models for pattern recognition
and associative memory // Neural Networks. 1989. Vol. 2. P. 243 − 257.
61. Kohonen T. Self-organizing maps. – Berlin: Shpringer, 1997.
62. Tan Z., Ali M. K. Pattern recognition in a neural network with
chaos // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 36 − 49.
63. Веричев Н. Н. Устойчивость структур в неравновесных системах
// Вычислительная механика сплошных сред. 2013. Т. 6, № 1.
С. 23 − 33.
64. Pecora L. M., Carroll T. L. Synchronization in chaotic systems //
Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 64. P. 821.
65. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1982.
66. Белых В. Н., Веричев Н. Н. Пространственно-однородные
автоволновые процессы в системах с переносом и диффузией //
Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1996. Т. 39, № 5. С. 588 – 596.
67. Веричев Н. Н., Веричев С. Н., Ерофеев В. И. Кластерная
динамика однородной цепочки диссипативно связанных ротаторов //
Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72, № 6. С. 882 − 897.
68. Афраймович В. С., Веричев Н. Н., Рабинович М. И. Стохастическая
синхронизация колебаний в диссипативных системах //
Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1986. Т. 29. С. 795.
69. Белых В. Н., Белых И. В., Веричев Н. Н. Регулярные и хаотические
пространственно-однородные колебания в цепочке взаимосвязанных
сверхпроводящих переходов // Изв. вузов. Сер. Радиофизика.
1997. Т. 15, № 7. С. 912 − 924.
70. Белых И. В., Веричев Н. Н. Глобальная синхронизация
и странные аттракторы в связанных маятниковых системах // Вестник
ННГУ Нелинейная динамика и хаос. 1997. Т. 2. С. 93 − 102.
71. Josic K. Invariant manifolds and synchronization of coupled
dynamical systems // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 80. P. 3053 – 3056.
72. Kaneko K. Relevance of clustering to biological networks //
Phys. D. 1994. Vol. 75. P. 55 – 73.
73. Kaneko K. Clustering, coding, switching, hierarchical ordering,
and control in a network of chaotic elements // Phys. D. 1990. Vol. 41.
P. 137 – 172.
Стр.265
Список литературы
265
74. Georgiou I. T., Bajaj A. K., Corless M. Invariant manifolds and
chaotic vibrations in singularly perturbed nonlinear oscillators // Int.
J. Eng. Sci. 1998. Vol. 36. P. 431– 458.
75. Belykh V. N., Belykh I. V., Hasler M. Hierarchy and stability of
partially synchronous oscillations of diffusively coupled dynamical systems
// Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62. P. 6332 – 6345.
76. Belykh V. N., Belykh I. V., Mosekilde E. Cluster synchronization
modes in an ensemble of coupled chaotic oscillators // Phys. Rev.
E. 2001. Vol. 63. P. 036216.
77. Belykh V., Belykh I., Hasler M., Nevidin K. Cluster synchronization
in three-dimensional lattices of diffusively coupled oscillators //
Int. J. Bifurc. Chaos. 2003. Vol. 13. P. 755 – 779.
78. Okuda K. Variety and generality of clustering in globally coupled
oscillators // Phys. D. 1993. Vol. 63. P. 424 – 436.
79. Xie F., Hu G. // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 55. P. 79.
80. Hasler M., Maistrenko Yu., Popovich O. // Phys. Rev. E. 1998.
Vol. 58. P. 6843.
81. Zanette D. H., Mikailov A. S. // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 57.
P. 276.
82. Verichev N. N. C-oscillators and new outlook on cluster dynamics
// J. of Phys. Conf. Ser. 23. 2005. P. 23 – 46.
83. Verichev N. N., Verichev S. N., Wiercigroch M. Physical interpretation
and theory of existence of cluster structures in lattices of dynamical
systems // Chaos, Solitons and Fractals. 2007. Vol. 34, Iss. 4.
P. 1082 − 1104.
84. Веричев Н. Н. Физика, существование и синтез кластерных
структур связанных динамических систем // Нелинейный мир.
2009. Т. 7, № 1. С. 28 − 45.
85. Chua L. O., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family
// IEEE Transaction on Circuits & Systems. 1986. Vol. CAS-33,
N 11. P. 1073 − 1118.
86. Special Issue on Chua’s Circuit // J. of Circuit, Systems, and
Computers. 1993. Vol. 3, N 2.
87. Потапов А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. –
М.: Логос, 2002.
88. Mandelbrot B. B. The fractal geometry of nature. – New York:
Freeman, 1982.
Стр.266
266
Список литературы
89. Потапов А. А., Гильмутдинов А. Х., Ушаков П. А. Фрактальные
элементы и радиосистемы. Физические аспекты. – М.: Радиотехника,
2009.
90. Вонсовский С. В. Современная естественнонаучная картина
мира. – Изд-во РХД, 2006.
91. Агол В. И., Богданов А. А., Гвоздев В. А. и др. Молекулярная
биология. Структура и биосинтез нуклеиновых кислот / Под
ред. А. С. Спирина. – М.: Высшая школа, 1990.
92. Osipov G. V., Sushchik M. M. Synchronized clusters and multistability
in arrays of oscillators with different natural frequencies //
Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 7198.
93. Kanakov O. I, Osipov G. V., Chan C.-K., Kurths J. Cluster synchronization
and spatio-temporal dynamics in networks of oscillatory
and excitable Luo-Rudy cells // Chaos, Solitons and Fractals. 2007.
Vol. 17. P. 015111.
94. Pecora L. M., Carroll T. L. // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 80.
P. 2109 – 2112.
95. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний
и волн. – М: Наука, 1984.
96. Mosekilde E., Maistrenko Y., Postnov D. Chaotic synchronization:
applications to living systems. – Singapure: World Scientific, 2002.
97. Wang W., Kiss I. Z., Hudson J. L. // Chaos. 2000. Vol. 10.
P. 248.
98. Roy R., Thornburg K. S. // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 72.
P. 2009.
99. Cuomo K. M., Oppenheim A. V. // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71.
P. 65.
100. Веричев Н. Н., Веричев С. Н., Ерофеев В. И. К-осцилляторы
в однородном кольце диффузионно-связанных динамических
систем: существование, устойчивость и синтез кластерных структур
// Нелинейный мир. 2008. Т. 6, № 56. С. 398 – 423.
101. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1966.
102. Былов Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М. Теория показателей
Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. – М.:
Наука, 1966.
103. Мышкис А. Д. Математика. Cпециальные курсы. – М.:
Наука, 1971.
Стр.267
Научное издание
Н. Н. Веричев, С. Н. Веричев,
С. И. Герасимов, В. И. Ерофеев
Хаос, синхронизация и структуры
в динамике ротаторов
Редактор, корректор Н. Ю. Зимакова
Компьютерная подготовка оригинала-макета С. Н. Фролова
Дизайн обложки Т. В. Андреева
Подписано в печать 08.12.2016 Формат 60×90/16 Печать офсетная
Усл. печ. л. ∼16,7 Уч.-изд. л. ∼15,3 Тираж 200 экз. Зак. тип. 36-2016
Отпечатано в Издательско-полиграфическом комплексе
ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ»
607188, г. Саров Нижегородской обл., ул. Силкина, 23
Стр.268