МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ____________________________________________________________________ Кафедра математического анализа и методики преподавания математики ОГПУ Гузаиров Г.М. <...> ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Часть I: Неопределённый интеграл Оренбург 2016 УДК 517.3 (075) ББК 22.161.1я73 Г 93 Рецензенты: Мунасыпов Н. А. – кандидат физико-математических наук, доцент, ОГПУ, Ракитянский А. С. – кандидат физико-математических наук, доцент, ОГПУ. <...> Часть I, Неопределённый интеграл : электронное учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогического ВУЗа / Гузаиров Г.М. <...> В этой первой части, как читатель увидит, интегральное исчисление (в части неопределённого интегрирования) – это то же самое дифференциальное исчисление “наоборот” (автору кажется, что эту простую мысль он изложил в настоящем пособии более прозрачно, чем это делается обычно). <...> Первообразной функции f ( )x на числовом множестве X назовем функцию F( )x , производная которой совпадает с f ( )x , т.е. / ( ) F x f x( ) на X . <...> В связи с первообразными нас интересуют в качестве числовых множеств X промежутки или объединения промежутков; тут надо иметь в виду, что некоторая функция первообразной для f ( )x на одном промежутке, но не быть её первообразной на другом (примеры легко составить из кусочно-аналитических функций). <...> Возникают также вопросы существования и единственности первообразной заданной функции. <...> Случай вырождения дробно-линейной функции в , 1d ) также описывается этой формулой: ax b a / ; случай повторного вырождения в постоянную (при описывается: b 0/ ad 0bc ) тоже x , где b const как функция от x (т.е. b не зависит от x ). , где при m R , областью определения степенной функции выступает положительная полуось; при m Z – вся числовая прямая с исключённым нулём (для отрицательных показателей); при m N – вся числовая прямая. <...> Задача о площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию <...>
ИНТЕГРАЛЬНОЕ_ИСЧИСЛЕНИЕ._Часть_I_Неопределённый_интеграл.pdf
УДК 517.3 (075)
ББК 22.161.1я73
Г 93
Рецензенты:
Мунасыпов Н. А. – кандидат физико-математических наук, доцент, ОГПУ,
Ракитянский А. С. – кандидат физико-математических наук, доцент, ОГПУ.
Г.М. Гузаиров.
Г 93
Интегральное исчисление. Часть I, Неопределённый интеграл :
электронное учебное пособие для студентов физико-математического
факультета педагогического ВУЗа / Гузаиров Г.М. – GGM Book Trust.
Оренбург: 2016. – 52 с., илл.
УДК 517.3 (075)
ББК 22.161.1я73
© Гузаиров Г. М., 2016,
© GGM Book Trust, 2016.
2
Стр.2
Содержание
Предисловие ……………………………………………………………… 4
ЧАСТЬ I: Неопределённый интеграл
§ 1. Первообразная функции …….………………………………………...... 6
1.1. Определение первообразной …………………………………………....... 6
1.2. Задача о площади криволинейной трапеции ……………………………. 8
1.3. Единственность первообразной функции, непрерывной на промежутке 10
Задачи к § 1 ……………………………………………………………….. 11
§ 2. Неопределённый интеграл ……………………………………………... 12
2.1. Определение неопределённого интеграла ………………………………. 12
2.2. Свойства неопределённого интеграла …………………………………… 13
2.3. Таблица основных интегралов …………………………………………… 15
Задачи к § 2 ……………………………………………………………….. 16
§ 3. Общие методы вычислений неопределённых интегралов …………. 17
3.1. Непосредственное интегрирование ……………………………………… 17
3.2. Метод интегрирования по частям в неопределённом интеграле ………. 19
3.3. Замена переменной в неопределённом интеграле ……………………… 22
Задачи к § 3 ……………………………………………………………….. 24
§ 4. Интегрирование рациональных функций ……………………………. 27
4.1. Выделение целой и дробной частей …….……………………………….. 27
4.2. Интегрирование простых дробей ……………………….………………... 30
4.3. Интегрирование правильных дробей ……………………..……………... 32
4.4. Общий алгоритм интегрирования рациональных функций………..…… 37
Задачи к § 4 ……………………………………………………………….. 39
§ 5. Интегрирование иррациональных функций ………………………… 40
5.1. Интегралы от дробно-линейных иррациональностей …………………... 40
5.2. Интегралы от квадратических иррациональностей …………………….. 43
Задачи к § 5 ……………………………………………………………….. 45
§ 6. Интегрирование тригонометрических функций ……………………. 46
6.1. Разложение рациональных функций по нечётным и чётным слагаемым 46
6.2. Частные тригонометрические подстановки ..……………………………. 48
6.3. Универсальная тригонометрическая подстановка ……………………… 50
Задачи к § 6 ……………………………………………………………….. 51
3
Стр.3