Численные методы (484,00 руб.)

Стр.4

Стр.5

Стр.634

Стр.635

Стр.636

Стр.637

Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 9-е издание, электронное Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений Рекомендовано Лаборатория знаний 2020 Москва

Стр.4

ББКУДК 519.6 (075)22.193 Б30 Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова по решению Ученого совета Печатается Бахвалов Н. С. Б30 Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — 9-е изд., электрон. —М. : Лаборатория знаний, 2020. — 636 с. : ил. — (Классический университетский учебник). — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10".— Загл. с титул. экрана. —Текст : электронный. ISBN 978-5-00101-836-0 Классический учебник по численным методам, переработанный с учетом современных тенденций в вычислительных методах. В данном издании устранены неточности и опечатки, имевшиеся в предыдущих изданиях, упрощены некоторые доказательства. Для студентов и преподавателей вузов, а также для специалистов, использующих численные методы в своей работе. ББКУДК 519.6 (075)22.193 Деривативное издание на основе печатного аналога: Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — 7-е изд. —М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. — 636 с. : ил. — (Классический университетский учебник). —ISBN 978-5-9963-0449-3. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN 978-5-00101-836-0 ○c Лаборатория знаний, 2015 ○c МГУ им. М. В. Ломоносова, художественное оформление, 2003

Стр.5

Предисловие Предисловие к третьему изданию Введение 1 Погрешность результата численного решения задачи 5 7 9 17 § 1. Источники и классификация погрешности . . . ..... .... ..... . 17 § 2. Запись чисел в ЭВМ....... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 21 § 3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных. .... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 22 § 4. О вычислительной погрешности . .... ..... .... ..... .... ..... . 25 § 5. Погрешность функции . ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 27 § 6. Обратная задача ... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 32 2 Интерполяция и численное дифференцирование 35 § 1. Постановка задачи приближения функций . . . ..... .... ..... . 36 § 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа . .... ..... .... ..... . 39 § 3. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа . . .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 43 § 4. Разделенные разности и их свойства . .... .... ..... .... ..... . 43 § 5. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями . ... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 45 § 6. Разделенные разности и интерполирование с кратными узлами .. ..... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 48 § 7. Уравнения в конечных разностях. ... ..... .... ..... .... ..... . 51 § 8. Многочлены Чебышева. ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 58 § 9. Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы. .. .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 62 § 10. Конечные разности . .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 65 § 11. Интерполяционные формулы для таблиц с постоянным шагом. ... ..... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 68 § 12. Составление таблиц .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 71 § 13. О погрешности округления при интерполяции .... .... ..... . 74 § 14. Применения аппарата интерполирования. Обратная интерполяция . ..... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 75 § 15. Численное дифференцирование . . .... ..... .... ..... .... ..... . 76 § 16. О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования . . ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 83 § 17. Рациональная интерполяция ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 85

Стр.634

634 3 Численное интегрирование Оглавление 86 § 1. Простейшие квадратурные формулы. Метод неопределенных коэффициентов ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 86 § 2. Оценки погрешности квадратуры .... ..... .... ..... .... ..... . 89 § 3. Квадратурные формулы Ньютона—Котеса. ... ..... .... ..... . 94 § 4. Ортогональные многочлены . ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 99 § 5. Квадратурные формулы Гаусса .. .... ..... .... ..... .... ..... . 106 § 6. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул ... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 113 § 7. Интегрирование быстро осциллирующих функций .... ..... . 116 § 8. Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка на равные части ...... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 119 § 9. О постановках задач оптимизации. .. ..... .... ..... .... ..... . 124 § 10. Постановка задачи оптимизации квадратур .. ..... .... ..... . 129 § 11. Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы 131 § 12. Примеры оптимизации распределения узлов . ..... .... ..... . 137 § 13. Главный член погрешности . ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 140 § 14. Правило Рунге практической оценки погрешности. ... ..... . 144 § 15. Уточнение результата интерполяцией более высокого порядка точности ... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 148 § 16. Вычисление интегралов в нерегулярном случае ... .... ..... . 150 § 17. Принципы построения стандартных программ с автоматическим выбором шага .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 157 4 Приближение функций и смежные вопросы 164 § 1. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве .. .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 164 § 2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, возникающие при его практическом построении . . . . 166 § 3. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье . .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 171 § 4. Быстрое преобразование Фурье .. .... ..... .... ..... .... ..... . 175 § 5. Наилучшее равномерное приближение .... .... ..... .... ..... . 178 § 6. Примеры наилучшего равномерного приближения .... ..... . 181 § 7. О форме записи многочлена. .... .... ..... .... ..... .... ..... . 187 § 8. Интерполяция и приближение сплайнами .... ..... .... ..... . 191 5 Многомерные задачи 201 § 1. Метод неопределенных коэффициентов . . . .... ..... .... ..... . 202 § 2. Метод наименьших квадратов и регуляризация . . . .... ..... . 203 § 3. Примеры регуляризации .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 206 § 4. Сведение многомерных задач к одномерным . ..... .... ..... . 212 § 5. Интерполяция функций в треугольнике . . .... ..... .... ..... . 220 § 6. Оценка погрешности численного интегрирования на равномерной сетке .. ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 222 § 7. Оценка снизу погрешности численного интегрирования . . . . . 225 § 8. Метод Монте-Карло . ... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 232

Стр.635

Оглавление 635 § 9. Обсуждение правомерности использования недетерминированных методов решения задач . . .... ..... .... ..... .... ..... . 236 § 10. Ускорение сходимости метода Монте-Карло .. ..... .... ..... . 239 § 11. О выборе метода решения задачи ... ..... .... ..... .... ..... . 243 6 Численные методы алгебры 250 § 1. Методы последовательного исключения неизвестных . . ..... . 253 § 2. Метод отражений .. .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 262 § 3. Метод простой итерации . ... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 265 § 4. Особенности реализации метода простой итерации на ЭВМ 268 §5. δ2-процесс практической оценки погрешности и ускорения сходимости . .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 271 § 6. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов 275 § 7. Метод Зейделя ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 285 § 8. Метод наискорейшего градиентного спуска . .. ..... .... ..... . 290 § 9. Метод сопряженных градиентов . .... ..... .... ..... .... ..... . 294 § 10. Итерационные методы с использованием спектрально-эквивалентных операторов . . ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 301 § 12. Проблема собственных значений . .... ..... .... ..... .... ..... . 315 § 13. Решение полной проблемы собственных значений при помощи QR-алгоритма .. .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 320 7 Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации § 11. Погрешность приближенного решения системы уравнений и обусловленность матриц. Регуляризация . . .... ..... .... ..... . 304 325 § 1. Метод простой итерации и смежные вопросы .... .... ..... . 327 § 2. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений . .... ..... . 331 § 3. Методы спуска ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 337 § 4. Другие методы сведения многомерных задач к задачам меньшей размерности .. ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 342 364 § 5. Решение стационарных задач путем установления .... ..... . 345 § 6. Что и как оптимизировать? ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 353 8 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений § 1. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора ..... . 365 § 2. Методы Рунге—Кутта .. ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 367 § 3. Методы с контролем погрешности на шаге .. ..... .... ..... . 373 § 4. Оценки погрешности одношаговых методов .. ..... .... ..... . 375 § 5. Конечно-разностные методы ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 380 § 6. Метод неопределенных коэффициентов . . . .... ..... .... ..... . 383 § 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных задачах ... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 387 § 8. Оценка погрешности конечно-разностных методов .... ..... . 392 § 9. Особенности интегрирования систем уравнений ... .... ..... . 400 § 10. Методы численного интегрирования уравнений второго порядка . ..... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 412

Стр.636

636 Оглавление § 11. Оптимизация распределения узлов интегрирования ... ..... . 415 9 Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений 420 § 1. Простейшие методы решения краевой задачи для уравнений второго порядка .... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 420 § 2. Функция Грина сеточной краевой задачи .... ..... .... ..... . 426 § 3. Решение простейшей краевой сеточной задачи . ... .... ..... . 431 § 4. Замыкания вычислительных алгоритмов . .... ..... .... ..... . 439 § 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем первого порядка .... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 447 § 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка .... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 452 § 7. Нелинейные краевые задачи ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 458 § 8. Аппроксимации специального типа . . ..... .... ..... .... ..... . 464 § 9. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений ... ..... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 476 § 10. Построение численных методов с помощью вариационных принципов . .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 479 § 11. Улучшение сходимости вариационных методов в нерегулярном случае .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 489 § 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы записи конечно-разностного уравнения .... .... ..... . 491 10 Методы решения уравнений в частных производных 498 § 1. Основные понятия теории метода сеток . . .... ..... .... ..... . 500 § 2. Аппроксимация простейших гиперболических задач . . ..... . 508 § 3. Принцип замороженных коэффициентов . . .... ..... .... ..... . 524 § 4. Численное решение нелинейных задач с разрывными решениями . ..... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 527 § 5. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения ... ..... .... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 531 § 6. Разностная аппроксимация эллиптических уравнений ...... . 546 § 7. Решение параболических уравнений с несколькими пространственными переменными. ... .... ..... .... ..... .... ..... . 569 § 8. Методы решения сеточных эллиптических уравнений. ..... . 583 11 Численные методы решения интегральных уравнений 602 § 1. Решение интегральных уравнений методом замены интеграла квадратурной суммой .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 602 § 2. Решение интегральных уравнений с помощью замены ядра на вырожденное .... .... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... . 607 § 3. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода .. ..... . 611 Заключение Список литературы Предметный указатель 620 624 629

Стр.637