ISBN 978-5-93208-212-6 Книга знакомит читателя с тем, как развивалось с течением времени понятие математического доказательства. <...> Хотя есть некоторые намеки на доказательства даже в табличках древнего Вавилона (таких как Плимптон 322) за 1800 до н. э., понятие доказательства возникло, видимо, только в Древней Греции. <...> Многие древние греки, включая Евдокса, Теэтета, Фалеса, Евклида и Пифагора, либо использовали доказательства, либо ссылались на них. <...> Считается, что Евклид был первым, кто систематически использовал точные определения, аксиомы, строгие правила логики, чтобы сформулировать и доказать каждое утверждение (т. е. каждую теорему). <...> Формализм Евклида, как и его методология, стал образцом —и даже для наших современников —для установления математических фактов. <...> Французский математик Жан Лере (1906–1998) так пишет о системе ценностей в современной математике. .разные области математики нераздельны как части живого организма; как живой организм, математика должна постоянно создаваться заново; каждое поколение должно перестроить ее вновь—шире, больше и прекраснее прежней. <...> Хивуд не нашел фатальную ошибку в работе. <...> Брауэр дал революционное доказательство своей теоремы о неподвижной точке, а спустя некоторое время решительно отрекся от доказательств от противного (по крайней мере в отношении доказательств существования, а результат о неподвижной точке был именно таким) и создал движение интуиционизма. <...> Это замечательный инструмент вычислений, он мог бы резко упростить задачу Кеплера. <...> • Решение Томаса Хейлса задачи Кеплера об упаковке сфер во многом (как и решение задачи о четырех красках) опирается на компьютерные вычисления. <...> • Про доказательство гипотезы Пуанкаре, построенное Григорием Перельманом, и про программу геометризации Тёрстона слышали все. <...> У этого результата есть одно важное следствие—доказательство знаменитой гипотезы Пуанкаре. <...> Работа Фишера Блэка из Гарварда и Мирона Сколеса из Станфорда <...>
Изменчивая_природа_математического_доказательства._Доказать_нельзя_поверить.pdf
УДК 51.1
ББК 22.1
К78
Кранц С.
К78 Изменчивая природа математического доказательства. Доказать
нельзя поверить / С. Кранц ; пер. с англ. Н. А. Шиховой. —
3-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 323 с. —
Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул.
экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-896-4
Книга знакомит читателя с тем, как развивалось с течением времени
понятие математического доказательства. Некоторые иллюстративные
и интересные математические результаты приведены с доказательствами
и поясняющими примерами. Рассмотрен вклад в историю доказательства
многих великих математиков. Легкий и увлекательный стиль автора делает
изложение доступным широкому кругу читателей.
Для преподавателей математики, студентов и всех интересующихся
математическими науками.
УДК 51.1
ББК 22.1
Деривативное издание на основе печатного аналога: Изменчивая природа
математического доказательства. Доказать нельзя поверить / С. Кранц ;
пер. с англ. Н. А. Шиховой. — 2-е изд. — М. : Лаборатория знаний, 2017. —
320 с. : ил. — ISBN 978-5-00101-064-7.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации
Copyright ○c 2011 Springer New York
ISBN 978-5-00101-896-4
Translation from English language
edition:
The Proof is in the Pudding
by Steven G. Krantz
○c Лаборатория знаний, 2016
Springer New York is a part
of Springer Science+Business Media
All Rights Reserved
Стр.5
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Глава 1. Что такое доказательство и с чем его едят? . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1. Кто такой математик? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Понятие доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Как работает математик? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4. Основания логики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1. Закон исключенного третьего . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2. Модус понендо поненс и его друзья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5. Из чего же сделано доказательство? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6. Цель доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7. Логические основания математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.8. Платонизм или кантианство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.9. Экспериментальная природа математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.10. Роль гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.10.1. Прикладная математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.11. Математическая неопределенность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.12. Публикация и распространение математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.13. Заключительные размышления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Глава 2. Античность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1. Евдокс и концепция теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2. Геометр Евклид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.1. Специалист в теории чисел Евклид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3. Пифагор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Глава 3. Средние века и акцент на вычислениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1. Влияние ислама на математику . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2. Развитие алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.1. Аль-Хорезми и основания алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3. Исследования нуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4. Идея бесконечности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Глава 4. Заря нового времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1. Эйлер и глубина интуиции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2. Дирихле и эвристический базис строгого доказательства . . . . . . . . . . . 79
4.2.1. Принцип Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3. Золотая пора девятнадцатого столетия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Глава 5. Гильберт и двадцатый век . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1. Давид Гильберт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Стр.319
Оглавление
319
5.2. Биркгофф, Винер и развитие американской математики . . . . . . . . . . . . . 88
5.3. Л. Э. Я. Брауэр и доказательство от противного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4. Обобщенная теорема о бутерброде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
5.4.1. Классический бутерброд с ветчиной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
5.4.2. Обобщенный бутерброд с ветчиной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
5.5. Суета вокруг доказательств от противного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
5.6. Эррет Бишоп и конструктивный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
5.7. Николя Бурбаки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
5.8. Сриниваса Рамануджан и новый взгляд на доказательство . . . . . . . . . .124
5.9. Легенда о Поле Эрдёше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
5.10. Поклонение Полу Халмошу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
5.11. Путаница и парадоксы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130
5.11.1. Парадокс Бертрана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130
5.11.2. Парадокс Банаха—Тарского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
5.11.3. Задача Монти Холла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
5.11.4. Аксиома выбора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
Глава 6. Испытание четырьмя красками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
6.1. Робкое начало . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
Глава 7. Доказательства, построенные компьютером . . . . . . . . . . . . . . . . .151
7.1. Краткая история вычислителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
7.2. В чем разница между математикой и компьютерными дисциплинами 161
7.3. Доказательство теорем и проверка программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
7.4. Как компьютер может исследовать набор аксиом для получения
утверждений и доказательств новых теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165
7.5. Как компьютер порождает доказательство нового результата . . . . . . . .168
Глава 8. Компьютер помогает преподавать и доказывать . . . . . . . . . . . .172
8.1. Программа Geometer’s Sketchpad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172
8.2. Системы компьютерной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173
8.3. Численный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178
8.4. Компьютерные изображения и визуализация доказательств . . . . . . . . . .179
8.5. Коммуникация в мире математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182
Глава 9. Современная математическая жизнь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
9.1. Мир, в котором мы живем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
9.2. Математические институты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190
9.3. Математическая коммуникация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193
Глава 10. За пределами компьютеров: социология математического
доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198
10.1. Классификация конечных простых групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198
10.2. Гипотеза Бибербаха — доказательство Луи де Бранжа . . . . . . . . . . . . . . .205
10.3. Как Ву Йи Хсианг решил задачу Кеплера об упаковке сфер . . . . . . .208
10.4. Программа геометризации Тёрстона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215
Стр.320
320 Оглавление
10.5. Атака Григория Перельмана на гипотезу Пуанкаре и программу
геометризации Тёрстона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222
Глава 11. Доказательства, ускользающие из рук . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231
11.1. Гипотеза Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231
11.2. Гипотеза Гольдбаха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237
11.3. Гипотеза простых близнецов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240
11.4. Стивен Вольфрам и Новая наука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241
11.5. Бенуа Мандельброт и фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246
11.6. Роджер Пенроуз и «Новый ум короля» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248
11.7. Задача P/NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251
11.7.1. Сложность задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252
11.7.2. Сравнение полиномиальной и экспоненциальной сложности . .253
11.7.3. Полиномиальная сложность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254
11.7.4. Утверждения, которые можно проверить за полиномиальное
время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254
11.7.5. Недетерминистские машины Тьюринга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255
11.7.6. Основания NP-полноты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256
11.7.7. Полиномиальная эквивалентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256
11.7.8. Определение NP-полноты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256
11.8. Эндрю Уайлс и Великая теорема Ферма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256
11.9. Бесконечно малые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264
11.10. Калейдоскоп неправильно понятых доказательств . . . . . . . . . . . . . . . . . .266
11.10.1. Разочарование и непонимание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268
Глава 12. Джон Хорган и «Смерть доказательства?» . . . . . . . . . . . . . . . . . .274
12.1. Тезис Хоргана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274
12.2. Останется ли «доказательство» ключевым знаком математического
прогресса? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277
Глава 13. На посошок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279
13.1. Что важного в доказательствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279
13.2. Почему важно, чтобы понятие доказательства развивалось . . . . . . . . . .281
13.3. Что будут называть доказательством через 100 лет? . . . . . . . . . . . . . . .283
Алфавитный список авторов с краткими биографиями . . . . . . . . . . . . . . .285
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .296
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304
Стр.321