j-функции Бесселя и их применения в задачах математической физики (220,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ j-ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ Учебно-методическое пособие Воронеж Издательский дом ВГУ 2015

Стр.1

Содержание Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1. Сингулярное уравнение Бесселя 11 1.1. Сопряжённые дифференциальные операторы и уравнение Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Связь классического и сингулярного уравнений Бесселя . . 13 1.3. Представления решения сингулярного уравнений Бесселя в виде степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4. j-Функции Бесселя первого рода положительного индекса . 17 1.5. j-Функции Бесселя первого рода отрицательного индекса . . 20 1.6. Задача Коши для сингулярного уравнения Бесселя . . . . . 22 1.7. Весовая задача Коши для j-функции Бесселя с отрицательным индексом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8. Общее решение сингулярного уравнения Бесселя. j-Функции Неймана (j-функция Бесселя второго рода) . . . 25 1.9. Представление j-функции Бесселя интегралом Пуассона . . 28 2. Ряды по j-функциям Бесселя 29 2.1. Ортогональность системы j-функций Бесселя . . . . . . . . 30 2.2. Оценка L2 2.3. Ряды Фурье–Бесселя и Дини . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. Интегральные преобразования на основе j-функций Бесселя 39 3.1. Преобразование Фурье функций от сферических симметрий 39 3.2. Преобразование Фурье радиальных обобщенных функций . 42 3.3. Примеры преобразований Фурье радиальных функций . . . 45 3.4. Формула обращения преобразования Фурье–Бесселя . . . . 48 3.5. Другие интегральные преобразования с j-функцими Бесселя в качестве ядра преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3 γ-нормы j-функций Бесселя . . . . . . . . . . . . . 33

Стр.3

Введение Появление j-функций Бесселя jν, ν> − 1/2 в задачах математической физики достаточно просто проследить, рассмотрев преобразование Фурье радиальной функции в R3 (общая теорема рассмотрена далее в пункте 3.1 «Преобразование Фурье функций от сферических симметрий» ). Пусть x, ξ ∈ R3, |x| = x2 1 +x2 2 +x2 3, x, ξ = x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3, f=f(|x|) – радиальная функция. Преобразование Фурье функции f(|x|) имеет вид: F[f](ξ) =  R3 e−ix, ξf(|x|)dx. Произведем поворот системы координат, при котором направление оси x1 совпадёт с направлением вектора ξ. При таком преобразовании координат вектор ξ будет лежать на оси Ox1, т.е. будет иметь вид ξ = (|ξ|, 0, 0), а значит x, ξ = x1|ξ|. Поворот системы координат не меняет длин векторов и углы между векторами, поэтому мы, не меняя обозначений, запишем преобразование Фурье радиальной функции в виде F[f](ξ) =  f(ξ) =  R3 e−ix1|ξ| f(|x|) dx , откуда вытекает очень важное свойство: преобразование Фурье радиальной функции есть снова радиальная функция1: Fx→ξ[f(|x|)](ξ) =  f(|ξ|). Подстановка сферических координат x1 = r cos θ , x2 = r sin θ cosα, x3 = r sin θ sinα 0 ≤ α ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ 2π, с последующим выделением в качестве коэффициента |S1(3)| — площади единичной сферы в R3 (|S1(3)|=4π) приводит к равенству F[f](ξ) = F[f](|ξ|) = ∞ 0 f(r) r2dr π 0 e−irρ cos θ sin θdθ  0 2π dα = 1Это один из вариантов теоремы об инвариантности сферических симметрий относительно преобразования Фурье. 6

Стр.6

= 2π = 4π где выражение 1 2 +∞  0 +∞  0 π 0 f(r) r2dr π 0 f(r) r2dr1 2 e−irρ cos θ sin θdθ = π 0 e−irρ cos θ sin θdθ , e−irρ cos θ sin θdθ = j1 2 (r|ξ|) и есть j-функция Бесселя индекса (иногда говорят: порядка) ν = 1/2. Полученная функция есть частный случай «интегрального представления jфункции Бесселя» , которое для всех γ > 0 ν = γ−1 2 > −1/2 имеет вид jν(t) = Pνe−it = Γγ+1 2  Γγ 2 Γ1 2 π 0 e−it cosα sinγ−1 α dα (1) и называется представлением j-функции Бесселя в виде интеграла Пуассона2. В приведенной формуле Γ(z) – гамма-функция Эйлера3. Выражение jn−2 2 (rρ) = Γ(n Γ(n−1 2 ) 2 )Γ(1 2) π 0 e−irρ cosϕ sinn−2 ϕdϕ — j-функция Бесселя, отвечающая целому или полуцелому индексу ν=n−2 2 , которая могла бы появиться, в случае преобразования Фурье радиальной функции в Rn. Как видим, преобразование Фурье радиальной функции (от n переменных!) сводится к (одномерному!) интегральному преобразованию с j-функцией Бесселя jγ−1 2 2 , γ=n−1 в качестве ядра преобразования: Далее j-функция Бесселя определена как решение сингулярного дифференциального уравнения Бесселя. Представление Пуассона этой функции будет доказано. зательством необходимых формул приведены в приложении 1 этого пособия. В данном случае n = 3, γ = n−1 = 3−1 = 2, Γ(3 Γ(3−1 2 )Γ( 1 2 ) 2 ) = 1/2. 3Определяется при z > 0 как Γ(z) = t z−1e−t dt. Краткое изложение теории с дока0 ∞  7

Стр.7

F[f](ξ) = F[f](|ξ|) = F[f](ρ) = |S1(n)| f(ξ) = +∞  0 называется преобразованием Фурье–Бесселя функции f = f(t). Мы получили бы смешанное преобразование Фурье–Бесселя, если бы рассмотрели преобразование Фурье функции от осевой сферической симметрии f = f(|x|, x), где x ∈ Rn , x ∈ Rn  Rn+n = |S1(n)|  R+ 1+n Приведенные рассуждения позволяют считать, что функции jν порождены сферической симметрией, но это вопрос спорный, поскольку неизвестно, какая сферическая симметрия может породить j-функцию Бесселя индекса, не являющегося целым или полуцелым. Наиболее полно j-функции Бесселя изучены Б. М. Левитаном в [10] на основе изучения решения сингулярного уравнения Эйлера–Пуассона. Им получены свойства j-функций Бесселя, главные из которых: 1) функции jν удовлетворяют сингулярному уравнению Бесселя Btjν(λt) = ∂2jν(tλ) ∂2t + γ t ∂jν(tλ) ∂t = −λ2 jν(t) , ν = γ −1 2 и начальным условиям4 jν(0) = 1, jν(0) = 0; 4 (3) Здесь второе условие называется «условием четности», по сути оно дублирует первое, которое говорит об ограниченности решения в нуле. Поэтому его обычно не пишут. f(r,x) jn−1 (r, |ξ|) e−i(x, ξ) rn−1 drdx . 2 : f(|x|, x) e−i(x, ξ) dxdx = +∞  0 где |S1(n)| – площадь единичной сферы в Rn. Выражение FB[f](ξ) =  f(t) jγ−1 (tξ) tγ dr 2 f(r) jn−2 (rρ) rn−1 dr , 2 (2) 8

Стр.8