Очевидно, что A = Apq, где объединение берется по всем значениям p, q ∈ Ek,p q. <...> Пусть A⊆ Ind(A)= {(p, q)|Apq = ∅,p, q ∈ Ek,p q}. выполняется равенство равенство Имеют место следующие утверждения. <...> Сначала доказывается, что множество Apq содержит все функции k-значной логики, которые принимают только значения p и q и в двоичное представление которых входят только функции из B(A). <...> Для этого рассматривается произвольная функция F ∈Apq. <...> C помощью этой функции путем отождествления булевых переменных и подстановки вместо них функций из B(A) можно получить некоторую функцию G, все компоненты которой существенно зависят не более чем от одной булевой переменной и для которой выполняются равенства D(G)= D(F)= {p, q}. <...> Далее показывается, что применением операции двоичной суперпозиции можно при помощи функции G получить каждую функцию H из Apq, реализуемая этой вектор-формулой. <...> Пусть U, V⊆ двух β-замкнутых классов U, V функций из Для доказательства того факта, что множество Apq содержит только функции, компонентами которых являются функции из B(A), рассматриваются произвольная вектор-формула над A и функция H из Pk,2, принимающую только значения p и q и такую, что b(H) ⊆ B(A). равенство U = V, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Ind(U)=Ind(V). <...> Показывается, что если для Ind(U)=Ind(V), то по леммам 3 и 4 будет выполняться равенство Upq = Vpq для всех (p, q) ∈ Ind(U). <...> Обратное утверждение является очевидным, что и доказывает лемму 5. <...> Pk,2, таких, что B(U)= B(V), выполняется равенство Теперь перейдем к доказательству теоремы. <...> Для доказательства бесконечности семейства всех β-замкнутых классов функций лениям несложно показать, что B(A(B)) = B и, воспользовавшись леммой 1, получить бесконечное семейство замкнутых классов. m >, . ,< xn 1 , . ,xn m >),где f(x1 1, . ,xn Для этого рассмотрим произвольный замкнутый класс B⊆ P2. <...> Поэтому по лемме 5 существует не более конечного <...>