МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
В.В. Смагин
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2015
Стр.1
Содержание
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Глава I. Интеграл Лебега. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§ 1. Ограниченные множества меры нуль. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§ 2. Измеримые функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
§ 3. Интегрирование ступенчатых функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
§ 4. Множество функций C+[a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§ 5. Интеграл в множестве C+[a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
§ 6. Интеграл Римана и ступенчатые функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§ 7. Интеграл Римана и критерий Лебега. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§ 8. Суммируемые функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§ 9. Теорема Беппо Леви. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§10. Несобственный интеграл Римана и суммируемые функции. . . . . . . . . . . 26
§11. Теоремы Лебега и Фату. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
Глава II. Измеримые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
§12. Основные определения и свойства измеримых множеств. . . . . . . . . . . . . 32
§13. Структура измеримого множества положительной меры. . . . . . . . . . . . . 37
§14. Мера измеримого множества как его внешняя мера. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§15. Функции, измеримые по Лебегу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§16. Определение интеграла по Лебегу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
§17. Интегрирование по измеримому множеству. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§18. Случай бесконечного промежутка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
§19. Случай функции нескольких переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§20. Пространства суммируемых функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§21. Пространство ограниченных почти всюду функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
Стр.3
нуум. Это множество Кантора, которое строится на [0, 1] следующим образом.
Из отрезка [0, 1] исключается интервал (1
резков [0, 1
3, 2
3] и [2
3); затем из оставшихся двух от3,
1] (отрезков первого ранга) исключаются интервалы длины
3−2 с центрами в серединах указанных отрезков; затем из оставшихся четырех
отрезков (отрезков второго ранга) исключаются интервалы длины 3−3 с
центрами в серединах этих отрезков и так далее до бесконечности. Множество
D, оставшееся в [0, 1] после исключения всех интервалов, и есть множество
Кантора. Легко подсчитать, что сумма, длин удаленных из [0, 1] интервалов,
равна единице. Воспользовавшись задачей 1.6, получим, что D – ММН.
Заметим, что точки множества D делятся на точки первого рода – концы
удаленных интервалов вместе с точками 0 и 1, и точки второго рода – все
остальные точки множества D. Очевидно, что множество точек первого рода
счетное. Примером точки второго рода может служить число 1/4. Можно
показать, что множество D ⊂ [0, 1] включает те и только те числа отрезка
[0, 1], которые записываются в виде троичной дроби (конечной или бесконечной),
не содержащей единицы в числе своих троичных знаков. Отсюда
непосредственно следует, что множество D имеет мощность континуум.
Построим на отрезке [0, 1] еще одно множество. Зададим число α ∈ (0, 1).
Удалим из отрезка [0, 1] интервал длины α/2 с центром в середине отрезка;
из оставшихся двух отрезков удалим интервалы длины α/23 с центрами в
серединах этих отрезков; из оставшихся четырех отрезков удалим интервалы
длины α/25 с центрами в серединах этих отрезков и так далее. Множество,
оставшееся в [0, 1] после удаления всех интервалов, обозначим
D. Легко подсчитать,
что сумма длин удаленных из [0, 1] интервалов равна α < 1. Воспользовавшись
задачей 1.10, получим, что
D назовем множеством Кантора ненулевой меры.
• Задачи:
1.12. Доказать, что множества Кантора (нулевой и ненулевой меры) являются
нигде не плотными.
1.13. Пусть A – ММН на отрезке [0, 1] и нигде не плотно на этом отрезке.
6
D не является ММН. Множество
Стр.6
Является ли его замыкание A – ММН ?
Множество A ⊂ [a, b] называется множеством полной меры, если множество
[a, b]\A является ММН.
Если некоторое свойство выполняется на множестве полной меры отрезка
[a, b], то говорят, что это свойство выполняется почти всюду (п.в.) на [a, b].
Так, например, для функций x(t) и y(t), заданных на [a, b], обозначение
x(t) п.в.
= y(t) означает, что множество {t ∈ [a, b] |x(t) = y(t)} – ММН.
• Задача.
1.14. Пусть почти всюду на [a, b] задана последовательность функций
{fn(t)} такая, что при n → ∞ выполнено fn(t) п.в.
Показать, что f(t) п.в.
= g(t).
Лемма 1. Объединение конечного или счетного числа множеств меры
нуль есть множество меры нуль.
Доказательство. Пусть A = ∪iAi, где все Ai – ММН. Зададим ε > 0.
Каждое множество Ai покроем конечной или счетной системой интервалов
{i
i,j
|i
j| =
i
j
|i
j| <
i
j}i,j такой, что
ε/2i ≤ ε.
j}j с суммой длин меньше ε/2i. Тогда множество A окажется покрытым
конечной или счетной системой интервалов {i
→ f(t) и fn(t) п.в.
→ g(t).
Таким образом, A – ММН. ♥ – конец доказательства.
§ 2. Измеримые функции
Функция h(t) называется ступенчатой на отрезке [a, b], если существует
разбиение a = t0 < t1 < ... < tn = b отрезка такое, что в каждом из интервалов
(ti−1, ti) функция h(t) принимает некоторое постоянное значение bi ∈ R1
(i = 1,n). Значения функции h(t) в точках деления ti нас интересовать не
будут, поскольку множество {ti}n
i=0 – ММН.
Лемма 2. Пусть функция ϕ(x, y) непрерывна по совокупности переменных
x, y ∈ R1. Пусть h(t), k(t) – ступенчатые на [a, b] функции. Тогда функция
ϕ(t) = ϕ[h(t), k(t)] – ступенчатая на [a, b].
7
Стр.7
Доказательство очевидно, если объединить разбиения отрезка [a, b], порожденные
функциями h(t) и k(t). ♥
Следствие. Пусть h(t), k(t) – ступенчатые на [a, b] функции. Тогда ступенчатыми
являются и следующие функции:
αh(t) (α ∈ R1), |h(t)|, h(t)+k(t), h(t)k(t), max{h(t), k(t)}, min{h(t), k(t)} .
Доказательство. Следует лишь отметить непрерывность функций
max{x, y} и min{x, y}, что следует, например, из представлений:
max{x, y} = 2−1(x+y +|x−y|), min{x, y} = 2−1(x+y −|x−y|). ♥
Лемма 3. Пусть h(t), k(t) – ступенчатые на [a, b] функции и k(t) = 0 п.в.
на [a, b]. Тогда частное h(t)/k(t) – ступенчатая на [a, b] функция.
Для доказательства леммы 3, как и в лемме 2, достаточно объединить
разбиения отрезка [a, b], порожденные функциями h(t) и k(t). ♥
Вещественная функция x(t), для которой допускаются и бесконечные знатаких,
что hn(t) п.в.
чения, называется измеримой на [a, b], если:
1) x(t) определена п.в. на [a, b];
2) x(t) конечна п.в. на [a, b];
3) существует последовательность {hn(t)} ступенчатых на [a, b] функций
→ x(t) при n→∞.
Очевидно, что всякая ступенчатая функция измерима.
Заметим также, что если x(t) п.в.
то и функция y(t) измерима на [a, b].
• Задачи:
2.1. Показать, что на [0, 1] измеримы функции:
x(t) =
0, t ∈ [0, 1]\Q
1, t ∈ [0, 1] ∩Q
, y(t) =
2.2. Пусть множество A ⊂ [a, b]. Рассмотрим
χA(t) =
1,
0,
8
t ∈ A
t ∈ [a, b] \ A
= y(t) и функция x(t) измерима на [a, b],
1, t ∈ [0, 1]\Q
0, t ∈ [0, 1] ∩Q
.
Стр.8