Министерство сельского хозяйства
Российской Федерации
Федеральное государственное
бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Самарская государственная
сельскохозяйственная академия»
Кафедра «Физика, математика
и информационные технологии»
О. Н. Беришвили, С. В. Плотникова
Математика.
Математическая статистика
Методические указания для практических занятий
Часть I
Кинель
РИЦ СГСХА
2015
1
Стр.1
УДК 519.2
ББК 74.58
Б-48
Беришвили, О. Н.
Б-48 Математика. Математическая статистика : методические указания
для практических занятий. Ч. I / О. Н. Беришвили,
С. В. Плотникова. – Кинель : РИЦ СГСХА, 2015. – 79 с.
Методические указания включают теоретические положения,
примеры решения типовых задач, материалы для самостоятельной
работы и контроля знаний студентов. Учебное издание предназначено
для студентов высших учебных заведений, обучающихся по
направлению подготовки 35.03.06 «Агроинженерия» сельскохозяйственных
вузов всех форм обучения.
© Беришвили О. Н., Плотникова С. В., 2015
© ФГБОУ ВО Самарская ГСХА, 2015
2
Стр.2
Предисловие
В профессиональной деятельности агроинженерам приходится
иметь дело с массовыми явлениями: множество участков земли,
машин, работников, видов продукции и показателей ее качества,
данных полевых экспериментальных опытов и др. Изменяющиеся
количественные характеристики этих явлений требуют обобщения,
оценки достоверности. В связи с чем, математическая статистика
является важной составляющей системы фундаментальной
подготовки современного инженера аграрного производства, обеспечивающей
ему профессиональную компетентность и конкурентоспособность.
Предлагаемые
методические указания подготовлены в соответствии
с требованиями Федерального государственного образовательного
стандарта высшего образования и программой курса
«Математика» для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по направлению подготовки «Агроинженерия».
Цель методических указаний – формирование у студентов
комплекса компетенций, соответствующих их направлению подготовки,
и необходимых для эффективного решения будущих профессиональных
задач. В результате изучения данного материала
студент должен знать основы статистического описания данных,
статистические оценки, схему и критерии проверки статистических
гипотез, методы статистического анализа, основы корреляционно-регрессионного
анализа и факторного анализа; уметь вычислять
числовые характеристики случайных величин, применять статистические
оценки при обработке экспериментальных данных,
вычислять коэффициент корреляции, находить уравнения линий
регрессии; владеть навыками использования методов математической
статистики при обработке результатов эксперимента.
Материал учебного издания направлен на формирование у
студентов следующих общекультурных и профессиональных компетенций:
владение культурой мышления, способность к восприятию,
обобщению и анализу, информации, постановке цели и выбору
путей ее достижения; способность к саморазвитию, повышению
своей квалификации и мастерства, владение навыками самостоятельной
работы; готовность к обработке результатов экспериментальных
исследований.
3
Стр.3
В методических указаниях рассмотрены основные понятия и
категории математической статистики, методы построения рядов
распределения и расчета их статистических характеристик, выборочный
метод и приемы оценки статистических гипотез, корреляционно-регрессионный
и дисперсионный методы анализа массовых
данных, с которыми работают специалисты инженерного
профиля и научные сотрудники.
Методические указания содержат основные положения теории,
формулы, определения, необходимые для решения задач.
В учебном издании приводятся подробные решения типовых задач,
поясняющих теоретический материал; содержательные примеры,
иллюстрирующие приемы обработки экспериментальных
данных; контрольные вопросы; задачи для аудиторного решения и
задачи для самостоятельного решения, позволяющие закрепить
приобретенные на практических занятиях навыки решения задач и
оценить степень подготовленности по данной теме.
Методические указания имеют прикладную направленность и
найдут конкретное применение в общепрофессиональных и специальных
дисциплинах, изучаемых бакалаврами, могут быть использованы
магистрами, аспирантами, преподавателями и специалистами
сельского хозяйства.
4
Стр.4
Тема 1. Основы статистического описания. Генеральная
и выборочная совокупность. Вариационный ряд,
его числовые характеристики и графическое представление.
Эмпирическая функция
Математическая статистика разрабатывает методы регистрации,
описания и анализа статистических совокупностей.
Под статистической совокупностью понимается множество
единиц (фактов), каждая из которых обладает таким свойством,
которым обладают и другие единицы. Например, о работниках
сельскохозяйственной организации можно говорить как о статистической
совокупности, поскольку каждый из них имеет трудовые
отношения (определяющее свойство) с этой организацией.
Получение значений признака по всем единицам статистической
совокупности возможно на основе изучения всей совокупности
или же только ее части. Второй способ – несплошное наблюдение
– предпочтителен при ограниченности времени или ресурсов
на исследование, а в ряде случаев он является единственно
возможным. Среди способов несплошного наблюдения основным
является выборочное наблюдение.
Выборочное наблюдение – это наблюдение за специально отобранной
из исходной статистической совокупности частью единиц
с целью получения полных и объективных характеристик всей совокупности.
Генеральная
совокупность – это исходная статистическая совокупность,
по которой должны быть получены статистические
характеристики (параметры).
Выборочная совокупность (выборка) – это специально отобранная
часть генеральной совокупности.
Выборка должна быть репрезентативной (представительной),
т.е. правильно отражать пропорции генеральной совокупности.
Проведение выборки предполагает выполнение двух основных
условий: каждая единица, входящая в генеральную совокупность,
должна иметь в сравнении с другими единицами равную вероятность
попадания в выборку; число единиц в выборке должно быть
достаточно большим.
5
Стр.5
Количество элементов в статистической совокупности называется
ее объемом и обозначается: N – объем генеральной совокупности,
n – объем выборки.
Пусть из генеральной совокупности извлекается выборка, при
этом, значение 1x наблюдается 1n раз, 2x – 2n ,…., kx – kn раз.
Возможные значения исследуемого признака X :
xn называют вариантами, число наблюдений ni
x1,
x2 , ...,
стотами. Сумма всех частот равна объему выборки n
n n
k
i
i1
Накопленная частота ni
( ).
f ni
Отношения частот к объему выборки
Wi 1.
нак
носительными частотами (частости). Сумма относительных частот
равна единице:
n
W ni
i
показывает, сколько наблюдалось
вариант со значением признака, меньшим x.
Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений
называется накопленной относительной частотой (частостью):
W
nнак
i
i
нак
n .
(2)
Перечень вариант, расположенных в порядке возрастания, и
соответствующих им частот, называют вариационным рядом или
статистическим распределением выборки.
Форма построения вариационного ряда зависит от характера
изменения изучаемого признака. Различают два вида изменчивости:
дискретную (прерывистую) и непрерывную. Поэтому вариационный
ряд может быть построен в форме дискретного или интервального
ряда.
Дискретный вариационный ряд можно рассматривать как
преобразование ранжированного ряда, при котором перечисляются
отдельные значения признака, и указывается их частота.
Если число вариантов велико или признак имеет непрерывную
вариацию, то строится интервальный вариационный ряд, в
котором отдельные варианты объединяются в интервалы (группы).
6
– ча(1)
называют
от
Стр.6
Интервальный ряд распределения строят на основе ранжированного
ряда в следующей последовательности:
1) Определение количества интервалов
или
2) Вычисление шага интервала
l 1 3,3 lg22
N
l
l N;
h x xm ;in
max
(3)
(4)
3) Определение границ интервалов (за начало первого интервала
рекомендуется принимать
xнач xmin
h
2 ;
(5)
4) Подсчет числа единиц в каждом из интервалов;
5) Табличное оформление интервального ряда.
К наиболее распространенным видам графического изображения
вариационных рядов относятся полигон, гистограмма, кумулята,
огива. Графическое изображение рядов с помощью полигона
или гистограммы позволяет получить наглядное представление
о закономерности варьирования наблюдаемых значений случайной
величины.
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают
варианты ix , а на оси ординат – соответствующие им частоты in .
Точки
xi n,
i соединяют отрезками прямых и получают полигон
частот.
Полигон обычно используют для изображения дискретного
вариационного ряда, реже для интервального.
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую
из прямоугольников, основаниями которых служат частичные
интервалы длиною h, а высоты равны частотам (или частостям).
В случае неравенства интервалов гистограмма строится по
плотности распределения (
ni
h
– плотность частоты).
анты ix , а на оси ординат – накопленные частоты ni
нат в кумуляте.
7
Для построения кумуляты на оси абсцисс откладывают варинак
,
полученные
точки соединяют отрезками и получают ломаную.
Огиву можно получить, если поменять местами оси коорди
Стр.7