Простейшие свойства линейных пространств Вы уже знакомы с понятием n-мерного арифметического пространства. <...> Напомним, что это пространство представляет собой множество nмерных арифметических векторов, то есть строк из действительных чисел ) ( , 2 , ., an a1 a , в котором определены две операции: сложение векторов и умножение вектора на действительное число. <...> Если в определении вектора и операций над векторами заменить действительные числа элементами произвольного поля, то мы получим дословное повторение теории арифметических пространств. <...> Замеч а ни е 1) Если поле коэффициентов Р есть поле всех комплексных чисел, то линейное пространство называется комплексным линейным пространством. <...> 2) Если Р – поле всех вещественных чисел, то – вещественным линейным пространством. <...> Его элементы – упорядоченные наборы из n действительных чисел с операциями сложения и умножения на . <...> Векторы – квадратные матрицы одного и того же порядка п с действительными элементами. <...> 8) k a ) 9) ( ) , , получим: k a) 1 a a основ. a L a ka . и запишем: ; (k l a k ( )l a ka ( Для линейного пространства L над полем Р вводятся те же понятия, что и для арифметических пространств: линейная зависимость и линейная независимость системы векторов, определение линейной комбинации векторов, свойства линейной зависимости, понятие базиса и ранга системы векторов. <...> Число п называют размерностью пространства L и пишут: d L n im (от англ. слова dimention – размерность). <...> Из определения следует, что в п-мерном пространстве линейно независимой системы, содержащей более п векторов. <...> . В данном L можно указать линейно-независимую систему, состоящую из какого угодно числа векторов, например: 5 l l 2 1 (0, 1, .) <...> ); . В конечномерном пространстве L любая система векторов, содержащая хотя бы один ненулевой вектор, обязательно имеет базис. <...> Линейное пространство L является п-мерным, тогда и только тогда, когда в нем существует базис из п-векторов. <...> Любое <...>
ИЗБРАННЫЕ_ВОПРОСЫ_ЛИНЕЙНОЙ_АЛГЕБРЫ.pdf
УДК 512
ББК 22.14
Ч 46
Р еценз енты:
К. А. Дридгер, к. п. н., старший преподаватель кафедры алгебры
и истории математики;
Н. А. Мунасыпов, к. ф.-м. н., доцент кафедры математического анализа
и МПМ
Ч 46
Черемисина М. И.
Избранные вопросы линейно алгебры [Текст]: учебное пособие /
М. И. Черемисина; Мин-во образования и науки РФ; Оренбург. Гос.
пед. ун-т. – Оренбург: ООО «Агентство «Пресса», 2013. – 80 с.
УДК 512
ББК 22.14
© Черемисина М.И., 2013
© ООО «Агентство «Пресса», 2013
1
Стр.2
В а р и а н т 1 0
Задание 1. Доказать, что множество M a
b a 2 a b Q обра,
b
зует векторное пространство над полем рациональных чисел. Найти базис и
размерность этого пространства.
Задание 2. Доказать, что системы векторов:
a1 (1; 1; 1),
b1 (1; 1; 0),
a2 (1; 2; 1),
b2 (1; 1; 1),
а3 (0; 0; 1);
b3 (0; 2; 2).
образуют базисы пространства 3R . Найти матрицу перехода от первого базиса
ко второму и найти координаты вектора
c (1; 2; 3) в базисе 1a , 2a , 3a .
Задание 3. Найти базис и размерность линейного подпространства и
вектор сдвига, определяющих линейное многообразие решений системы линейных
уравнений:
3x1
x1
x2
x2
x3
x3
x1 3x2 3x3 2.
x4
x4
x4
Задание 4. Найти базис и размерность суммы и пересечения линейных
подпространств, натянутых на векторы:
a1 (1; 2; 1),
b1 (2; 3; 1),
линейного пространства
( 1;
( 1;
2;
2;
v3
a2 (2; 5; 4),
b2 (1; 2; 2),
а3 (1; 3; 3);
b3 (1; 1; 3).
x x x x3) в вектор x 1 x2 ;2 x x2 x1);
x x x x3) в вектор x 2 x 5x1 1; 4x2 x3) .
Задание 5. Выяснить, будут ли операторы 1,
линейными, если 1
3;
(x1
(0; 3 3
Задание 6. Найти матрицы линейного оператора из задачи № 6 в
единичном базисе и базисе
a1 (1; 0; 1),
a2 (1; 1; 1),
77
а3 (2; 3; 4).
2 действительного
переводит вектор
2 переводит вектор
0,
2,
Стр.78