ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.
МАТЕМАТИКА
УДК 519.635
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С НЕЛОКАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ
© 2013 г. М.Х. Бештоков
Бештоков Мурат Хамидбиевич – кандидат физикоматематических
наук, доцент, кафедра вычислительной математики,
Кабардино-Балкарский государственный университет,
ул. Чернышевского, 173, г. Нальчик, 360004, e-mail:
beshtokov_murat@rambler.ru.
Beshtokov Murat Khamidbiyevich – Candidate of Physical
and Mathematical Science, Associate Professor, Department
of Computational Mathematics, Kabardino-Balkarian State
University, Chernyshevskiy St., 173, Nalchik, 360004, email:
beshtokov_murat@rambler.ru.
Рассматривается нелокальная краевая задача для псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами.
Для ее решения методом энергетических неравенств в классе достаточно гладких коэффициентов уравнения и граничных условий
получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, из которых следуют единственность и устойчивость решения
по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи со скоростью
O(h2 τ+ 2
) в норме W2
1(0,1 ) на каждом слое.
Ключевые слова: краевые задачи, нелокальное условие, уравнение третьего порядка, априорная оценка, разностная
схема, устойчивость и сходимость разностных схем, псевдопараболическое уравнение.
A nonlocal boundary value problem for the third order pseudo-parabolic equation with variable coefficients is considered. For solving the nonlocal
boundary value problem by the method of energy inequalities in the class of sufficiently smooth coefficients and boundary conditions, a priori
estimates in differential and difference setting are obtained. The obtained a priori estimates imply uniqueness and stability of the solution of the problem
with respect to the initial data and the right-hand side, and also the convergence of the solution of the difference problem to the solution of the
differential problem at the rate O(h2 τ+ 2
) in the norm W2
1(0,1 ) on each layer.
Keywords: boundary value problems, nonlocal condition, equation of the third order, a priori estimate, difference scheme, stability
and convergence of difference schemes, pseudo-parabolic equation.
Математическое моделирование многих процессов
приводит к изучению нестандартных начальнокраевых,
прямых и обратных задач для уравнений в
частных производных, не имеющих аналогов в классической
математической физике.
Важную роль в изучении различных процессов и
явлений играют уравнения 3-го и более высоких порядков.
Например, вопросы фильтрации жидкости в
пористых средах [1, 2], передачи тепла в гетерогенной
среде [3, 4], влагопереноса в почвогрунтах [5; 6, c.
137] приводят к модифицированным уравнениям
диффузии, которые являются псевдопараболическими
уравнениями в частных производных 3-го порядка
вида
ut = (ku ) + Àuxxt + f ( , )tx
x x
.
Это уравнение называется уравнением Аллера,
или модифицированным уравнением влагопереноса в
почвогрунтах [5–9].
Особый интерес представляют краевые задачи с
интегральными условиями. Из физических соображений
условия такого вида совершенно естественны и
возникают при математическом моделировании в тех
случаях, когда невозможно получить информацию о
происходящем процессе на границе области его протекания
с помощью непосредственных измерений или
когда возможно измерение лишь некоторых усредненных
(интегральных) характеристик искомой величины.
5
В
данной работе рассматривается краевая задача
для псевдопараболического уравнения 3-го порядка с
интегральным условием. Для решения получены априорные
оценки в дифференциальной и разностной
трактовках. На их основе доказаны единственность,
устойчивость решения задачи, а также сходимость
решения разностной задачи к решению дифференциальной
задачи со скоростью O(h + 2
1(0,1 ) на слое.
2
W2
Постановка задачи
задачу с нелокальным условием
(
QT ={( , ) : 0 ≤ ≤1, 0 ≤ ≤t T }
( ( , )
В замкнутом цилиндре
x t
x
( , )
( , ) +
(0, )
u t = β ∫
0 ≤ t T≤ ,
( ,0)
1( ) ( , )
t u x t dx + ρ τt u
0
1
0
∫
−Ï (1, )t = β ( ) (1, )
u x = u0 x , 0 ≤ ≤x
2 t
1,
( , ) , 0 < < 0,1
t
x
рассмотрим краевую
ut = k x t ux x) + η x t u tx x) + ( , )
−q x t u f x t
r x t u −
x
< ≤t T ,
( , ) (1, )τ dτ − µ t1( ) ,
2 t u t −µ ( ) , 0 ≤ t T≤ ,
( )
(2)
(3)
(4)
(1)
)
в норме
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2013. № 1
τ
Стр.1
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.
где заданные в уравнении (1) и граничных условиях
(2) – (4) коэффициенты удовлетворяют следующим
условиям:
0 < ≤ η( , ); ( , )
η x t r x t q x t
c0
≤ c2;
u x t C QT ) ; η ∈
3,2
[0, T];
c c , c
0, 1
( , )
f x t C QT ) ; u x C∈ 2
β1( ),t β ( ), µ ( ), ( , )
µ ∈ 3
k x t C QT ) ; r q C QT ) ;
2,1
( , )∈
( , )∈
( , )∈
2 t
QT ={( , ) :0 < <1, 0 < ≤t T ;
П x t = ( , )
2 −
x t
k x t u +η x t u xt – полный поток.
x
x
( , )
Заметим, что нелокальное условие (2) можно заменить
условием вида
u t
(0, )
= β ∫
α
1
1( )t u x t dx + ρ τt u
0
( , )
t
∫
0
где 0 ≤ α ≤ , α – глубина корнеобитаемого слоя [9]
или активного слоя почвы, который участвует в водоснабжении
корневой системы, в процессах испарения
и транспирации.
По ходу изложения будем использовать положи,
зависящие
тельные постоянные числа M , 1,2 ,....=ii
только от входных данных задачи (1) – (4).
Допуская существование решения дифференциальной
задачи (1) – (4), получим априорную оценку
для ее решения. Воспользуемся методом энергетических
неравенств. Уравнение (1) умножим скалярно на
. Тогда
U u u t+=
t ,
,
где ( , )
u v
(u U ku U) ((+ η x x) ,
−(qu U f U, ),
) (= (
+
= ∫
1
0
x x) ,
) (
uvdx ,
2
|| ||0u = ∫
1
0
u2dx .
Преобразуя каждое из слагаемых, входящих в (6),
с помощью неравенства Коши с ε с учетом граничных
условий (2), (3) находим
2 || ||
1
Ч +η) 2
1
0
∫ (k
x
+M u
dt ud
2
0
+
2
1
dt
d
u dx ut || +c ux || +c uxt || ≤
+ ||
2
0
2
0
≤ П x t u x t u x t
ε (
x
2
0
П x t u x t u x t ]
= −(β ( ) (1, )
( , ) [ ( , ) + t ( , )
( , ) [ ( , ) + t ( , )]
||
1
0
0 ||
1( ) || || + u || )+M ε2 ( ) || f ||
1
0
+ ε ut || +
||
2
0
2
0
.
(7)
Первое слагаемое в правой части (7) оценим с помощью
уравнения (1) и условий (2), (3) следующим
образом:
=
2 t u t −µ ( ))[ (1, ) + t (1, )
2 t u t u t ]+
2
0
0 ||
2
0
Ч
t
u U ru U)−
) (
+
x ,
(6)
( , ) (1, )τ dτ−µ t1( ) , 0 ≤ t T≤ ,
(
(
t
, ∈
2 t ρ τ
(
0 ( )
1( )t C T ;
[0, ]
1( )
4,3
(
( , )
x t C QT ) ;
2,2
3,2
(
[0,1 ] ;
– функции, непрерывные на
β t ≤ β < 1;
0
0 ≤ ≤ t ;
положительные постоянные числа.
}
x t k x t ≤ c1 ;
t ( , ), ( , ), ( , ), β1( ),t β2( ),t β1,t ( ), ( , ),
t
t ρ τ ρ τ ≤
t ( , )
(5)
t
≤
1
0
(0, ) + t
+M ε ( u
+M ε ( u
2 ||
1
+M ε µ ( )t +µ +t( ) || f || ).
Преобразуем слагаемое u2 (0, )t
4( ) || || + u || )+
5( ) || || + u || )dτ+
6( )
ut || +εM u (||
||
2
0
2
0
t
∫
0
(
+ ρ τt u
0
t
∫
≤ β2 ( ) ||
t
2
1
+M u
8 ∫ || || + u ||
0
(
||
2
1
2
0
t || +
||
2
0
2
0
+
2
1
x
2 || ||
1
dt ud
+ ut || +c ux || +c uxt || ≤
≤ +β ( ) || ut || +εM u (||
+M ε ( u
∫
2
0
+M12 ( ) || || + u || )dτ+
t
11( ) || || + u || )+
ε ( u
2
1
t
2
0
||
Выбирая β t ≤ β < 1 , β0 <
− β
+M ( ) ||
|
ε = mi 1 2n
dt ud
|| || +
2
0
≤M u
+M f (||
14 || || + u || )+M u
t
(
16
u
2
0
||
≤M u
0
17 ∫ || || + u || ) τ+d M18 ∫ ∫ || || + u ||
t τ
t
(
+ u x( ) ||2
||
0
+M f || +µ ( )t +µ t ( )t +µ ( )t dτ+
0
19 ∫ (||
t
2
0
W2 (0,1)
1
2
1
.
Второе слагаемое в правой части (12) оценим следующим
образом:
6
2
1,
2
2
)
2
0
||
x
2
0
00
( u
2
0
||
x
2
0
2
0
||
2
1
x
2
0
(
|| +µ ( )t +µ t ( )t +µ ( )).
0
2
1,
x
2
0
∫
0
2
0
2
2
2
0
t
|| || + u || + (|| ut || + ux || + uxt || ) ≤dτ
t
Проинтегрируем (11) по τ от 0 до t:
||
||
2
0
2
0
)
dpdτ+
(12)
4M10
dt kd
1
0
1( ) |
2
0
0
, 2
M
c
∫ ( +η) 2
x
0
10
u dx ut || + ux || + uxt || ≤
15 ∫ || || + u || )dτ +
+ ||
2
0
2
0
||
||
x
2
0
2
0
(11)
||
2
0
13 ε ( f || +µ ( )t +µ t ( )t +µ ( )).
1
0
2
0
2
1
2
1,
2
2
2
,
, из (10) следует
t
2
0
||
x
x
2
0
2
0
(10)
2
0
0 ||
2
0
+η) 2
0 ||
x
2
0
10
xt || + ut || )+
2
0
||
2
0
dt kd
∫
1
0
2
2
2
0
||
2
1
с помощью (2). Тогда
2
ut (0, )t = β1,t ( )t udx +β ∫
1
0
∫
t ( , ) (1, )τ dτ − µ1, t ( )
t
t u M u + u || )+
τ+ µ t
7 || ||
(
2
0
)
≤
2
0
||
x
d M t( ).
2
9 1,
Учитывая оценки (8), (9), из (7) находим
(
u dx +
2
0
(9)
3
x
x
2
0
||
2
0
2
0
2
0
t
1( )t u dx +ρ( , ) (1, )
2
1
0
t
в правой части (8)
t t u t +
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2013. № 1
+ [u t u (0, )]×
Ч ∫ ( t −
x + −
u ru qu f dx
t
)
+β ( ) (1, )
t || + uxt || )+
2
0
2 t u t −µ ( )
2 t
ut
2
≤
2 (0, )
1
t +
(8)
τ
Стр.2
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.
∫ ( u
t τ
00
u
2
0
∫ || || + u ||
2
0
||
x
x
2
0
2
0
∫
)
0
≤
M u
0
20 ∫ || || + || ux dτ M19 Ч
t
(
0
2
0
2
0
2
1
|| ) +
2
0
Ч ∫ (|| f || +µ ( )t + µ t ( )t + µ ( )t dτ+ u0 x( ) ||2
t
2
1,
2
2
)
|| || 1
2
u
2
W (0,1)
≤M f || +µ ( )t +µ t ( )t +µ ( )t dτ+ u x( ) ||2
0
∫ (||
t
2
0
2
1
2
1,
2
2
)
||
0
∫
2
0
||
2
0
||
0
W2 (0,1)
1
,
где M зависит только от входных данных задачи (1) –
(4).
Из полученной априорной оценки следует единственность
решения исходной задачи (1) – (4) и непрерывная
зависимость решения задачи от входных данных
на каждом временном слое в норме W2
= { x t j
i
O h2 τ+ 2
yt
(
+
2
1
( , )
Y0
−
2
1
= β Y2 N +
t∈ω τ ,
2
1
( ,0)
где
( , ) : x ih i N Nh t = τ =j m m T}
На сетке ω = ω ×ω =τ
i =
hτ
, 0,
=
)
[11]:
= χ
−
2
1
b aYx −
x t ∈ω τh
N
1
s=0
( ) ( )
,
aYx x
2
1
,
= β ∑ + ρ
=
Ys
a χ Y ,
2
j
s 0
∑ s N
y
jY τ− µ2 ,1
s
N N x N + γN xt N
h y ,t N +
,
2
1
y x = u0 x ,
= +1
( )
r r= + + r
r
Y y j + y ,
−
,
t = +0,5 = + τ ,
d q( , )txi
t j
t j
(r− r
,
− = 0,5 | |) 0≤
i =
x ω∈ ,
yt =
h
y
| r |= + − r
i = (
r
,
ϕi = f ( , )txi
0,5
0,5
j+1
τ
−
,
i−
1
− y
,
r
a k x 0,5 t, ) ,
,
b
±
=
i
r
k O( 2h ) ,
+
±
xi− = −0,5 h ,
µ j µ= 1 ( ) ,
xi
j t
+ = 0,5 | |) 0≥
γ = η −ix 0,5 t, ) ,
2 ( ) ,
(r+ r
(
µ j µ=
2
j t
,
=
d YN N −ϕN
t∈ω τ ,
+ γyxt x
dY +ϕ
+
2
1
b a Yx +
+ +( 1)
−
(15)
(16)
h
,
=1,
j
j ,
0, ,
τ =
дифференциальной задаче (1) – (4) поставим в соответствие
разностную схему порядка аппроксимации
1(0,1 ) .
Устойчивость и сходимость разностной схемы
+
−
||
W2 (0,1)
1
+ (|| ut || + ux || + uxt || ) ≤dτ
t
2
0
.(14)
Оценивая первое слагаемое в правой части (14) с
помощью леммы Гронуолла [10, с. 152], получим искомую
априорную оценку
τ =
2 , если s = 0, s = j
τ , если s = −
t ,
τ
;
1, 1
j
Умножим (15) скалярно на U Y y t+=
(( y U)+
2
1
(y U)= χ( )aY U
2 ,
1
,
1, 2
ux =
b a Y Ux ,
+ +( 1)
dY U
где (u v
+ ϕ
) ∑=
−
( ] || xu ] |2
N
i
=1
2
1
( ,U),
1
x x
+
ui ihv
, u v
,
[ , ]
= ∑
=
N
,
2
1
+ γ
b aY Ux ,
−
xt x) ,
−
(u u), = 2|||| u , (u v
,
i 0
ui iv ,
[1,u = u
] ∑=
=
N
2 ] | [ ] | 2
.
После несложных преобразований с помощью неравенства
Коши с ε с учетом граничных условий
(16), (17) из (19) находим
(|| y || ) + || yt ||2≤
2
t
2
1
aY Yx
x ,χ
− γ, y2
+M ( ) ||
−µ
2 ,
(17)
(18)
2
1
− +0Y yt,0
(
+
+M ε( ) ∑ (||Y 2
s
2
1
6
=
j
7
3 +
2 ε ( Y 2
xt + ε || y M ε ϕ +
||
|| + Yx ] | ).
2
t ||2 +
||
a Yχ + γ y Y yt
x
xt
=
a χ Y ,
)
N
i
1( ) ||
2
(20)
равенства (20). Используя уравнение (15), получим
(
+ ) =
0
2
1
N N x N + γN xt N N + y ,t N − −0Y yt,0 )+
−1
y
∑
=1
≤ ( M M h yt || + ||yxt ] | )+
2
4
y M Y
0
t,0 +
2
5( ) ||ε (
)(||
||
|| + Yx ] |2
||
2
||2 + Yx ] |2
τ
) +
)+
yt −
2
1
,
b a Yx −
+
i+1
(Y
2
1
b a Y +
−
2 ||
1
i x
yt || +
2
2
1
dY −ϕ
≤
h
Преобразуем первое слагаемое в правой части неN
−
2
1
2
1
a Yχ + γ y Y yt
x
aYx ,χ yx t
xt
+
(
−
2
1
)
N
−
0
aY yxt
x ,χ
2
1
aYx ,χxY
− γ
,
−
( Y yx xt
]−
(19)
i 1
ui ihv
,
:
χ =
0
N
dpdτ ≤
2
0
T u
0
t
∫ || || + ux d .
(
|| || + u || + (|| ut || + ux || + uxt || ) ≤dτ
t
В силу (13) из (12) получим
||
||
2
0
||
2
0
2
0
||
|| ) τ
2
0
(13)
R = 0,5 | | – разностное число Рейнольдса;
k
h r
χ = + R1
1 ;
=
1 0,5 |
1
χ =
+
+ h r0 |
k0, 5
1 0,5 |
1
kN−0, 5
h , если s N −1
, если r0 0≤ ;
=1,
h rN |
h
2 , если s = 0, s N
=
,
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2013. № 1
, если rN ≥ 0 ;
ε
Стр.3
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.
+M ε ϕ +µ + µ .
Оценим слагаемое 2
j
7 ( ) | [ ] |2
(
yt,0
2
2 = β ∑ y + ρ j
s
≤ β
2
1
9
j N
1
s=0
|| yt ||2 +
+M ∑ (|| y 2
j
s=0
2
1
(
a Yχ + γ y Y yt
x
xt
11 +
h yt N + yt,0
2
2 (
2
,
|| + || y ] |2
x
j
s=0
2
1
2
2
)
∑ s yN
s τ−µ j
1
)
С учетом (22) из (21)
(
0
+M ( ) ||
|| + Yx ] |2
||
+ ) ≤
N
≤ εM hM12 )(|| yt ||2 + || yxt ] | )
13 ε ( Y 2
+M15(ε) ∑ (|| y 2
j
+M16 (ε) ∑ (||Y 2
j
s 0
+M ε ϕ +µ +µ +µt
(23) находим
17 ( ) | [ ] |2
(
(||
≤ εM hM20 )(|| yt ||2 + || yxt ] |2
+M Yx ] |
19 +
y
(
18 ||
22 ε ( Y 2
23 ε ( y 2
21 ||
x
+M ( ) | [ ] |2
|
25 ε ϕ +µ +µ +µ ).
Выбирая β t ≤ β < , 1 β0 <
− β
(
s=0
2
1
1( ) |
ε = mi 1 2n
h0 = mi 1 2n
(|| y || )
2
||
+M27
+ Y M y 2
j+1 2] | + (||Y 2
x ] |2≤
|| y
+ ∑ (|| y 2
j
x
s=0
t + γ y2
26 ||
4M20
1,
( )
(
x t + || yt ||2 + || yxt ] |2 +
|| + || y ] |2
x
|| + Yx ] |2
||
|| + || y ] |2
x
)+
)+
)τ+ ∑ (||Y 2
j
s=0
|| + Yx ] |2
||
τ
) +
8
2
0
8M19
, 4
− β
2
0
M
c
2
1,
0
0
, 2
M
c
19
0
, h h 0≤ ,
|| y
20
, из (24) получим
t
2
2
1
2
,
0
+M y
+M ( ) ||
+M ( ) ||
j+1 2
] | + +β
|| + Yx ] |2
||
|| + || yx ] |2
+M24 (ε) ∑ (|| y 2
j
2
1
2
1
)+
)+
|| + || y ] |2
x
)τ+ ∑ (||Y 2
j
s=0
|| + Yx ] |2
||
) τ +
(24)
2
t
+ γ
2
1,
( )
≤
y
x t + || yt ||
2
2
1
2
1,
s 0
=
=
|| + || y ] |2
|| + Yx ] |2
x
||
)+M14 ( ) ||ε ( y 2
)τ+
) +
2 + +β
2
1
τ
2
2
).
2 +c0 || yxt ] |2 +
)+
|| yt ||2 +
(23)
После несложных преобразований из (20) с учетом
|| )
2
1
|| yt ||2 +
|| + || y ] |2
x
)+
+
≤
t
M y 2
8
2
10 1,
(||
)τ +M µ t .
|| + || y ] |2
x
)+
(22)
+M30
′=
j
0
(21)
yt,0 с помощью условия (2)
2
+M | [ ] |
28
(
|| y
1
2 + +
2
j′ от 0 до j :
j+1 2
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2013. № 1
) .
2
1,
t +
2
2
(25)
Умножим обе части на τ и просуммируем (25) по
|| + || y
x
j+1 2] | + ∑ (|| yt ] |2 + || yxt ] |2 + Yx ] |2
j
||
j′=0
≤ M29 ∑ (|| y 2
j
j
+M31 ∑ | [ ] |ϕ +µ +µ +µ τ+ || y
j′=0
0 0
j
s
(
j′=0
≤M y(||
j
′= =
j
0 0
s
32
2
2
1
2
1,
t
2
2
)
M30 ∑ (||Y 2
j
+ ∑ ∑ (||Y 2
j
j+1 2
|| + Yx ] |
||
||
2 τ + ∑ ∑ (|| y 2
j
)
|| + Yx ] |
|| + || y
x
+M33 ∑ (|| y 2
j
j′=1
|| y
≤
|| + || y
x
+M36 ∑ (|| y 2
j′=1
M y
j
35
(||
Ч ∑ | [ ] |ϕ +µ +µ +µ τ+ || y
j′=0
τ =
j
(
M 35
j+1 2
′=
j
2
2
1
2
1,
t
2
2
)
|| + || y
1
x
j′=0
x
2 ττ
|| + || y ] |
)
j+1 2] | ) +τ
2 τ+M y(||
34
С учетом (27) из (26) получим
j+1 2
2
j′=0
|| + || y ] |
|| + || y
x
x
j
2 τ+M Ч
)
37
0 2
|| + || y ] |
x
, из (26) с учетом (27) получим
0 2
.
Выбирая τ таким образом, что для всех τ ≤ τ 0 ,
1
j+1 2] | + ∑ (|| yt ] |2 + || yxt ] |2 + Yx ] |2
j
||
≤ M38 ∑ (|| y 2
j
+M39 ∑ | [ ] |ϕ +µ +µ +µ τ+ || y
j′=0
j
(
2
2
1
2
1,
t
2
2
)
|| + || yx ] |2
) +τ
0 2
|| + || y ] |
x
0 2
) ≤
τ
(29)
.
Оценивая первое слагаемое в правой части (29) с
помощью леммы Гронуолла [12], получим искомую
априорную оценку
j+1 2
+1 2
] |
)
τ+
(28)
x
j
j′= =0 0
s
) ≤
(27)
0 2|| + || y ] | ).
0 2
j+1 2] | + ∑ (|| yt ] | + || yxt ] | + Yx ] |2
j
2
||
) ≤
τ
M y
+ ∑ ∑ (|| y 2
j
21 ||
j
s
+ ∑ ∑ (||Y 2
j
′= =
j
j′= =0 0
|| + Yx ] |
||
2 ττ
x
|| + || yx ] |2
) +τ
j+1 2] | + ∑ (|| Y 2
j
j′=0
|| + || y ] |
x
) +
0 2
|| + || y ] |
x
0 2
. (26)
Оценим второе, третье, четвертое и пятое слагаемые
в правой части (26):
|| + || y ] |
x
2 ττ +
)
)
|| + Yx ] |
2 ττ +
||
2 τ +
)
) ≤
τ
µ
µ
µ
ϕ
Стр.4
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.
|| y
j+1
≤M ∑ | [ ] |ϕ +µ +µ +µ τ+ || y0
j′=0
j
(
2
2
1
2
1,
t
2
2
)
||
2
W (0,1)
2
1
+ ∑ (|| yt ] | + || yxt ] | + Yx ] |2
j
2
j′=0
||
2
W2 (0,1)
1
2
||
) ≤
τ
, (30)
где M – положительная постоянная, не зависящая от
h и τ .
Итак, справедлива следующая
Теорема. Пусть выполнены условия (5), тогда существуют
такие 0h , 0τ , что если τ < τ 0 , h h 0< , то
для решения разностной задачи (15) – (18) справедлива
априорная оценка (30).
Из (30) следует единственность решения задачи, а
также устойчивость решения по начальным данным и
правой части в сеточной норме
|| Wy
||
2
2
Пусть u( , )tx
1(0,1)
zi
y ui
i
j
j
шение разностной задачи (15) – (18). Обозначим погрешность
через
y z u+=
в (15) – (18) и считая u( , )tx
цией, получим задачу для z :
(aZx x
zt
+
2
1
= χ
−
2
1
( , )
−
2
1
= β Z2 N +
z( ,0) 0=x
2
1
,
где ψ = h(O
Z0 = β ∑ Zs + ρ j
s=0
x t ∈ω τh
N
1
s=0
a χ Z ,
2
N N x N + γ zxt N
h z ,t N −
x ω∈ ,
,
2
1
h
2 τ+ 2 ) , ν = h(O 2
1
+ τ2
) , ν = h(O 2
2
+ τ2
) –
погрешности аппроксимации на решении исходной
задачи при каждом фиксированном *t .
Применяя априорную оценку (30) к задаче для погрешности,
получим априорную оценку
|| z
j+1
||
2
W2 (0,1)
1
≤M ∑ | [ ] |2ψ +ν + ν + ν τ) ,
j
j′=0
(
O(h2 τ+ 2
|| ||2
z
j′=0
2
1
2
1,
t
2
2
где M – положительная постоянная, не зависящая от
h и τ .
Из полученной априорной оценки следует сходимость
решения схемы (15) – (18) со скоростью
)
(1)=|| z
j+1
в сеточной норме
2
||
W2 (0,1)
1
j′=0
+ ∑ (|| zt ] | + || zxt ] | + || Z ] |2
j
2
2
x
Поступила в редакцию
9
)τ .
10.
11.
12.
+ ∑ (|| zt ] |2 + zxt ] |2 + Z ] |2
j
||
||
x
)τ ≤
9.
8.
∑ s Zs N τ − ν2 ,1
j
,
=
d ZN N
− ν
2 ,
t∈ω τ ,
5.
6.
7.
с.
b aZ −
,
x
) ( )
,
2
1
+ γzxt x
dZ +ψ
+
2
1
b a Z +
+ +( 1)
x
2.
3.
t∈ω τ ,
4.
– решение задачи (1) – (4); yi – реj
= − . Тогда, подставляя
на слое.
j
заданной функЕСТЕСТВЕННЫЕ
НАУКИ. 2013. № 1
Замечание 1. Полученные в данной работе результаты
также имеют место, если условие (2) заменить
условием
u t = β ( ) (1, )
(0, )
1 t u t + ρ τt u
0
t
∫
ut = k x t ux x) + η( ( , )
x
( , )
0 < < 0,1
− ( , )
x
( , ) c
( , )∫
( , )
α x t ≤ , η ∈
( , )
x t C QT ) .
3,3
(
< ≤t T ,
если условия (5) дополнить еще условиями:
2
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства
образования и науки Российской Федерации (регистрационный
номер НИР 1.6197.2011).
Литература
1.
Баренблат Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об
основных представлениях теории фильтрации однородных
жидкостей в трещиноватых породах // ПММ.
1960.
№ 25, вып. 5. С. 852–864.
Дзекцер Е.С. Уравнения движения подземных вод
со свободной поверхностью в многослойных средах
// Докл. АН СССР. 1975. Т. 220, № 3. С. 540–543.
Рубинштейн Л.И. К вопросу о процессе распространения
тепла в гетерогенных средах // Изв. АН
СССР. Сер. геогр. 1948. Т. 12. № 1. С. 27–45.
Ting T.W. A cooling process according to two temperature
theory of heat conduction // J. Math. Anal. Appl.
1974. Vol. 45, № 9. P. 23–31.
Hallaire M. L’eau et la production vegetable // Institut
National de la Recherche Agronomique. 1964. № 9. Р. 17–
29.
Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М., 1976. 352
Кожанов А.И. Об одной нелокальной краевой
задаче с переменными коэффициентами для уравнений
теплопроводности и Аллера // Диф. уравнения. 2004. Т.
40, № 6. С. 763–774.
Шхануков М.X. О некоторых краевых задачах для
уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании
фильтрации жидкости в пористых средах //
Диф. уравнения. 1982. Т. 18, № 4. С. 689–699.
Чудновский А.Ф. Некоторые коррективы в постановке
и решении задач тепло- и влагопереноса в почве
// Сб. тр. по агрофизике. Л., 1969. № 23. С. 41–54.
Ладыженская О.А. Краевые задачи математической
физики. М., 1973. 407 с.
ных схем. М., 1973. 416 c.
Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностСамарский
А.А. Однородные разностные схемы на
неравномерных сетках для уравнений параболического
типа // ЖВМ и МФ. 1963. Т. 3, № 2. С. 266–298.
( , ) (1, )τ dτ − µ t1( ) , 0 ≤ t T≤ .
Замечание 2. Полученные в данной работе результаты
имеют место и в случае, когда уравнение (1)
имеет вид
(
q x t u −α x t u x t dx f x t
0
x t u )x xt + ( , )
+
( , ) ,
r x t u –
x
3 июня 2012 г.
Стр.5