К ним относятся: нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Кортевега-де Фриза, гамильтонианы Хено–Хейлеса. <...> К неинтегрируемым же примерам относятся: комплексное уравнение Гинзбурга–Ландау, уравнение Курамото–Сивашинского, реакционно-диффузионная модель Колмогорова–Петровского–Пискунова (КПП), модель атмосферной циркуляции Лоренца и космологическая модель IX по Бьянки. <...> Мюзетт, 2011 c Перевод на русский язык: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011 Оригинальное издание The Painlev` e Handbook by Robert Conte, Micheline Musette впервые опубликовано на английском языке в 2008 году издательством Springer Science+Business Media совместно с Canopus Publishing Limited. <...> Общее решение уравнения Кортевега–де Фриза (КдФ) в виде бегущей волны . <...> Редукция уравнений Курамото–Сивашинского и комплексного уравнения Гинзбурга–Ландау третьей степени в переменных бегущей волны . <...> Эллиптические решения в переменных бегущей волны 53 3.2.2.1. <...> Случай двух семейств: уравнение синус-Гордона и модифицированное уравнение КдФ . <...> Метод усечения с парой Лакса второго порядка150 5.6.3.4. <...> Случай одного семейства особых точек: уравнение Фишера . <...> От преобразования Беклунда к бирациональному преобразованию . <...> От формулы нелинейной суперпозиции к контигуальному соотношению . <...> Переформулирование метода сингулярного многообразия: дополнительное дробно-рациональное преобразование . <...> В качестве интегрируемых примеров рассматриваются: нелинейное уравнение Шредингера (непрерывное и дискретное), уравнение Кортевега–де Фриза, уравнение Буссинеска, гамильтонианы Хенона–Хейлеса. <...> К неинтегрируемым же примерам относятся: комплексное уравнение Гинзбурга–Ландау (оно используется в теории оптических волокон, а также при расчете турбулентности), уравнение Курамото–Сивашинского (при расчетах фазовой турбулентности), реакционно-диффузионная модель Колмогорова–Петровского–Пискунова (КПП), модель атмосферной циркуляции Лоренца, космологическая модель IX Бьянки (обе модели описывают <...>
Метод_Пенлеве_и_его_приложения.pdf
УДК 519.6
ББК 22.193
К651
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований по проекту №09-01-07090
Конт Р.М., Мюзетт М.
Метод Пенлеве и его приложения. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», Ижевский институт компьютерных исследований,
2011. — 340 с.
Нелинейные дифференциальные уравнения встречаются не только в математике,
но и во многих областях физики, химии и биологии. Предлагаемая монография
знакомит читателя с методами решения этих уравнений в явном виде. Первостепенная
цель — научить читателя оценивать свои шансы на успех, не имея
никаких априорных представлений о решении. Для этого используется так называемый
тест Пенлеве — мощный алгоритм, подробно рассматриваемый в книге. Если
нелинейное дифференциальное уравнение проходит тест Пенлеве, то оно считается
интегрируемым. Если же уравнение не проходит тест Пенлеве, то система является
неинтегрируемой или даже хаотической. В этом случае, однако, по-прежнему
можно найти ее решения. Описанные методы иллюстрируются, главным образом,
примерами из физики. К ним относятся: нелинейное уравнение Шредингера, уравнение
Кортевега-де Фриза, гамильтонианы Хено–Хейлеса. Все они являются интегрируемыми.
К неинтегрируемым же примерам относятся: комплексное уравнение
Гинзбурга–Ландау, уравнение Курамото–Сивашинского, реакционно-диффузионная
модель Колмогорова–Петровского–Пискунова (КПП), модель атмосферной циркуляции
Лоренца и космологическая модель IX по Бьянки.
ISBN 978-5-93972-883-6
c
ББК 22.193
Р.М.Конт, М.Мюзетт, 2011
c
Перевод на русский язык:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011
Оригинальное издание The Painlev`
e Handbook by Robert Conte, Micheline
Musette впервые опубликовано на английском языке в 2008 году издательством
Springer Science+Business Media совместно с Canopus Publishing Limited.
На обложке использованы портреты С.Ковалевской, А.Пуанкаре (слева),
Л.Фукса, П.Пенлеве (справа).
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Стр.4
Оглавление
Предисловие . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. xii
Краткий обзор книги . ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. xiv
Список сокращений .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. xxiv
ГЛАВА 1. Введение .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 1
1.1. Особые точки на комплексной плоскости . .... ... .... 1
1.1.1. Метод возмущений . .... .... .... ... .... 2
1.1.2. Метод, не использующий возмущения .. ... .... 4
1.2. Свойство Пенлеве и шесть трансцендент . .... ... .... 7
ГЛАВА 2. Анализ особых точек: тест Пенлеве .. .. .. ... .. 12
2.1. Метод Ковалевской–Гамбье . .... .... .... ... .... 12
2.1.1. Модель Лоренца ... .... .... .... ... .... 13
2.1.2. Уравнение Курамото–Сивашинского (КС) . ... .... 18
2.1.3. Кубическое комплексное уравнение Гинзбурга–Ландау
(КГЛ3) ... ... .... .... .... ... .... 21
2.1.4. Осциллятор Дуффинга–ван дер Поля ... ... .... 25
2.1.5. Система Хенона–Хейлеса . . .... .... ... .... 26
2.2. Метод возмущений Фукса . .... .... .... ... .... 32
2.3. Нефуксов метод возмущений .... .... .... ... .... 36
ГЛАВА 3. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений
. . . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 37
3.1. Интегрируемые случаи ... .... .... .... ... .... 38
3.1.1. Первые интегралы и интегрирование модели Лоренца 38
3.1.1.1. Случай (1, 1/2, 0) . .... .... ... .... 40
3.1.1.2. Случай (2, 1, 1/9) . .... .... ... .... 40
3.1.1.3. Случай (0, 1/3,r) . .... .... ... .... 41
3.1.1.4. Случай (1, 0,r) .. .... .... ... .... 42
3.1.2. Общее решение уравнения Кортевега–де Фриза (КдФ)
в виде бегущей волны .... .... .... ... .... 43
Стр.5
vi
ОГЛАВЛЕНИЕ
3.1.3. Общее решение нелинейного уравнения Шредингера
(НУШ) в виде бегущей волны ... .... ... .... 45
3.2. Частично интегрируемые уравнения .... .... ... .... 49
3.2.1. Редукция уравнений Курамото–Сивашинского и комплексного
уравнения Гинзбурга–Ландау третьей степени
в переменных бегущей волны .... ... .... 49
3.2.1.1. Отсутствие первого интеграла .. ... .... 50
3.2.1.2. Подсчет произвольных постоянных . . .... 50
3.2.2. Эллиптические решения в переменных бегущей волны 53
3.2.2.1. Необходимые условия для эллиптических
решений .. .... .... .... ... .... 54
3.2.2.2. Эллиптические решения . .... ... .... 55
3.2.3. Тригонометрические бегущие волны КС . ... .... 57
3.2.3.1. Калибровочное преобразование . ... .... 57
3.2.3.2. Полиномы по степеням th .... ... .... 59
3.2.4. Тригонометрические решения в переменных бегущей
волны уравнения КГЛ3 ... .... .... ... .... 63
3.2.4.1. Полиномы по th .. .... .... ... .... 65
3.2.4.2. Полиномы по th и sech .. .... ... .... 68
3.2.5. Общий метод построения эллиптических решений
с учетом переменных бегущей волны ... ... .... 73
3.2.5.1. Класс эллиптических функций . ... .... 73
3.2.5.2. Два результата Брио и Буке ... ... .... 74
3.2.5.3. Метод нахождения всех эллиптических решений
... .... .... .... ... .... 75
3.2.5.4. Приложение к уравнению КдФ . ... .... 78
3.2.5.5. Приложение к уравнению КС .. ... .... 79
3.2.5.6. Приложение к уравнению КГЛ3 . ... .... 81
3.2.6. Первый интеграл осциллятора Дуффинга–ван дер Поля 83
3.2.7. Однозначные решения для космологической модели
Бьянки IX .... ... .... .... .... ... .... 84
3.2.8. Результаты применения теории Неванлинны к КС
и КГЛ3 . .... ... .... .... .... ... .... 87
ГЛАВА 4. Уравнения в частных производных: тест Пенлеве .. . 90
4.1. О редукциях УЧП ... ... .... .... .... ... .... 92
4.2. Солитонные уравнения ... .... .... .... ... .... 94
4.3. Свойство Пенлеве для УЧП .... .... .... ... .... 97
4.4. Тест Пенлеве для УЧП ... .... .... .... ... .... 100
4.4.1. Оптимальная переменная при разложении в ряд Лорана101
Стр.6
ОГЛАВЛЕНИЕ
vii
4.4.2. Интегрируемый случай. Пример КдФ ... ... .... 103
4.4.3. Частично интегрируемый случай. Пример КПП .... 106
ГЛАВА 5. От теста к решениям УЧП в явном виде . . . ... .. 109
5.1. Глобальная информация от теста . .... .... ... .... 109
5.2. Построение N-солитонных решений ... .... ... .... 110
5.3. Инструменты интегрирования ... .... .... ... .... 111
5.3.1. Пара Лакса ... ... .... .... .... ... .... 112
5.3.2. Преобразование Дарбу ... .... .... ... .... 114
5.3.3. Преобразование Крама ... .... .... ... .... 116
5.3.4. Сингулярная часть преобразования .... ... .... 117
5.3.5. Формула нелинейной суперпозиции .... ... .... 119
5.4. Выбор порядка пар Лакса . . .... .... .... ... .... 121
5.4.1. Пары Лакса второго порядка и их преимущество . . . 121
5.4.2. Пары Лакса третьего порядка ... .... ... .... 122
5.5. Метод сингулярного многообразия .... .... ... .... 123
5.5.1. Алгоритм .... ... .... .... .... ... .... 123
5.5.2. Степень усечения и выбор переменной . . ... .... 126
5.6. Приложение к интегрируемым уравнениям .... ... .... 129
5.6.1. Случай одного семейства: уравнения КдФ и Буссинеска129
5.6.1.1. Случай уравнения КдФ . . .... ... .... 130
5.6.1.2. Случай уравнения Буссинеска . . ... .... 133
5.6.2. Случай двух семейств: уравнение синус-Гордона и
модифицированное уравнение КдФ .... ... .... 137
5.6.2.1. Уравнение синус-Гордона .... ... .... 139
5.6.2.2. Модифицированное уравнение Кортевега–де
Фриза . ... .... .... .... ... .... 142
5.6.3. Третий порядок: Савада–Котера и Каупа–Купершмидта 145
5.6.3.1. Помощь от классификации Гамбье . . .... 146
5.6.3.2. Структура особенностей уравнений СК и КК 148
5.6.3.3. Метод усечения с парой Лакса второго порядка150
5.6.3.4. Метод усечения с парой Лакса третьего порядка
и уравнением G5 . . .... ... .... 151
5.6.3.5. Метод усечения с парой Лакса третьего порядка
и уравнением G25 . .... ... .... 151
5.6.3.6. Преобразование Беклунда .... ... .... 152
5.6.3.7. Нелинейная формула суперпозиции . . .... 153
5.7. Приложение к частично интегрируемым уравнениям . .... 155
5.7.1. Случай одного семейства особых точек: уравнение
Фишера . .... ... .... .... .... ... .... 156
Стр.7
viii
ОГЛАВЛЕНИЕ
5.7.2. Случай двух семейств особых точек: уравнение Колмогорова–Петровского–Пискунова
(КПП) . . . . .... 159
5.8. Редукция метода сингулярного многообразия для ОДУ.... 164
5.8.1. От пары Лакса к изомонодромной деформации .... 164
5.8.2. От преобразования Беклунда к бирациональному преобразованию
.. ... .... .... .... ... .... 167
5.8.3. От формулы нелинейной суперпозиции к контигуальному
соотношению . .... .... .... ... .... 169
5.8.4. Переформулирование метода сингулярного многообразия:
дополнительное дробно-рациональное преобразование
.... ... .... .... .... ... .... 171
ГЛАВА 6. Интегрирование гамильтоновых систем . . . ... .. 174
6.1. Различные определения интегрируемости .... ... .... 174
6.2. Кубические гамильтонианы Хенона–Хейлеса ... ... .... 176
6.2.1. Вторые инварианты . .... .... .... ... .... 176
6.2.2. Разделение переменных ... .... .... ... .... 176
6.2.3. Непосредственное интегрирование .... ... .... 182
6.2.2.1. Случай β/α = −6 (КдФ5) .... ... .... 177
6.2.2.2. Случай β/α = −1 (СК) и −16 (КК) .. .... 178
6.3. Гамильтонианы Хенона–Хейлеса четвертого порядка . .... 184
6.3.1. Вторые инварианты . .... .... .... ... .... 184
6.3.2. Разделение переменных ... .... .... ... .... 185
6.3.2.1. Случай 1: 2: 1 (система Манакова) . . .... 186
6.3.2.2. Случаи 1: 6: 1 и 1: 6 : 8 . .... ... .... 187
6.3.2.3. Случай 1: 12 : 16 . .... .... ... .... 191
6.3.3. Свойство Пенлеве . . .... .... .... ... .... 192
6.4. Окончательная картина для ХХ3 и ХХ4 .. .... ... .... 195
ГЛАВА 7. Дискретные нелинейные уравнения .. .. .. ... .. 196
7.1. Общие положения ... ... .... .... .... ... .... 196
7.2. Дискретное свойство Пенлеве ... .... .... ... .... 200
7.3. Дискретный тест Пенлеве . .... .... .... ... .... 201
7.3.1. Метод локализации сингулярности .... ... .... 201
7.3.2. Метод полиномиального роста ... .... ... .... 205
7.3.3. Метод возмущения при переходе к непрерывному
пределу . .... ... .... .... .... ... .... 208
7.4. Дискретное уравнение Риккати . . .... .... ... .... 210
7.5. Дискретные пары Лакса ... .... .... .... ... .... 211
7.6. Точные дискретизации ... .... .... .... ... .... 213
Стр.8
ОГЛАВЛЕНИЕ
ix
7.6.1. Уравнение Ермакова–Пинни .... .... ... .... 213
7.6.2. Эллиптическое уравнение . .... .... ... .... 217
7.7. Дискретные варианты нелинейного уравненияШредингера . 219
7.8. Очерк о дискретных уравнениях Пенлеве . .... ... .... 220
7.8.1. Аналитический подход ... .... .... ... .... 221
7.8.2. Геометрический подход ... .... .... ... .... 222
7.8.3. Краткие выводы по дискретным уравнениям Пенлеве . 224
ГЛАВА 8. Часто задаваемые вопросы .. .. ... .. .. ... .. 226
ПРИЛОЖЕНИЕ A. Классические результаты Пенлеве и его последователей
.. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 231
A.1. Группы инвариантности, сохраняющие свойство Пенлеве . . 232
A.2. Свойство неприводимости. Классические решения . . .... 233
A.3. Классификации .... ... .... .... .... ... .... 235
A.3.1. ОДУпервого порядка высших степеней . ... .... 235
A.3.2. ОДУпервой степени второго порядка . . . . . . .... 236
A.3.3. ОДУвторого порядка высших степеней . . . . . .... 237
A.3.4. ОДУпервой степени третьего порядка . . ... .... 237
A.3.5. ОДУпервой степени четвертого порядка . ... .... 237
A.3.6. ОДУвысших порядков первой степени . . ... .... 239
A.3.7. УЧП второго порядка первой степени . . . . . . .... 239
ПРИЛОЖЕНИЕ B. Еще о трансцендентах Пенлеве .. .. ... .. 240
B.1. Последовательность слияний .... .... .... ... .... 241
B.2. Инвариантность относительно дробно-рациональных преобразований
.... .... ... .... .... .... ... .... 245
B.3. Инвариантность относительно бирациональных преобразований
.. .... .... ... .... .... .... ... .... 246
B.3.1. Нормальная последовательность .. .... ... .... 246
B.3.2. Несимметричная последовательность ... ... .... 248
B.4. Инвариантность относительно аффинных групп Вейля .... 250
B.5. Инвариантность относительно небирациональных преобразований
. .... .... ... .... .... .... ... .... 251
B.6. Гамильтонова структура .. .... .... .... ... .... 252
B.7. Пары Лакса ... .... ... .... .... .... ... .... 253
B.8. Классические решения . . . .... .... .... ... .... 255
Стр.9
xОГЛАВЛЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ C. Краткие сведения об эллиптических функциях 259
C.1. Обозначение Якоби и Вейерштрасса ... .... ... .... 260
C.2. Симметричное обозначение Хальфена .. .... ... .... 261
ПРИЛОЖЕНИЕ D. Основы теории Неванлинны .. .. .. .
. .
. 264
ПРИЛОЖЕНИЕ E. Билинейный формализм . ... .. .. ... .. 268
E.1. Билинейное представление УЧП .. .... .... ... .... 268
E.2. Билинейное представление преобразований Беклунда . .... 270
ПРИЛОЖЕНИЕ F. Алгоритм расчета рядов Лорана .. .. ... .. 273
Предметный указатель ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 275
Литература .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 280
Стр.10