АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ ТЮРИН СБОРНИК ИЗБРАННЫХ ТРУДОВ Том II Квадратичные дифференциалы, многообразияПрима и геометрия пучков квадрик Москва Ижевск 2006 УДК 519 РЕДАКТОР-СОСТАВИТЕЛЬ—профессор Ф.А.Богомолов АВТОР ПРЕДИСЛОВИЯ — профессор университета Уорика (Англия) М.Рид <...> . . 412 Комментарии 415 Комментарий к статье «О периодах квадратичных дифференциалов» (Ф. А. Богомолов) . <...> Как это теперь хорошо известно, семейство прямых на неособой трехмерной кубикеX3 может быть использовано для вычисления трехмерной структуры Ходжа и представления промежуточного якобиана как многообразия Прима. <...> Напомним, что квадрика содержит изотропные линейные подпространства, параметризованные многообразиями спиноров. <...> Двойное накрытие имеет рациональное вложение «Штейнера» в пространство P6, как множество вершин квадрик коранга 1—ноды квадрик раздуваются в линейные компоненты кривойШтейнера. <...> Этот отлично написанный обзор содержит ряд любимых тем Андрея: детальное обсуждение векторных и аффинных расслоений и их теории деформации, основанной на матричнозначных дивизорах в стиле Вейля, обсуждение модулей расслоений большого ранга как неабелева аналога якобиана кривой. <...> Как и во многих других его работах, начальная идея состоит в том, что пространство модулей векторных расслоений на римановой поверхности— это неабелево обобщение конструкции якобиана J(C) кривой C и абелевых интегралов. <...> эта программа разработана для комплексных трифолдов (в основном, трифолдов Калаби–Яу) и добавлены новые темы: конструкция средних якобианов и отображения Абеля–Якоби (интегрируя формы Черна–Саймонса), структуры решетки Мукаи в четномерных когомологиях, теория деформации векторных расслоений, а также идея, что пространство соответствующих модулей становится нульмерным при переходе к возмущенной комплексной структуре. <...> Алгебраическая кривая в математике появляется в двух видах: как одномерное подмногообразие проективного пространства <...>
Сборник_избранных_трудов_В_3-х_т.__Квадратичные_дифференциалы,_многообразия_Прима_и_геометрия_пучков_квадрик_Том_2.pdf
УДК 519
РЕДАКТОР-СОСТАВИТЕЛЬ—профессор Ф.А.Богомолов
АВТОР ПРЕДИСЛОВИЯ — профессор университета Уорика (Англия)
М.Рид
КОММЕНТАРИИ: профессор Ф.А. Богомолов,
профессор А. Л.Городенцев
профессор В. В.Никулин
профессор А. С. Тихомиров
профессор П.Ньюстед
ПЕРЕВОД СТАТЕЙ НА РУССКИЙ ЯЗЫК—Н. А. Тюрин
ПОДГОТОВКА ИЗДАНИЯ К ПЕЧАТИ—А. Л.Городенцев, С.А.Кулешов
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований по
проекту№06-01-14103.
Тюрин А.Н.
Сборник избранных трудов: В 3-х т. Т. 2. Квадратичные дифференциалы,
многообразияПрима и геометрия пучков квадрик.—Москва-Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2006.—440 с.
Работы А. Н.Тюрина, собранные в этом томе, затрагивают широкий спектр
проблем комплексной алгебраической геометрии и ее приложений. Среди основных
тем: теория трехмерной кубики и различные аспекты теории пучков квадрик,
алгебро-геометрическая конструкция локального инварианта четырехмерного риманова
многообразия,теорияциклов на алгебраическихповерхностях, теория квадратичных
дифференциалов на кривых, аналог теорииЧерна–Саймонса для векторных
расслоений на многообразияхКалаби–Яу.
Ф.А.Богомолов—редактор-составитель, 2006
http://ics.org.ru
А.Н.Тюрин, 2006
c
Институт компьютерных исследований, для издания на русском языке, 2006
c
ISBN 5-93972-436-1
c
Стр.2
Оглавление
1. Предисловие ко второму тому . ... .. .. ... .. ... .. . 8
2.Пять лекций о трехмерных многообразиях ... .. ... .. . 13
Глава 1. Компонента Гриффитса .. .......... ......... 15
§ 1. Определение среднего якобиана тела ..... ......... 16
§ 2. ОтображениеАбеля .... .......... ......... 20
§3. Главные торы ........ .......... ......... 23
§ 4. Простейшие вычисления .. .......... ......... 25
Глава 2. ... ........... .......... ......... 28
§ 1. Геометрия кубики ...... .......... ......... 28
§2. Связки коник ........ .......... ......... 33
Глава 3. Лекция 3 ......... .......... ......... 39
§1. Введение .......... .......... ......... 39
§ 2. Кубика и двулистное накрытие ......... ......... 41
§ 3. Фрагменты теории многообразийПрима .... ......... 43
§ 4. Отличие многообразияПрима от якобиана кривой ........ 48
§ 5. Добавление. ТеорияМамфорда ........ ......... 49
Глава 4.МногообразияФано .... .......... ......... 53
§1. Введение .......... .......... ......... 53
§ 2. СемействаФано ...... .......... ......... 56
§ 3. ОтображениеАбеля семействаФано ...... ......... 61
Глава 5. Топология одномерных семейств кривых ... ......... 65
§ 1. Топология инволютивных семейств ....... ......... 65
§ 2. Средний якобиан телаФано .......... ......... 70
Литература ........... .......... ......... 75
3.О пересечении квадрик .. .. ... .. .. ... .. ... .. . 77
Глава 1.Опересечении двух квадрик .......... ......... 77
§ 1. Теория периодов ...... .......... ......... 77
§ 2. Многообразие модулей ... .......... ......... 81
§ 3. Пространство периодов .. .......... ......... 84
§ 4. Теорема Торелли ...... .......... ......... 90
Стр.3
4
Глава 2. ... ........... .......... ......... 91
§ 1. Введение (классическое) .. .......... ......... 91
§ 2. Кривая Гессе ........ .......... ......... 93
§ 3. Детерминантная гиперповерхность ....... ......... 95
§ 4. Кривые рода 5 ....... .......... ......... 97
§5. Накрытие ......... .......... ......... 99
§ 6. Снова кривые ....... .......... ......... 101
Глава 3. Конструкция ........ .......... ......... 104
§ 1. ПогружениеШтейнера кривой Гессе ...... ......... 104
§2. Линейные ряды на ˜
∆ .... .......... ......... 105
§ 3. Линейные ряды Гессе иШтейнера ....... ......... 107
§ 4. Ограничение связки на кривуюШтейнера ... ......... 110
§ 5. Кривые ........... .......... ......... 115
Глава 4. ... ........... .......... ......... 116
§ 1. Фильтрация ........ .......... ......... 116
§ 2. Геометрия дивизоров на ˜
∆ . .......... ......... 119
§ 3. Теорема четности ...... .......... ......... 121
§ 4. Многообразие модулей ... .......... ......... 123
Глава 5. Средний якобиан ..... .......... ......... 127
§1. Введение .......... .......... ......... 127
§ 2. Линейные подмногообразия пересечения трех квадрик ...... 127
§ 3. Унирациональность .... .......... ......... 129
§ 4. Средний якобиан ...... .......... ......... 131
§ 5. Средний якобиан как многообразиеАльбанезе поверхностиФано 135
§ 6. Заключение ........ .......... ......... 137
Литература ........... .......... ......... 137
4. Геометрия особенностей общей квадратичной формы .. .. . 139
§ 1. Введение (обозначения и мотивировки) .... ......... 139
§ 2. Связь междуподмногообразиемDi(q) ⊂ X ипучком Li(q) ... 142
§ 3. Производная форма .... .......... ......... 145
§ 4. Пятимерные гиперсвязки квадрики ...... ......... 148
Литература ........... .......... ......... 153
5.О периодах квадратичных дифференциалов ... .. ... .. . 154
Глава 1. ... ........... .......... ......... 155
§1. Оснащения ......... .......... ......... 155
§ 2. ПроизводнаяШварца ... .......... ......... 159
§ 3. Проективные связности .. .......... ......... 170
Глава 2. ... ........... .......... ......... 176
Стр.4
5
§ 1. Проективные флаги и аффинные расслоения .. ......... 176
§ 2. Плоские расслоения .... .......... ......... 189
§ 3. Экспоненциальный и шварцев интегралы ... ......... 200
Глава 3. ... ........... .......... ......... 206
§ 1. Пакет периодов плоских координат ...... ......... 206
§ 2. Аффинные структуры на модулях ....... ......... 212
Литература ........... .......... ......... 216
6.Локальный инвариант риманова многообразия . . . ... .. . 219
§ 1. Геометрия локальных инвариантов ....... ......... 222
§ 2. Индикатриса ........ .......... ......... 230
§ 3. Универсальная структура . .......... ......... 235
§ 4. Инварианты специальных структур ...... ......... 241
§5. Иерархия структур ..... .......... ......... 247
Литература ........... .......... ......... 253
7. Локальный и глобальный инварианты четырехмерного псевдориманова
многообразия . . . ... .. .. ... .. ... .. . 255
§ 1. Локальный инвариант ... .......... ......... 256
§ 2. Модули и индикатриса ... .......... ......... 260
§ 3. Локальный инвариант келеровой поверхности . ......... 264
§ 4. Глобальный инвариант ... .......... ......... 268
Литература ........... .......... ......... 275
8.Циклы, кривые и векторные расслоения над алгебраической поверхностью
.. .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 277
Глава 1. ... ........... .......... ......... 278
§ 1. Циклы и классы дивизоров . .......... ......... 278
§2. K-блок иK-фитинг .... .......... ......... 286
§3. K-блочные иK-фитинговые отображения ... ......... 293
Глава 2. ... ........... .......... ......... 298
§ 4. Многообразие модулей простых пучков и симметрические степени
3-поверхностей
.... .......... ......... 298
§ 5. Теория Брилля–Нетера для гладких кривых на К3-поверхности . 303
§ 6. Инфинитезимальная гипотезаХарриса–Мамфорда ....... 305
Литература ........... .......... ......... 306
9. Неабелевы аналоги теоремы Абеля . . . . . ... .. ... .. . 308
§1. Введение .......... .......... ......... 308
§ 2. Интеграл от формы Черна–Саймонса ..... ......... 310
§ 3. Геометрия диаграмм Хегора .......... ......... 314
Стр.5
6
§ 4. Предквантование Черна–Саймонса ...... ......... 319
§ 5. Квантование.Проблема вакуумного вектора .. ......... 323
§ 6. Пространство орбит комплексной калибровки . ......... 328
§ 7. Голоморфные дифференциалы на пространстве орбит ...... 331
§ 8. Когомологические соответствия ........ ......... 335
§ 9. Голоморфные расслоения на трехмерных многообразиях. Дискретные
инварианты .... .......... ......... 338
§ 10. Расслоения на трехмерных многообразияхКалаби–Яу ..... 342
§ 11. МногообразияФано и многообразия общего типа.
Полиномы положительной степени ....... ......... 347
§ 12. Геометрия векторных расслоений на флагах .. ......... 352
§ 13. Деформации флагов и векторных расслоений . ......... 357
§ 14. Разрезание и склейка в почти комплексном и комплексном случаях360
§ 15. Коллекция конструктивных многообразийКалаби–Яу ...... 365
§ 16. Векторные расслоенияна конструктивныхмногообразияхКалаби–
Яу .. ........... .......... ......... 370
§ 17. Случай рода два ...... .......... ......... 375
§ 18. Заключения ........ .......... ......... 380
Литература ........... .......... ......... 382
10. Структура многообразия пар коммутирующих пучков симметрических
матриц . . . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 385
Введение . ........... .......... ......... 385
§ 1. Гиперсвязки квадрик .... .......... ......... 390
§ 2. Кривые Гессе иШтайнера . .......... ......... 395
§ 3. Гиперсвязка пространственной кривой ..... ......... 404
§ 4. Компоненты ........ .......... ......... 411
Литература ........... .......... ......... 412
Комментарии
415
Комментарий к статье «О периодах квадратичных дифференциалов»
(Ф. А. Богомолов) ...... .......... ......... 417
Комментарий к статье «Циклы, кривые и векторные расслоения над алгебраической
поверхностью» (Ф. А. Богомолов) ......... 420
Комментарии к статьям
[1]«Локальный инвариант риманова многообразия»
[2] «Локальный и глобальный инварианты четырехмерного псевдориманова
многообразия» (В. Никулин) ..... ......... 423
Комментарий к статье «Пять лекций о трехмерных многообразиях»
(А. С. Тихомиров) ...... .......... ......... 426
Стр.6
7
Комментарий к статье «Опересечении квадрик» (А. С. Тихомиров) ... 427
Комментарий к статье «Геометрия особенностей общей квадратичной
формы» (А. С. Тихомиров) . .......... ......... 430
Комментарий к статье «Неабелевы аналоги теоремыАбеля» (А.Л.Городенцев)
........... .......... ......... 432
Комментарий к статье «Структура многообразия пар коммутирующих
пучков симметрических матриц» (А. С. Тихомиров) ........ 436
Стр.7