О коэффициентах гауссовой квадратуры для ET-систем . <...> Наилучшие квадратурные формулы для соболевских классов функций . <...> Необходимость в этом связана с тем, что задача оптимального восстановления функционала на соболевских классах функций приводит нас к двойственной задаче — поиску в соответствующем множестве функций, называемых моносплайнами, элемента, наименее уклоняющегося от нуля в норме соответствующего пространства. <...> С их помощью получены, в частности, теоремы сравнения и теоремы обужах (глава 7), которые дают критерий оптимальности моносплайна в равномерной и несимметричной нормах и позволяют установить единственность наилучшего метода восстановления положительного функционала на классах типа Wr В главе 9 с помощью теорем сравнения и теорем обужах устанавp . ливается следующий важный факт теории квадратур: оптимальный метод восстановления по информации о значениях функции и ее производных биркгоффова типа на соболевских классах функций использует информацию только о функции. <...> Метод SE называется наилучшим в {S} методом восстановления оператора U по информации I на множестве M.Если {S} есть множество всех однозначных операторов S : I(M) → Z, то погрешность наилучшего восстановления будем обозначать просто E(M,U, I). <...> В область исследований задачи 1 входит, например, теория интерполяционных квадратур, а в область исследований задачи 2 — теория квадратур Гаусса. <...> Величина E(G,F, {S}) является наилучшим приближением отображения F семейством {S}. <...> Если Y — линейное или линейное топологическое пространство, а {S} — семейство всех аффинных или линейных, или линейных непрерывных операторов S : Y →Z,то соответствующее наилучшее приближение отображения F семейством {S} будем обозначать через Ea(G,F) или E(G,F),или E∗(G,F). <...> Через r(G,F) обозначим радиус многозначного отображения F на G, т. е. наибольший чебышевский радиус образов F(y): r(G,F)= sup (r(F(y)) | y ∈ G). <...> Для любых G и F справедливо равенство E(G,F)= r(G,F). c(F(y)) ∈ Z, то оператор S0(y)= c <...>
Проблемы_восстановления_операторов.pdf
УДК 517.5
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биоло гия
• нефт е г а зовые
т ехнологии
Женсыкбаев А.А.
Проблемы восстановления операторов. — Москва–Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2003, 412 стр.
Исследуются задачи оптимального восстановления функций, линейных функционалов
и операторов, теория гауссовых формул восстановления на различных
чебышевских системах. Освещаются результаты исследований последнего времени,
имеющие в том или ином смысле окончательный характер. Особое внимание уделяется
методам исследований, которые могут быть использованы в решении ряда
других задач.
Для научных работников в теоретических и прикладных областях математики,
специалистов в теории приближений, студентов и аспирантов математических
специальностей.
Библиогр. 246 назв.
ISBN 5-93972-268-7
c
http://rcd.ru
http://ics.org.ru
Институт компьютерных исследований, 2003
А.А.Женсыкбаев, 2003
c
Стр.4
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ . ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 8
ГЛАВА 1. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ .. .. ... 11
§ 1. Задачи восстановления .. .... .... .... ... .... . 11
§ 2. О наилучшем восстановлении операторов . . . . . . .... . 16
§ 3. О наилучшем восстановлении функционалов . ... .... . 26
§ 4. Примеры восстановления . .... .... .... ... .... . 38
§ 5. Сплайны в решении задач восстановления ... ... .... . 43
§ 6. Сплайн-функции ... ... .... .... .... ... .... . 54
ГЛАВА 2. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ . . . ... .. .. ... .. ... 57
§ 1. О кусочно-непрерывных функциях ... .... ... .... . 57
§ 2. Полиномиальные сплайны .... .... .... ... .... . 64
§ 3. Чебышевские системы . . .... .... .... ... .... . 70
§ 4. Понятие степени отображения .. .... .... ... .... . 84
ГЛАВА 3. ГАУССОВЫФОРМУЛЫ .. ... .. .. ... .. ... 86
§ 1. Постановка задачи . . ... .... .... .... ... .... . 86
§ 2. О порядке точности формул восстановления .. ... .... . 88
§ 3. О коэффициентах гауссовой квадратуры для ET-систем . . . 92
§ 4. Формулы Гаусса для ET-систем . .... .... ... .... . 96
§ 5. Коэффициенты для WT-систем . . .... .... ... .... . 108
§ 6. Гауссовы формулы для WT-систем ... .... ... .... . 112
§ 7. О восстановлении функционалов, не обладающих свойством
положительности . . ... .... .... .... ... .... . 115
§ 8. Некоторые примеры . ... .... .... .... ... .... . 129
ГЛАВА 4. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ .. ... .. ... 133
§ 1. Постановка задачи . . ... .... .... .... ... .... . 133
§ 2. Минимизация функционала . . . .... .... ... .... . 135
§ 3. Существование сглаживающего элемента .... ... .... . 139
§ 4. Восстановление операторов . . . .... .... ... .... . 148
§ 5. Оптимальное восстановление операторов .... ... .... . 154
Стр.5
6ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 5. МОНОСПЛАЙНЫ . ... .. ... .. .. ... .. ... 160
§ 1. Предварительные замечания ... .... .... ... .... . 160
§ 2. Определения, обозначения .... .... .... ... .... . 161
§ 3. Оценки количества нулей моносплайнов .... ... .... . 168
§ 4. Моносплайны, имеющие полные наборы нулей ... .... . 172
§ 5. Замыкание множества моносплайнов, имеющих полный набор
нулей ... .... ... .... .... .... ... .... . 177
§ 6. Замыкание множеств моносплайнов минимального дефекта . 191
ГЛАВА 6. ТЕОРЕМЫ О НУЛЯХ .. .. ... .. .. ... .. ... 201
§ 1. Моносплайны минимального дефекта . . .... ... .... . 202
§ 2. Периодические моносплайны минимального дефекта .... . 207
§ 3. Связь задачи о нулях с гауссовыми квадратурами .. .... . 211
§ 4. Моносплайны c кратными узлами .... .... ... .... . 213
§ 5. Периодические моносплайны с кратными узлами . . .... . 228
§ 6. О моносплайнах с разрывной мерой ... .... ... .... . 231
ГЛАВА 7. ТЕОРЕМЫ ОБ УЖАХ И СРАВНЕНИЯ . ... .. ... 233
§ 1. Теоремы обужах .. ... .... .... .... ... .... . 233
§ 2. Теоремы сравнения по дефектам . .... .... ... .... . 242
§ 3. Теоремы сравнения по мере ... .... .... ... .... . 255
ГЛАВА 8. МОНОСПЛАЙНЫМИНИМАЛЬНОЙ НОРМЫ . ... 257
§ 1. Существование экстремального элемента .... ... .... . 257
§ 2. О моносплайнах, наименее уклоняющихся от нуля в равномерной
норме .... ... .... .... .... ... .... . 262
§ 3. Необходимые условия оптимальности . . .... ... .... . 264
§ 4. Единственность оптимального моносплайна .. ... .... . 272
§ 5. Редукция к периодическому случаю ... .... ... .... . 281
§ 6. Оценка нормы оптимального моносплайна ... ... .... . 283
ГЛАВА 9. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ ... .. ... 286
§ 1. Двойственность ... ... .... .... .... ... .... . 287
§ 2. Существование и единственность оптимальных методов восстановления
. .... ... .... .... .... ... .... . 292
§ 3. Наилучшие квадратурные формулы для соболевских классов
функций ... .... ... .... .... .... ... .... . 297
§ 4. Квадратурные формулы на классах сверток ... ... .... . 305
Стр.6
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
ГЛАВА 10. ЧЕБЫШЕВСКИЕ СПЛАЙНЫ . . . . . ... .. ... 311
§ 1. Двойственность ... ... .... .... .... ... .... . 311
§ 2. Свойства моносплайнов . . .... .... .... ... .... . 322
§ 3. Моносплайны минимальной нормы . . . .... ... .... . 326
§ 4. Оптимальное восстановление функционалов . . ... .... . 330
§ 5. Единственность квадратурной формулы .... ... .... . 331
ГЛАВА 11. ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ . 345
§ 1. Совершенные сплайны .. .... .... .... ... .... . 345
§ 2. Замыкание множеств совершенных сплайнов . ... .... . 350
§ 3. Совершенные сплайны минимальной L∞-нормы .. .... . 353
§ 4. Существование оптимальных в Lp-норме сплайнов . .... . 360
§ 5. Единственность оптимального сплайна . .... ... .... . 370
§ 6. Точные оценки приближения интерполяционными сплайнами 375
§ 7. Оптимальное восстановление функций . .... ... .... . 382
КОММЕНТАРИИ ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 386
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ... .. ... .. .. ... .. ... 392
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . . . ... .. ... .. .. ... .. ... 394
Стр.7