Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 524643)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента
Уважаемые СТУДЕНТЫ и СОТРУДНИКИ ВУЗов, использующие нашу ЭБС. Рекомендуем использовать новую версию сайта.

Гильбертовы пространства (90,00 руб.)

0   0
АвторыБахтина Жанна Игоревна
ИздательствоИздательский дом Воронежского государственного университета
Страниц30
ID298013
АннотацияУчебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета.
Кому рекомендованоРекомендуется для бакалавров 4-го курсаимагистров 1-го курса очной формы обучения математического факультета. Для направления 010200 – Математика и компьютерные науки
Гильбертовы пространства [Электронный ресурс] / Ж.И. Бахтина .— Воронеж : Издательский дом Воронежского государственного университета, 2014 .— 30 с. — 30 с. — Режим доступа: https://rucont.ru/efd/298013

Предпросмотр (выдержки из произведения)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА Учебно-методическое пособие для вузов Составитель Ж. И. <...> Бахтина Воронеж Издательский дом ВГУ 2014 Утверждено научно-методическим советом математического факультета 6 июня 2014 г., протокол № 0500-06 Рецензент доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой функционального анализа и операторных уравнений М. И. Каменский Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета. <...> Рекомендуется для бакалавров 4-го курса и магистров 1-го курса очной формы обучения математического факультета. <...> ОРТОНОМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ H. <...> ШКАЛА ПРОСТРАНСТВ Приведем шкалу, с помощью которой сможем перейти к гильбертовым пространствам, наследующим свойства метрических и линейных нормированных пространств (рис. <...> ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПР-ВА БАНАХОВЫ ПР-ВА ГИЛЬБЕРТОВЫ ПР-ВА Рис. <...> МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Анализ понятия предела последовательности действительных чисел, предела функции в точке, непрерывности и т.д. показывает, что все эти понятия опираются на использование расстояния между точками прямой. <...> На множестве X определена структура метрического пространства, если задана функция пары аргументов :, XX R  обладающая свойствами: 4  1) ника). <...> Метрическое пространство М называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность есть последовательность сходящаяся. <...> Пространства, в которых имеются счетные всюду плотные множества, называются сепарабельными. <...> Так, в nR счетным всюду плотным множеством является множество точек, у которых координаты – рациональные числа. <...> Множество A называется <...>
Гильбертовы_пространства.pdf
Стр.1
Стр.3
Стр.6
Стр.7
Стр.8
Гильбертовы_пространства.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА Учебно-методическое пособие для вузов Составитель Ж. И. Бахтина Воронеж Издательский дом ВГУ 2014
Стр.1
Содержание 1. ШКАЛА ПРОСТРАНСТВ................................................................................4 2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА...............................................................4 3. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА...............................8 4. БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА.................................12 5. ОРТОНОМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ H...........................................................17 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ...........................................................................21 ЛИТЕРАТУРА.....................................................................................................29 3
Стр.3
3) 2 (, ) i 1 xyx y   n ii ; 4) 3(, ) xy x y    0,     ; 1, x y, 5) 4(, )xy   (, ), (, ) 1, xy  1, ( , ) 1. xy xy 3. Пространство 2   n= 1 xn 2 l(X,  сходится; для ,:x yl (x,y)= (x - y ) n= 1  2  nn a( ), где X – пространство функций, не X, прерывных на отрезке [a,b] , а x,y := () max  задается следующим образом: ,( ), x(t)  . - y(t) x t y t X ( ) at b Свойства 1) – 3) метрики () легко проверить. x,y Всюду плотные и совершенные множества Определение. Пусть A и B – два множества в метрическом пространстве X. Множество A называется плотным в B, если B A (здесь A – замыкание множества A). Множество A называется всюду плотным в X, если A X . Свойство «всюду плотности» обладает «транзитивностью»: если множество А всюду плотно в пространстве М, а М в свою очередь всюду плотно в более широком пространстве Р, то А, рассматриваемое как подмножество Р, всюду плотно в Р. Определение. Пространства, в которых имеются счетные всюду плотные множества, называются сепарабельными. Рассмотренные выше метрические пространства являются сепарабельными. Так, в nR счетным всюду плотным множеством является множество точек, у которых координаты – рациональные числа. В пространстве С[a,b] таким множеством является множество многочленов с рациональными коэффициентами, а в пространстве 2l – множества последовательностей рациональных чисел, в которых отлично от нуля лишь конечное, свое для каждой последовательности, число членов. 6  ) , где Х= x ,x ,..,x ,… n 1: x() }R – { 12 n  2 .  n пространство бесконечных числовых последовательностей, для которых ряд Проверку условий 1) - 3) можно выполнить в качестве упражнения. 4. Пространство []С ,b            
Стр.6
Определение. Множество A называется нигде не плотным в метрическом пространстве X, если любое открытое множество этого пространства содержит другое открытое множество, целиком свободное от точек множества A. yx nx () Например, в пространстве C0 ,1 множество A функций вида 2  (n – целые числа) нигде не плотно. Другой пример – «канторово совершенное множество». Напомним следующее определение. Определение. Множество A, расположенное в метрическом пространстве, называется совершенным, если оно замкнуто и если каждая точка множества A является его предельной точкой. Упражнения для самостоятельного решения 1. Доказать, что () x  2. Доказать, что каждая из функций x,y =min 1 y – метрика на R.  ; d( )= x - y d(x,y)  i= 1 1 x,y  ,max x - yi 1 n i n ii 2 i в пространстве nR является метрикой. 3. Доказать, что для любых элементов x, y, u и v из метрического пространства выполняется неравенство четырехугольника  x,u - y,v () ( ) ( ) (  x,  .yatrc gy x,y +u,v). 4. Ввести на числовой прямой метрику по формуле () arctgx Проверить выполнение всех аксиом метрического пространства. Будет ли это пространство полным? 5. Рассмотреть три пространства функций на прямой: а) всех ограниченных непрерывных функций; б) всех непрерывных функций, у которых lim ( ) 0 x  которого интервала. В этих пространствах вводится метрика по формуле (f, ) .ggx sup ( ) ( ) x f x Будут ли указанные пространства полными? 6. Выписать определения метрик (см., например, [7]): 1) метрика Хаусдорфа; 2) метрика Фреше-Никодима; 3) чебышевская метрика. 7 fx  ; в) всех непрерывных функций, каждая из которых равна нулю вне не     
Стр.7
3. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Важным классом линейных метрических пространств является класс линейных нормированных пространств. Понятие нормированного пространства – одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С. Банахом в 20-х годах 20 века. Сначала напомним определение линейного пространства. Определение. Линейным пространством называется совокупность x y , для которых установлены операции сложения и умноL элементов ,,... жения на число (вещественное или комплексное) так, что выполняются следующие аксиомы: 1. x+y= y+ x (коммутативность), 2.   x+ y+z = x+ y +z (ассоциативность),  3. в L существует такой элемент 0, что x+0= x для всех x L , 4. для каждого x L существует такой элемент -x , что x+(-x)=0 . Легко проверить, что элементы 0 и –x определяются единственным образом. Следующая группа аксиом связывает операции сложения и умножеи любого элемента x L определен эления на число: для любого числа мент x L , причем 5. (x)=( )x ,  6. 1x= x , 7. (+ )x= x+ x, 8. (x+ y)= x+ y. Определение. Совокупность L элементов линейного пространства Е называется подпространством в Е, если операции сложения элементов L и умножения их на числа приводят всегда к элементам из L. Наименьшее подпространство состоит из одного элемента 0, наибольшее совпадает со всем Е. Определение. Векторы 12 ... x , ,..., nxx L называются линейно независимыми, если справедливо утверждение: 11 2 2 xx x nn      0 1 2 ... n  0. Бесконечная система векторов линейно независима, если каждая конечная подсистема линейно независима. Определение. Максимальная линейно независимая система – базис (Гамеля) линейного пространства. 8               
Стр.8