МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель
Ж. И. Бахтина
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2014
Стр.1
Содержание
1. ШКАЛА ПРОСТРАНСТВ................................................................................4
2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА...............................................................4
3. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА...............................8
4. БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА.................................12
5. ОРТОНОМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ
ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ H...........................................................17
6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ...........................................................................21
ЛИТЕРАТУРА.....................................................................................................29
3
Стр.3
3) 2 (, )
i 1
xyx y
n
ii ;
4) 3(, )
xy
x y
0,
;
1, x y,
5) 4(, )xy (, ), (, ) 1,
xy
1, ( , ) 1.
xy xy
3. Пространство 2
n= 1
xn
2
l(X,
сходится; для ,:x yl (x,y)= (x - y )
n= 1
2
nn
a( ), где X – пространство функций, не
X,
прерывных на отрезке [a,b] , а
x,y :=
() max
задается следующим образом:
,( ),
x(t) .
- y(t) x t y t X
( )
at b
Свойства 1) – 3) метрики () легко проверить.
x,y
Всюду плотные и совершенные множества
Определение. Пусть A и B – два множества в метрическом пространстве
X. Множество A называется плотным в B, если B A (здесь A – замыкание
множества A). Множество A называется всюду плотным в X, если
A X .
Свойство «всюду плотности» обладает «транзитивностью»: если
множество А всюду плотно в пространстве М, а М в свою очередь всюду
плотно в более широком пространстве Р, то А, рассматриваемое как подмножество
Р, всюду плотно в Р.
Определение. Пространства, в которых имеются счетные всюду
плотные множества, называются сепарабельными.
Рассмотренные выше метрические пространства являются сепарабельными.
Так, в nR счетным всюду плотным множеством является множество
точек, у которых координаты – рациональные числа. В пространстве
С[a,b] таким множеством является множество многочленов с рациональными
коэффициентами, а в пространстве 2l – множества последовательностей
рациональных чисел, в которых отлично от нуля лишь конечное, свое
для каждой последовательности, число членов.
6
) , где
Х= x ,x ,..,x ,… n 1: x() }R –
{ 12 n
2
.
n
пространство бесконечных числовых последовательностей, для которых
ряд
Проверку условий 1) - 3) можно выполнить в качестве упражнения.
4. Пространство []С ,b
Стр.6
Определение. Множество A называется нигде не плотным в метрическом
пространстве X, если любое открытое множество этого пространства
содержит другое открытое множество, целиком свободное от точек множества
A.
yx nx
()
Например, в пространстве C0 ,1 множество A функций вида
2
(n – целые числа) нигде не плотно. Другой пример – «канторово
совершенное множество». Напомним следующее определение.
Определение. Множество A, расположенное в метрическом пространстве,
называется совершенным, если оно замкнуто и если каждая точка
множества A является его предельной точкой.
Упражнения для самостоятельного решения
1. Доказать, что () x
2. Доказать, что каждая из функций
x,y =min 1 y – метрика на R.
;
d( )= x - y d(x,y)
i= 1
1 x,y
,max x - yi
1 n i
n
ii 2
i
в пространстве nR является метрикой.
3. Доказать, что для любых элементов x, y, u и v из метрического пространства
выполняется неравенство четырехугольника
x,u - y,v
() (
) ( ) (
x, .yatrc gy
x,y +u,v).
4. Ввести на числовой прямой метрику по формуле
() arctgx
Проверить выполнение всех аксиом метрического пространства. Будет
ли это пространство полным?
5. Рассмотреть три пространства функций на прямой:
а) всех ограниченных непрерывных функций;
б) всех непрерывных функций, у которых lim ( ) 0
x
которого интервала.
В этих пространствах вводится метрика по формуле
(f, ) .ggx
sup ( ) ( )
x
f x
Будут ли указанные пространства полными?
6. Выписать определения метрик (см., например, [7]):
1) метрика Хаусдорфа;
2) метрика Фреше-Никодима;
3) чебышевская метрика.
7
fx ;
в) всех непрерывных функций, каждая из которых равна нулю вне не
Стр.7
3. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Важным классом линейных метрических пространств является класс
линейных нормированных пространств.
Понятие нормированного пространства – одно из самых основных
понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств
была построена, главным образом, С. Банахом в 20-х годах 20 века.
Сначала напомним определение линейного пространства.
Определение. Линейным пространством называется совокупность
x y , для которых установлены операции сложения и умноL
элементов ,,...
жения на число (вещественное или комплексное) так, что выполняются следующие
аксиомы:
1. x+y= y+ x (коммутативность),
2.
x+ y+z = x+ y +z (ассоциативность),
3. в L существует такой элемент 0, что x+0= x для всех x L ,
4. для каждого x L существует такой элемент -x , что x+(-x)=0 .
Легко проверить, что элементы 0 и –x определяются единственным
образом.
Следующая группа аксиом связывает операции сложения и умножеи
любого элемента x L определен эления
на число: для любого числа
мент x L , причем
5. (x)=( )x ,
6. 1x= x ,
7. (+ )x= x+ x,
8. (x+ y)= x+ y.
Определение. Совокупность L элементов линейного пространства Е
называется подпространством в Е, если операции сложения элементов L и
умножения их на числа приводят всегда к элементам из L.
Наименьшее подпространство состоит из одного элемента 0, наибольшее
совпадает со всем Е.
Определение. Векторы 12
...
x , ,..., nxx L называются линейно независимыми,
если справедливо утверждение:
11 2 2
xx x
nn
0
1
2 ...
n 0.
Бесконечная система векторов линейно независима, если каждая конечная
подсистема линейно независима.
Определение. Максимальная линейно независимая система – базис
(Гамеля) линейного пространства.
8
Стр.8