Буйначев ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программе специалитета по направлению 151000 «Технологические машины и оборудование» и бакалавриата по направлению 151000.62 «Технологические машины и оборудование» Екатеринбург Издательство Уральского университета 2014 УДК 519.6(035+06) ББК 22.19я7 Б90 Рецензенты: доц., канд. техн. наук В. П. Подогов (Российский государственный профессионально-педагогический университет); доц., канд. техн. наук Е. Е. Баженов (Уральский государственный экономический университет) Научный редактор доц., канд. техн. наук Ю. В. Песин Буйначев, С. <...> Б90 Применение численных методов в математическом моделировании : учебное пособие / С. К. Буйначев. <...> Обычно для получения результата требуется небольшое количество вычислений и можно обойтись без компьютера. <...> Собственно говоря, ЭВМ появились в результате потребностей вычислительной математики в большом количестве вычислений для получения численного решения. <...> Достоинством численных методов является то, что метод решения не зависит от вида уравнений для того класса уравнений, для которого данный метод может быть применен. <...> Погрешность вычислений Точность результатов является основным критерием качества вычислений. <...> Погрешность вычислений в компьютере зависит от представления чисел. <...> Устойчивость Поскольку погрешности исходных данных – это неустранимые погрешности, то они тоже влияют на точность конечных результатов. <...> Малые погрешности в исходной величине приводят к малым погрешностям в результатах расчетов. <...> Иногда для устойчивой по исходным данным задачи может оказаться неустойчивым метод ее решения. <...> Неустойчивый метод решения рассмотрен выше при определении погрешности вычисления суммы ряда S = Σ1 1 000 000 (1/n2). <...> Применять для некорректно поставленных задач обычные численные методы нецелесообразно, т. к. на результат <...>
Применение_численных_методов_в_математическом_моделировании.pdf
УДК 519.6(035+06)
ББК 22.19я7
Б90
Рецензенты: доц., канд. техн. наук В. П. Подогов (Российский
государственный профессионально-педагогический университет);
доц., канд. техн. наук Е. Е. Баженов (Уральский государственный
экономический университет)
Научный редактор доц., канд. техн. наук Ю. В. Песин
Буйначев, С. К.
Б90 Применение численных методов в математическом моделировании
: учебное пособие / С. К. Буйначев. – Екатеринбург:
Издательство Уральского университета, 2014. – 70, [2] c.
ISBN 978-5-7996-1197-2
Учебное пособие содержит сведения о численных методах. Наибольшее
внимание уделяется последовательности вычислений и их программированию
на языке программирования Python.
Пособие может быть рекомендовано студентам различных специальностей
технических вузов, занимающихся математическим моделированием
и изучающим численные методы, служить справочным материалом при выполнении
курсовых и дипломных работ, связанных с расчетами на компьютере.
Также может быть использовано преподавателями, аспирантами и научными
сотрудниками.
Библиогр.: 7 назв. Рис. 11.
УДК 519.6(035+06)
ББК 22.19я7
ISBN 978-5-7996-1197-2
© Уральский федеральный
университет, 2014
Стр.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .......................................................................................................... 3
1. Общие сведения ......................................................................................... 6
1.1. Погрешность вычислений .................................................................... 6
1.2. Устойчивость ......................................................................................... 8
1.3. Корректность ......................................................................................... 9
1.4. Сходимость ............................................................................................ 9
2. Решение уравнений ................................................................................ 10
2.1. Алгоритм отделения корней .............................................................. 12
2.2. Метод дихотомии (деление отрезка на две части) .......................... 13
2.3. Метод простых итераций ................................................................... 14
2.4. Метод касательных (метод Ньютона) ............................................... 15
2.5. Метод хорд ........................................................................................... 17
3. Сравнение методов решения уравнений ........................................... 18
4. Аппроксимация ....................................................................................... 19
4.1. Интерполяция ...................................................................................... 23
4.2. Метод наименьших квадратов ........................................................... 26
5. Численное дифференцирование........................................................... 29
5.1. Аппроксимация производных по формуле Лагранжа ..................... 34
5.2. Улучшение аппроксимации ............................................................... 35
6. Численное интегрирование .................................................................. 35
6.1. Метод прямоугольников..................................................................... 36
6.2. Метод трапеций ................................................................................... 37
6.3. Метод парабол (метод Симпсона) ..................................................... 39
6.4. Метод Эйткена ..................................................................................... 41
6.5. Метод сплайнов ................................................................................... 41
7. Интегрирование дифференциального уравнения ........................... 42
7.1. Задача Коши ......................................................................................... 45
7.2. Метод Эйлера ...................................................................................... 45
7.3. Повышение точности. Метод Рунге—Кутты ................................... 49
7.4. Многошаговые методы ....................................................................... 51
8. Задачи выбора ......................................................................................... 52
9. Программирование на графах ............................................................. 55
Библиографический список ...................................................................... 67
68
Стр.69