Лошкарев, Т.В. Облакова ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Методические указания к выполнению домашнего задания Москва Издательство МГТУ им. <...> Интегральные преобразования и операционное исчисление: Метод. указания к выполнению домашнего задания. <...> Представлен справочный теоретический материал, решенные задачи и примеры, условия вариантов типового расчета по интегральным преобразованиям и операционному исчислению. <...> Типовой расчет содержит задачи по темам: нахождение изображений и оригиналов, задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами, задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. <...> УДК 517.3 ББК 22.161 Методическое издание Анатолий Иванович Лошкарев Татьяна Васильевна Облакова ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Редактор С.А. <...> Н.Э. Баумана, 2007 c ВВЕДЕНИЕ В различных приложениях большое значение имеют интегральные преобразования, т. е. функциональные преобразования вида F(p) = C K(p, t)f(t)dt, (B. <...> 1) где C —некоторый заданный контур (конечный или бесконечный) в комплексной плоскости; K(p, t) — заданная функция двух комплексных переменных (ядро интегрального преобразования). <...> 1) можно рассматривать, например, ряд Фурье по заданной системе функций {ϕ(x, k)} k=∞ k=−∞: Φ(x) = k=∞ k=−∞ При этом последовательность (функция целого аргумента) fk = = f(k) переводится в функцию Φ(x). <...> Прикладное значение интегральных преобразований, при которых изучаемые функции (оригиналы) заменяются другими функциями (изображениями), можно сравнить с логарифмированием в вычислительной практике. <...> 1) — преобразование Фурье и (одностороннее) преобразование Лапласа, на основе которых строится операционное исчисление. <...> Причем если во всех точках некоторого интервала f(t) непрерывна, то ее ряд сходится к ней самой (равноT 2 f(τ)e−ikω0 τdτ (1.3) делу при T → ∞, то сумма превратится в интеграл, и мы получим интегральную формулу <...>
Интегральные_преобразования_и_операционное_исчисление.pdf
УДК 517.3
ББК 22.161
Л81
Рецензент Л.Д. Покровский
Л81
Лошкарев А.И., Облакова Т.В.
Интегральные преобразования и операционное исчисление:
Метод. указания к выполнению домашнего задания. –М.: Издво
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 74 с.: ил.
Представлен справочный теоретический материал, решенные
задачи и примеры, условия вариантов типового расчета
по интегральным преобразованиям и операционному исчислению.
Типовой расчет содержит задачи по темам: нахождение
изображений и оригиналов, задачи Коши для линейного дифференциального
уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами,
задачи Коши для системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.
Для студентов 2–4-го курса машиностроительных специальностей.
Ил.
18. Библиогр. 9 наим.
УДК 517.3
ББК 22.161
Методическое издание
Анатолий Иванович Лошкарев
Татьяна Васильевна Облакова
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Редактор С.А. Серебрякова
Корректор Л.И. Малютина
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Печ. л. 4,5. Усл. печ. л. 4,19. Уч.-изд. л. 3,85. Тираж 1000 экз. Изд.№134.
Заказ
Подписано в печать 15.01.2006. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005,Москва, 2-я Бауманская, 5.
-МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007
c
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
5
1.1. Ряд Фурье и интегральная формула Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Некоторые свойства преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Примеры вычисления преобразования Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Бесконечно короткий импульс с единичной площадью.
δ-функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Первообразная от δ-функции. Функция единичного скачка. . . . . 20
1.6. Спектры периодических сигналов и θ-функции . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7. Некоторые приложения преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2. Преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.1. Переход от преобразования Фурье к преобразованию Лапласа . 29
2.2. Одностороннее преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Основные свойства преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Теоремы разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3. Некоторые приложения операционного исчисления . . . . . . . . . . 49
3.1. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3. Решение задач математической физики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4. Решение интегральных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Приложение. Варианты типового расчета. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Стр.74