Актуальные проблемы современной науки, № 5, 2010 ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ Физико-математические науки Математика Математический анализ Шелаев А.Н., математических наук, профессор, НИИ ядерной им. <...> М.В. Ломоносова доктор физикофизики Московского университета ИНВАРИАНТЫ, ЭКСТРЕМУМЫ И СООТНОШЕНИЯ ГАРМОНИИ В КРУГОВЫХ БИЛЛИАРДАХ И ОПТИЧЕСКИХ РЕЗОНАТОРАХ Поиск инвариантов, экстремумов, соотношений гармонии (СГ) и установление связи между ними является важной задачей, поскольку позволяет найти условия оптимизации различных систем. <...> В общем случае гармонию можно определить как согласованность, гармоничность частей (элементов) и системы в целом. <...> СГ определяют конкретный вид этой гармоничности, напр., через соотношения, выражающиеся через константы золотой пропорции φ ( 1 5) / 2 0,618 и ϕ=φ 1+ = (1 5) / 2 . <...> =−+ + В качестве примера нахождения СГ в геометрических объектах рассмотрим следующую модельную задачу для кругового биллиарда или оптического резонатора, обладающих общим свойством: угол падения шарика (светового луча) α на отражающую поверхность равен их углу отражения (см. рис. <...> 62 Актуальные проблемы современной науки, № 5, 2010 Расчёты показали, что одной из таких траекторий является правильная 8-ми угольная звезда, показанная на рис. <...> Для физических объектов (гравитационных полей планет) точная связь СГ с минимумов функций (потенциалов) впервые установлена автором статьи в [1]. <...> Бистабильность масштабов математического маятника и золотые сечения (коды да Винчи) для гравитационных полей. <...>