Распределения случайных величин 45 8.1 Случайная величина и функция распределения . <...> Это множество называют пространством элементарных исходов, а его элементы элементарными исходами. <...> Событиями называют подмножества пространства элементарных исходов Ω. <...> Выражение ¾произошло событие A¿ означает ω ∈ A, где ω элементарный исход, явившийся результатом эксперимента. <...> Случайный эксперимент состоит в однократном подбрасывании игральной кости правильного кубика с нанесенными на гранях числами от 1 до 6. <...> Построить подходящее пространство элементарных исходов Ω для описания следующих событий: A = {оба раза выпало число очков, кратное трем}, B = {сумма выпавших чисел не больше 12}, C = {выпали одинаковые числа}, D = {произведение выпавших чисел делится на 14}. <...> 1.4 Среди студентов, собравшихся на лекцию по теории вероятностей, наудачу выбирают одного. <...> Вероятностное пространство, классическое определение вероятности Пусть пространство элементарных исходов конечно, то есть Ω = {ω1,ω2, .,ωN}. <...> Выборка называется выборкой с Например, семизначный номер телефона представляет выборку объема 7 из генеральной совокупности объема 10 (количество цифр от 0 до 9). <...> Названия трех карт, извлеченных по порядку из колоды, образуют выборку без возвращения объема 3 из генеральной совокупности всех карт колоды, например: (туз треф, туз бубей, дама пик). <...> Случайный эксперимент по размещению k шаров (будем считать, что они тоже занумерованы) можно представить как извлечение выборки объема k из генеральной совокупности объема n: эта выборка состоит из номеров ящиков, предназначенных для каждого из k шаров. <...> Поскольку каждый шар может изначально оказаться в любом ящике, то номера ящиков для разных шаров могут повторяться, следовательно, выборка, представляющая каждый элементарный исход описываемого эксперимента, есть выборка с возвращением объема k из генеральной совокупности объема n. <...> Термин ¾перестановка¿ отражает тот факт, что извлечение любой <...>
Теория_вероятностей_и_случайные_процессы.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Н.С. АРКАШОВ, А.П. КОВАЛЕВСКИЙ
Теория вероятностей
и случайные процессы
Утверждено Редакционно-издательским
советом университета в качестве
учебного пособия для студентов
нематематических специальностей
высших учебных заведений
Новосибирск
2014
Стр.1
УДК 519.21 (075.8)
А 822
Рецензенты: Â. È. Ëîòîâ, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê,
проф. НГУ,
À. Ã. Ïèíóñ, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô.,
Ê. À. Äæàôàðîâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, доцент
Работа подготовлена на кафедре высшей математики
для студентов II курса
Аркашов Í. Ñ.
А822 Теория вероятностей и случайные процессы: Учеб. пособие /
Н. С. Аркашов, А. П. Ковалевский. Новосибирск: Изд-во НГТУ,
2014. 238 ñ.
ISBN 978-5-7782-2382-0
Настоящее учебное пособие подготовлено для студентов II курса очного
и заочного отделений всех направлений и специальностей, изучающих
такие разделы высшей математики, как теория вероятностей и математическая
статистика, в объеме семестрового курса.
Пособие содержит типовой расчет. В приложениях даны таблицы вероятностных
распределений.
Все замечания по содержанию пособия просим передавать на кафедру
высшей математики. Они будут с благодарностью приняты и учтены в
следующих изданиях.
УДК 519.21 (075.8)
ISBN 978-5-7782-2382-0
⃝ Новосибирский государственный
технический университет, 2014
⃝ Аркашов Í. Ñ., Ковалевский À. Ï., 2014
c
c
Стр.2
Оглавление
Глава 1. Случайный эксперимент, события
Глава 2. Классическая вероятность
7
1.1 Ñîáûòèÿ, операции над событиями . . . . . . . . . . . 7
1.2 Решение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 10
12
2.1 Классическое определение вероятности . . . . . . . . 12
2.2 Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Решение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 20
Глава 3. Геометрическая вероятность
Глава 4. Условные вероятности
24
3.1 Решение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 26
28
4.1 Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Решение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 29
Глава 5. Независимые события
Глава 6. Независимые испытания
31
5.1 Решение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 32
35
6.1 Формулы Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2 Решение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 37
3
Стр.3
Глава 7. Формула полной вероятности
39
7.1 Полная группа событий . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.2 Решение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.3 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 42
Глава 8. Распределения случайных величин
45
8.1 Случайная величина и функция распределения . . . 45
8.2 Дискретное и абсолютно непрерывное распределения 46
8.3 Примеры распределений случайных величин . . . . . 49
8.4 Генерирование случайных чисел . . . . . . . . . . . . 55
8.5 Решение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.6 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 61
Глава 9. Математическое ожидание
64
9.1 Определение и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.2 Моменты и дисперсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.3 Числовые характеристики случайных векторов . . . . 72
9.4 Решение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.5 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 77
Глава 10. Предельные теоремы
80
10.1 Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10.2 Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . 82
10.3 Теорема Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.4 Решение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.5 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 93
Глава 11. Выборка. Оценивание параметров
95
11.1 Выборка и вариационный ряд . . . . . . . . . . . . . . 95
11.2 Эмпирическая функция
распределения, гистограмма . . . . . . . . . . . . . . . 96
11.3 Выборочные моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.4 Статистики и оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.5 Оценки методом моментов . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.6 Решение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.7 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 108
Глава 12. Оценки максимального правдоподобия.
Сравнение оценок
111
12.1 Метод максимального правдоподобия . . . . . . . . . 111
4
Стр.4
12.2 Сравнение îöåíîê:
среднеквадратический подход . . . . . . . . . . . . . . 112
12.3 Решение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.4 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 119
Глава 13. Статистическая обработка в пакете Excel
Глава 14. Интервальное оценивание
122
13.1 Пример статистической обработки . . . . . . . . . . . 122
13.2 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 136
137
14.1 Определение доверительного
интервала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
14.2 Распределения, связанные
с нормальным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
14.3 Точные доверительные интервалы . . . . . . . . . . . 139
14.4 Асимптотические доверительные интервалы . . . . . 141
14.5 Решение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 142
14.6 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 146
Глава 15. Проверка статистических гипотез
147
15.1 Статистические гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . 147
15.2 Статистические критерии . . . . . . . . . . . . . . . . 148
15.3 Критерии согласия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
15.4 Достигаемый уровень значимости . . . . . . . . . . . 151
15.5 Критерии согласия Колмогорова и χ2 Пирсона . . . . 152
15.6 Решение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 155
15.7 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 159
Глава 16. Регрессионный анализ
161
16.1 Линейная регрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
16.2 Критерий Дарбина-Ватсона . . . . . . . . . . . . . . . 163
16.3 Обобщенный МНК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
16.4 Модель авторегрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
16.5 Модель скользящего среднего . . . . . . . . . . . . . 164
16.6 Оценивание моделей с зависимыми остатками . . . . 165
16.7 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 166
Глава 17. Марковские цепи и процессы
168
17.1 Цепи Ìàðêîâà. Эргодическая теорема . . . . . . . . . 168
17.2 Марковские процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
17.3 Процессы размножения и гибели . . . . . . . . . . . . 171
5
Стр.5
Глава 18. Типовой расчет
Приложение. Таблицы
17.4 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . 171
173
233
6
Стр.6