Силовские подгруппы 5 Разрешимые и нильпотентные группы 6 Эндоморфизмы и автоморфизмы 7 Упорядоченные группы 8 Действия групп на множествах Глава II. <...> Кольца и модули 9 Основные понятия теории колец 10 Кольцевые гомоморфизмы 11 Специальные идеалы 12 Основные понятия теории модулей 13 Локальные, нетеровы и артиновы модули 14 Проективные и инъективные модули 15 Плоские и регулярные модули Глава III. <...> Мы уже писали, что конечные коммутативные группы впервые фактически рассматривал Гаусс. <...> Ненулевой (соответственно, собственный) подмодуль модуля M называется минимальным (соответственно, максимальным), если он является минимальным (соответственно, максимальным) элементом в решетке всех подмодулей модуля M. <...> В литературе (в отличие от вышеприведенного соглашения) часто под <собственной> подгруппой группы G понимается <нетривиальная> (= e,G) подгруппа. <...> Zn — группа или кольцо вычетов по модулю n, так же обозначается любая циклическая группа порядка n; Zp (или Fp) — поле из p — квазициклическая p-группа; Z[i] = {m + ni |m,n ∈ Z} — кольцо целых гауссовых чисел; P(M) или 2M — множество всех подмножеств множества M. <...> Если порядки элементов группы G ограничены в совокупности, то exp(G) — наименьшее общее кратное порядков ее элементов. AЧB — прямое произведение групп A и B. <...> Rm — прямое произведение m изоморфных копий кольца R, где m — некоторое кардинальное число. <...> Если A — абелева группа и a ∈ A, то: r(A), r0(A) — ее ранг, соответственно, ранг без кручения; hA h∗ p (a) или hp(a) — p-высота элемента a; p(a) — обобщенная p-высота элемента a; если не оговорено, то Ap — p-компонента; nA (соответственно, A[n]) — подгруппа {na | a ∈ A} (соответственно, {a ∈ A| na = 0}); A1 = ∞ n=1 nA — первая ульмовская подгруппа группы A; A• — ее копериодическая оболочка. <...> A или Am) — прямая сумма (прямое произведение) m изоморфных копий абелевой группы QEnd A — кольцо (или алгебра) квазиэндоморфизмов группы без кручения A. <...> Ext (C,A), Pext <...>
Упражнения_по_группам,_кольцам_и_полям.pdf
П.А. Крылов
А.А. Туганбаев
А.Р. Чехлов
УПРАЖНЕНИЯ
ПО ГРУППАМ,
КОЛЬЦАМ И ПОЛЯМ
Учебное пособие
2-е издание, стереотипное
Рекомендовано НМС по математике и механике УМО
по классическому университетскому образованию РФ
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся
по группе математических и механических специальностей
Москва
Издательство “ФЛИНТА”
2017
Стр.1
УДК 512.5
ББК 22.144
К85
К85
Крылов П.А.
Упражнения по группам, кольцам и полям [Электронный ресурс] : учеб. по
собие / П.А. Крылов, А.А. Туганбаев, А.Р. Чехлов — 2-е изд., стер. — М. :
Флинта, 2017. — 212 с.
ISBN 978-5-9765-1506-2
Книга содержит основы таких важнейших разделов современной алгебры
как группы, кольца, модули и поля в форме задач. Книга будет полезна на
занятиях со студентами физико-математических факультетов университетов,
в том числе при чтении спецкурсов, и в процессе руководства аспирантами. Ее
можно также использовать в качестве справочника.
Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных сотрудников, интересующихся
алгеброй.
УДК 512.5
ББК 22.144
Крылов Петр Андреевич,
Туганбаев Аскар Аканович,
Чехлов Андрей Ростиславович
УПРАЖНЕНИЯ ПО ГРУППАМ,
КОЛЬЦАМ И ПОЛЯМ
Учебное пособие
Подписано в печать 28.02.2017.
Электронное издание для распространения через Интернет
ООО «ФЛИНТА», 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, комн. 324.
Тел. (495) 336-03-11; тел./факс: (495) 334-82-65. E-mail:
flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru
ISBN 978-5-9765-1506-2
© Крылов П.А., Туганбаев А.А., Чехлов А.Р., 2017
© Издательство «ФЛИНТА», 2017
Стр.2
Оглавление
Предисловие
Введение
Предварительные сведения
Список обозначений и терминов
Глава I. Группы
1 Системы образующих
2 Изоморфизмы
3 Гомоморфизмы
4 Центр и коммутант. Силовские подгруппы
5 Разрешимые и нильпотентные группы
6 Эндоморфизмы и автоморфизмы
7 Упорядоченные группы
8 Действия групп на множествах
Глава II. Кольца и модули
9 Основные понятия теории колец
10 Кольцевые гомоморфизмы
11 Специальные идеалы
12 Основные понятия теории модулей
13 Локальные, нетеровы и артиновы модули
14 Проективные и инъективные модули
15 Плоские и регулярные модули
Глава III. Абелевы группы
16 Основные понятия теории абелевых групп
3
4
4
7
9
12
12
17
21
25
32
37
41
45
53
53
61
70
76
88
92
99
106
106
Стр.3
17 Чистота
18 Группы гомоморфизмов
19 Группы расширений
20 Примарные группы
21 Группы без кручения
22 Смешанные группы
Глава IV. Поля
23 Основные свойства полей
24 Поля разложения
25 Конечные поля
26 Элементы теории Галуа
Глава V. Ответы и указания
1. Системы порождающих
2. Изоморфизмы
3. Гомоморфизмы
4. Центр и коммутант. Силовские подгруппы
5. Разрешимые и нильпотентные группы
6. Эндоморфизмы и автоморфизмы
7. Упорядоченные группы
8. Действия групп на множествах
9. Основные понятия теории колец
10. Кольцевые гомоморфизмы
11. Специальные идеалы
12. Основные понятия теории модулей
13. Локальные, нетеровы и артиновы модули
14. Проективные и инъективные модули
4
114
120
123
132
135
140
144
144
149
153
157
162
162
162
163
163
165
166
167
169
172
173
174
176
181
183
Стр.4
15. Плоские и регулярные модули
16. Основные понятия теории абелевых групп
17. Чистота
18. Группы гомоморфизмов
19. Группы расширений
20. Примарные группы
21. Группы без кручения
22. Смешанные группы
23. Основные свойства полей
24. Поля разложения
25. Конечные поля
26. Элементы теории Галуа
Литература
Предметный указатель
187
189
192
193
194
197
197
198
199
201
202
204
206
208
5
Стр.5