Фундаментальная и компьютерная алгебра. Часть I. Структуры алгебры (220,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" С.В. Борзунов, Р.Х. Вахитов, Е.В. Вахитова ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА Часть I Структуры алгебры Учебно-методическое пособие для вузов Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2012

Стр.1

Введение Содержание данного учебно-методического пособия "Фундаментальная и компьютерная алгебра. Часть 1. Структуры алгебры" составляет материал нескольких тем базовой учебной дисциплины профессионального цикла "Фундаментальная и компьютерная алгебра", изучение которой предусмотрено основной образовательной программой подготовки бакалавра по направлению "Математика и компьютерные науки" для студентов факультета компьютерных наук ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный университет". Целью учебной дисциплины является формирование представлений о фундаментальной алгебре: структуры алгебры, линейная алгебра, алгебра многочленов и о компьютерной алгебре. Основными задачами учебной дисциплины являются овладение фундаментальными базовыми знаниями в области фундаментальной и компьютерной алгебры, умением формулировать и доказывать теоремы, самостоятельно решать классические задачи фундаментальной алгебры. Цель учебно-методического пособия состоит в том, чтобы помочь студентам, изучающим учебную дисциплину "Фундаментальная и компьютерная алгебра", формировать представление о структурах алгебры, приобрести навыки и умения практического использования математических методов при решении задач. В результате изучения учебной дисциплины студент должен знать теоретический материал и уметь формулировать результат, строго доказывать утверждение, грамотно пользоваться языком фундаментальной и компьютерной алгебры. Учебно-методическое пособие состоит из пяти глав. В конце каждой главы приведены вопросы для самоконтроля и упражнения для самостоятельной работы. Определения, теоремы и их доказательства иллюстрируются численными примерами, цель которых — пояснить общую теорию. В каждой главе определения, формулы и теоремы имеют независимую нумерацию. 3

Стр.3

Определение 5. Элемент a из непустого множества A с бинарной алгебраической операцией ∗ и нейтральным элементом e называется симметричным элементом для элемента a ∈ A, если a ∗ a = a ∗ a = e. Пример. Z – множество целых чисел, Z = Ø, (+) – бинарная алгебраическая операция на Z, так как  ∀ a, b ∈ Z   ∃ ! c ∈ Z ∀ a ∈ Z     c = a+b Нейтральный элемент e = 0, так как 0 ∈ Z и  a+0 = 0+a = a .  Элемент a = −a является симметричным для элемента a ∈ Z, так как a+(−a) = (−a)+a = 0. Определение 6. Полугруппой называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией ∗, если выполнена аксиома:  ∀ a, b, c ∈ G 1.   бинарная алгебраическая операция ∗ на G ассоциативна, т.е. a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c    . Определение 7. Моноидом называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией ∗, если выполнены следующие две аксиомы: ∀a, b, c ∈ G     a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c ∀a ∈ G   a ∗ e = e ∗ a = a .   . 2. В множестве G имеется нейтральный элемент e относительно операции ∗, т.е. ∃e ∈ G Определение 8. Группой называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией ∗, если выполнены следующие три аксиомы: 6  .

Стр.6

1. 2.   ∀a, b, c ∈ G   ∃e ∈ G ∀a ∈ G   ∀a ∈ G мент a ∈ G, то есть  ∃a ∈ G a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c      . a ∗ e = e ∗ a = a .  3. Для каждого элемента a ∈ G имеется симметричный эле  a ∗ a = a ∗ a = e .  Примеры. 1) N относительно сложения образует полугруппу, которую называют аддитивной полугруппой натуральных чисел; 2) N относительно умножения образует моноид, который называют мультипликативным моноидом натуральных чисел; 3) Z относительно сложения образует группу, которую называют аддитивной группой целых чисел. Определение 9. Группа G называется бесконечной (или имеет бесконечный порядок), если множество G бесконечно. Группа G имеет порядок n, n ∈ N, если множество G – конечное множество с числом элементов n. Определение 10. Абелевой группой называется группа G с бинарной алгебраической операцией ∗, если выполнена аксиома: бинарная алгебраическая операция ∗ коммутативна, то есть  ∀a, b ∈ G   a ∗ b = b ∗ a .  вый и правый нейтральные элементы. Пример. Аддитивная группа целых чисел является абелевой Если ∗ не является коммутативной, то следует различать легруппой, так как  ∀a, b ∈ Z   a+b = b+a .  Приведем пример группы, не являющейся абелевой группой. Для этого изучим группу подстановок. Пусть A = {1, 2, ... ,n}, n ∈ N. Определение 11. Подстановкой множества A (первых n натуральных чисел, начиная с 1) называется взаимно-однозначное отображение множества A на себя. 7

Стр.7

Обозначение: ϕ =  1 2 ... n ϕ(1) ϕ(2) ... ϕ(n)  . Порядок чисел в первой строке можно как угодно изменить, но надо всегда следить за тем, чтобы для (∀k ∈ A) число ϕ(k) было записано под k. Заметим, что понятие подстановки можно было бы ввести для произвольного конечного множества натуральных чисел, так как в этом случае можно эти числа занумеровать и работать с их номерами. Множество всех подстановок множества A обозначим через Sn; элементы множества Sn будем называть еще подстановками степени n. Так как A – конечно, то из условия 1) следует 2) и обратно: из условия 2) следует 1). Произведение ϕψ двух подстановок ϕ и ψ множества A опреЕсли ϕ ∈ Sn, то 1) ϕ – взаимно-однозначное отображение; 2) ϕ(A) = A, то есть {ϕ(1), ϕ(2), ... ,ϕ(n)} = {1, 2, ...,n}. деляется как композиция отображений ϕ и ψ (ϕψ = ϕ ◦ ψ). Таким образом, по определению, ϕ(ψ(i)) = ϕψ(i) для i = ← − 1, 2, ..., n. Композиция двух взаимно-однозначных отображений множества A на себя есть взаимно-однозначное отображение множества A на себя, следовательно,  ∀ϕ, ψ ∈ Sn   ϕψ ∈ Sn  . Обозначим через e тождественное отображение множества A на себя: e(k) = k, то есть e =  1 2 ... n 1 2 ... n 8  .

Стр.8