МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ТЕМЕ «ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ» Учебно-методическое пособие Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2012 Утверждено научно-методическим советом математического факультета 25 октября 2012 г., протокол № 0500-07 Составители: А.Д. Баев, М.Ш. Бурлуцкая, М.Б. Давыдова, И.В. Колесникова Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. <...> В.А. Костин Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета. <...> Рекомендуется для студентов 2 курса дневного отделения математического факультета по курсу «Математический анализ». <...> Для направлений: 010100 – Математика, 010200 – Математика и компьютерные науки, 00701 – Фундаментальная математика и механика Содержание Лабораторные работы 4 Лабораторная работа № 1 Предел и непрерывность функции многих переменных . <...> . . 4 Лабораторная работа № 2 Дифференцирование функции многих переменных . <...> . . . . . 8 Лабораторная работа № 3 Неявные функции и их приложения . <...> Для заданной функции u = u(x, y) : а) Вычислить повторные пределы limx→+∞ylim u(x, y), limy→+∞ →+∞ б) Вычислить двойной предел limx→+∞y→+∞ →+∞ существует. <...> Найти частные производные первого и второго порядков функции z = z(x, y), заданной неявно следующим уравнением: 1. z =x2 −y2 tg z x2 −y2 3. x+y +z = e−x−y−z 5. <...> Приняв u и v за новые независимые переменные, преобразовать следующие уравнения: 1. <...> Перейдя от функции z(x, y) к функции w(u, v), преобразовать к новым переменным следующие уравнения: 1. <...> Поэтому область определения будет иметь вид, изображенный на рисунке: 2 -2 y2=-2x -2 0 2 x2+y2=4 18 Замечание. <...> Лабораторная работа № 2 Дифференцирование функции многих переменных Задание 1. <...> Найти частные производные первых двух порядков сложной <...>
Лабораторные_работы_и_методические_указания_по_теме_Функции_многих_переменных_.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ТЕМЕ
«ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
Учебно-методическое пособие
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2012
Стр.1
Содержание
Лабораторные работы
4
Лабораторная работа № 1
Предел и непрерывность функции многих переменных . . . 4
Лабораторная работа № 2
Дифференцирование функции многих переменных . . . . . . 8
Лабораторная работа № 3
Неявные функции и их приложения . . . . . . . . . . . . . 11
Лабораторная работа № 4
Экстремум функции многих переменных . . . . . . . . . . 16
Методические указания
18
Лабораторная работа № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Лабораторная работа № 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Лабораторная работа № 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Лабораторная работа № 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Список литературы
42
3
Стр.3
Задание 4. Исследовать функцию на непрерывность по отдельным
переменным и по совокупности переменных в точках О(0,0) и
А(x0, y0) :
1. u =
2. u =
3. u =
4. u =
5. u =
6. u =
7. u =
8. u =
x4 +y4 , если x4 +y4 = 0
0,
x2y2
A (1, 2)
если x4 +y4 = 0
x4 +y4 , если x4 +y4 = 0
0,
x3y2
A (10−4, 10−5)
если x4 +y4 = 0
x2 +y2
x+y , если x+y = 0
0,
если x+y = 0
x2 −y2
x2 +y2 , если x2 +y2 = 0
1,
если x2 +y2 = 0
sin x+sin y
x+y
1,
0,
y2 −x2 , если x2 −y2 = 0
1,
x2 +y2
A (1, 0)
если x2 −y2 = 0
x3 +y3 , если x+y = 0
1
x+y
3,
если x+y = 0
A (1,−1)
, если x+y = 0
если x+y = 0
cos x−cos y
x−y
, если x−y = 0
если x−y = 0
A π
3,−
A π
4, π
4
π
3
A (1,−1)
A (0, 1)
6
Стр.6
9. u =
10. u =
11. u =
12. u =
13. u =
14. u =
15. u =
16. u =
x3 +y2
x2 +y2 , если x2 +y2 = 0
0,
если x2 +y2 = 0
x3 +y2
x3 +y3 , если x3 +y3 = 0
0,
если x3 +y3 = 0
x3 +y2
x2 +y , если x2 +y = 0
0,
если x2 +y = 0
x2 +y2 , если x2 +y2 = 0
0,
x2 +y
если x2 +y2 = 0
x2 +y2 , если x2 +y2 = 0
0,
xy
если x2 +y2 = 0
1
e−
x2 +y2 , если x2 +y2 = 0
1,
x2 −2y −4, если x2 −2y = 4
2,
x2
A (2, 0)
если x2 −2y = 4
sin
x2 +y2 , если x2 +y2 = 0
0,
xy
A (1, 1)
если x2 +y2 = 0
A (1, 0)
если x2 +y2 = 0
A (1, 0)
A (1,−1)
A (1,−1)
A (1,−1)
A (1, 1)
7
Стр.7
Лабораторная работа № 2
Дифференцирование функции многих переменных
Задание 1. Исследовать, имеет ли функция u=u(x,y) частные
производные в точке O(0,0) и дифференцируема ли она в этой точке:
1. u =x2 +y2
2. u = 3x2y2
7. u =x4 +y4
8. u = 3√xy
3. u = 4x4 +y4
4. u = 3√x sin y
5. u = 3√y tg x
6. u = 2y +xcos 3√xy
13. u =
14. u =
15. u =
16. u =
1
e−
x2 +y2 , если x2 +y2 = 0
0,
x4 +y4
x2 +y2 , если x2 +y2 = 0
0,
x3 +y3
| x | + | y |
0,
xy
| x | + | y |
0,
если x2 +y2 = 0
9. u = 3x4 +y4
10. u = 3x3 +y3
11. u = arcsin (xy + 3x3 +y3)
12. u = y +cos 3x2 +y2
если x2 +y2 = 0
, если | x | + | y |= 0
если | x | + | y |= 0
, если | x | + | y |= 0
если | x | + | y |= 0
8
Стр.8