МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
С.А. Скляднев,
С.В. Писарева
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
(числовые последовательности)
Учебное пособие для вузов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2012
Стр.1
Содержание
Введение ................................................................................................................. 4
1. Определение числовой последовательности .................................................. 4
2. Ограниченные числовые последовательности ............................................... 5
3. Точные грани числовых последовательностей .............................................. 5
4. Монотонные числовые последовательности.................................................. 6
5. Определение предела числовой последовательности ................................. 10
6 . Свойства сходящихся числовых последовательностей ............................. 11
7. Бесконечно малые и бесконечно большие числовые
последовательности ............................................................................................ 11
8. Частичный предел. Теорема Больцано – Вейерштрасса ............................. 12
9. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши .......................... 13
Варианты заданий, предлагавшихся на рубежных аттестациях .................... 19
Избранные задачи ............................................................................................... 23
Литература ........................................................................................................... 26
3
Стр.3
Член 0nx последовательности называют наибольшим членом последовательности
(соответственно наименьшим), если x ≤ xn 0
n
n
x
n 0
ственно min ).
Наибольший (соответственно наименьший) член последовательности
называют также максимальным членом последовательности (соответственно
минимальным).
max (соответственно inf = min ).
Из существования (соответственно inf ) не следует существования
max (соответственно min ).
4. Монотонные числовые последовательности
Последовательность называют возрастающей (неубывающей),
начиная с номера 0n , если для любого n n≥ , Nn∈ , верно неравенство
0
x >+1 ()n
n
x n
n
x n
x ≥+1
n
x
x ≤+1
n
x
.
Последовательность называют убывающей (невозрастающей),
начиная с номера 0n , если для любого n n≥ , Nn∈ , верно неравенство
0
x <+1 ()n
.
Невозрастающую или неубывающую, начиная с номера 0n , последовательность
называют монотонной, начиная с номера 0n (возрастающую
или убывающую – строго монотонной).
Последовательность, возрастающую с номера
n
0 1= , называют возрастающей
(аналогично, убывающей и т. д.) последовательностью.
x = + = ; x = + = ; x = + = ; x = + = ; x = + =
2
1
1 1
1
1
2 1
2
3
2
3
3 1
3
.
6
4
3
4
4 1
4
5
4
5
5 1
5
Примеры с решениями
Пример 1. Дана формула общего члена последовательности :
, n N .∈ Написать пять первых членов этой последовательности.
Решение. Подставляя последовательно значения n = 1, 2, 3, 4, 5 в данную
формулу общего члена последовательности, получаем:
2
6
5
Если существует max (соответственно min ), то =
(соответственно
x ≥ ) для любого n , и обозначают его max (соответ
Стр.6
Пример 2. Доказать, что следующие последовательности ограничены:
1)
⎩
⎨
⎧
()
−1
n +1
−1 n + ≤ −1 n + = +10 и
n
10 ()n
xn =
()n
10
n
−1 n +10
2
что и означает ограниченность последовательности { }n
2) Очевидно, что если a > 0 , то для всех Nn∈ имеем
n +1
x .
n
a
для всех n N∈ выполняется a
n
откуда
a
n
1
≤ −a
1
.
Таким образом, для всех n верны неравенства 0 < ≤ −a
n
n
a
ны:
1) n πcos n
{
}; 2)
k = C
⎩
⎨
⎧
100
2
− n
3
n −10
k
2 2([ ] 1 ))+
⎭
⎬
⎫
.
Решение. 1) Если n 2= , то cos2 =πk
1 и x k2 = . Пусть C –
2 k
произвольное положительное число. Возьмем четное число k2 , большее C
(например,
не ограничена.
2) Из формулы общего члена последовательности имеем:
xn
=
n 100/ n −1
2
3
n 1 10/ n
−
3
2 = n
7
100/ n −1
2
3
1 10/ n
−
.
; тогда x Ck2 > , т. е. данная последовательность
1
1
, т.е. последовательность
ограничена.
Пример 3. Доказать, что следующие последовательности не ограничеn
= + − ≥ +1 ( 1)
1
a
1
n
n > 0 .
Так как a −1 0> , то, применив неравенство Бернулли, получим, что
( )( )1 ,
n a − ≥ n a −
n
nn +10
2
⎭
⎬
⎫
; 2)
⎩
⎨
⎧
n
a
n
⎭
⎬
⎫
, a >1 .
Решение. 1) Поскольку справедливы неравенства
()
то
≤ + = + ≤
n
10 1 10 11,
n
n + >
2 1 ,n
Стр.7
Если n ≥ 6 , то
то
xn = ⋅
n
(1 100)
2
−
−
(1 10)
n
n
пример, n = [2 ] 1+C ); тогда
xn
3
> ⋅
n
1/ 2
1
> >
2
=
n
2 .
Для произвольного положительного числа C возьмем n C2>
n C, и, значит, данная последовательность
не ограничена.
Пример 4. Доказать, что последовательность
xn+1
xn
= +
n
5 1n+
⎩
⎨
⎧
начиная с некоторого номера.
Решение. Рассмотрим отношение ()
что при n ≥ 5 выполняется неравенство
(так как x
с номера n = 5 .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Написать пять первых членов каждой из последовательностей:
1)
⎩
⎨
⎧
2
+1
1
n
1) 1, 2
3
1
⎭
⎬
⎫
,
1
5
; 2)
⎩
⎨
⎧
3) 1, 2 4
1 , 2 9
2 ,
7
1
7
2
n +1
n +1
3
⎭
⎬
⎫
; 3)
⎩
⎨
⎧
,…; 2) 1, 21
1
⋅
, 316
1
5) -1, 1, -1, 1, -1,....
8
, 3 25
6
n
2n+1
⎭
⎬
⎫
; 4)
⎩
⎨
⎧
,
1 2 3
1
⋅ ⋅
( 1)− −n n +1
1
n
2
⎭
⎬
⎫
,
1 2 3 4
1
; 5)
⎩
⎨
⎧
sin(nπ/ 2)
n
⎭
⎬
⎫
Задача 2. Зная несколько первых членов последовательности, написать
формулу общего члена последовательности (выдвинуть какую-либо гипотезу):
⋅
⋅ ⋅ ,…;
,...; 4) 2, 10, 26, 82, 242, 730,...;
xn 1
x
+ ≤ <
n
1 !5
!
n
6 15
5
n
n
!
⎭
⎬
⎫
(на2
100
1
n
3 <
и
2 ;
1 100 1
−
n
3 >
но так как 0 1 10 1 ,
< − <
n
2
, строго убывает,
n = + . Очевидно,
, и, значит, x <+1
5
n
1
n
x n
n > 0). Итак, данная последовательность строго убывает, начиная
Стр.8