МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
С.А. Скляднев, С.В. Писарева
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
(Множества. Метод математической индукции)
Учебное пособие для вузов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2012
Стр.1
Содержание
Введение ............................................................................................................ 4
1. Множества ..................................................................................................... 5
1.1. Способы задания множеств ...................................................................... 5
1.2. Операции над множествами ................................................................. 6
1.3. Эквивалентные множества ................................................................... 7
1.4. Свойства действительных чисел .......................................................... 9
1.5. Числовые промежутки ............................................................................. 10
1.6. Точные грани числовых множеств ........................................................ 11
1.7. Абсолютная величина вещественного числа ........................................ 12
2. Метод математической индукции ................................................................. 15
3. Варианты заданий, предлагавшихся на первой рубежной аттестации
студентам 1 курса ФКН ВГУ в предыдущие годы ...................................... 19
Литература ........................................................................................................... 23
3
Стр.3
1.2. Операции над множествами
Пусть А и В - произвольные множества; их суммой или объединением
называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих
хотя бы одному из множеств А и В (см. рис. 1).
Аналогично определяется объединение любого (конечного или бесконечного)
числа множеств. Пусть
Объединением множеств
- произвольные множества.
из которых принадлежит хотя бы одному из множеств
Очевидно, что для любого А выполняется
Пересечением
называется множество тех элементов, каждый
, или
.
.
множеств А и В называется множество, состоящее
из всех элементов, принадлежащих как А, так и В (см. рис. 2).
A
A
B
B
Рис. 1
Рис. 2
Например, пересечение множества всех четных чисел и множества
всех чисел, делящихся без остатка на три, состоит из всех целых чисел, делящихся
без остатка на шесть.
Если множества С и D не имеют общих элементов, то
этом случае множества С и D называются непересекающимися.
Полезно отметить, что
.
Пересечением любого (конечного или бесконечного) числа множеств
называется множество элементов, принадлежащих каждому из
множеств
, или
.
Разностью множеств А и В (обозначается А\В) называют множество,
состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству
В (см. рис. 3). Ясно, что А\А= .
6
. В
Стр.6
Если В
, то А\В называют дополнением множества В до множества
А (см. рис. 4).
А
В
В
А\В
А\В
Рис. 3
Рис. 4
В случае, когда рассматриваются различные подмножества множества
А (и только они одни), дополнение множества В до множества А называют
просто дополнением.
Очевидно, что для любого множества А выполняется А А. Принято
также считать, по определению, что пустое множество является подмножеством
каждого множества:
множество называются его несобственными подмножествами. Если же
А
,
и существует элемент x
А называется собственным подмножеством множества В.
Пример 1. Даны множества А, В и С. С помощью операций объединения
и пересечения записать множество, состоящее из элементов, принадлежащих:
1)
всем трем множествам; 2) хотя бы одному множеству; 3) по крайней
мере двум этим множествам.
Решение. 1) (А В) С;
2) (А В) С;
3) (А В)
(С В)
(А С).
Пример 2. Найти А В, А В, А\В, В\А, если А={-4, -3, -2, -1, 0, 1},
B={-1, 0, 1, 2, 3}.
Решение. А В={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, А В={-1, 0, 1},
А\В={-4, -3, -2}, В\А={2, 3}.
1.3. Эквивалентные множества
Говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное
соответствие, если каждому элементу множества А сопоставлен
7
такой, что x не принадлежит А, то
А. Для любого множества А само А и пустое
А
Стр.7
один и только один элемент множества В, так что различным элементам
множества А сопоставлены различные элементы множества В и каждый
элемент множества В оказывается сопоставленным некоторому элементу
множества А.
Множества, между которыми можно установить взаимно однозначное
соответствие, называют эквивалентными.
Если множества А и В эквивалентны, то пишут А В.
Если А
,
и В не эквивалентно А, то говорят, что множество
А имеет меньшую мощность, чем множество В.
Множество А называется конечным, если существует такое число n N,
что А {1, 2, 3,…,n}.
В этом случае говорят, что множество А содержит n элементов или что
множество А имеет мощность n.
Мощность пустого множества принимается равной нулю.
Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
Множество А называется счетным, если А N .
Множество называется несчетным, если оно имеет мощность, большую,
чем мощность множества .
Теоремы Кантора.
1. Множество всех рациональных чисел счетно.
2. Множество всех действительных чисел несчетно.
Множество А называется множеством мощности континуума, если А .
Примеры с решениями
Пример 1. Даны множества A, B, C. С помощью операций объединения
и пересечения запишем множества, состоящие из элементов, принадлежащих:
1) всем трем множествам; 2) хотя бы одному множеству; 3) по крайней
мере двум этим множествам.
Решение. 1) (A ∩ B) ∩ C;
2) (A U B) U C;
3) (A ∩ B) U (C ∩ B) U (A ∩ C).
Пример 2. Найти А U В, А \ В, В \ А, А ∩ В, если
А ={-4; -3; -2; -1; 0; 1}, В = {-1; 0; 1; 2; 3}.
Решение. А ∩ В = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}; А ∩ В = {-1; 0; 1};
А \ В = {-4; -3; -2}; В \ А ={ 2; 3}.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Доказать, что включения А ⊂ В и В ⊂ А выполняются одновременно
тогда и только тогда, когда А = В.
Задача 2. Докажите, что равенство А U В = В верно тогда и только
тогда, когда A ⊂ B.
8
Стр.8