ISBN 978-5-8397-0850-1 Материалы, содержащиеся в данном пособии, ознакомят студентов с основными понятиями, идеями и методами теории изображений, будут способствовать развитию у них пространственных представлений на основе геометрических чертежей. <...> Основное внимание уделяется вопросам центрального и параллельного проецирований, полноте и неполноте изображений фигур расширенного евклидова 3-пространства на 2-плоскости, n-пространства на плоскости произвольной размерности, меньшей n. <...> Зачастую используют параллельную проекцию вследствие ее простоты и наглядности. <...> Эти требования обусловлены тем, что объектом решения подобных задач является именно чертеж, а не логические закономерности, связанные со свойствами изображаемой фигуры. <...> Например, пунктиром обозначаются «невидимые» линии, параллелограммом может изображаться плоскость и т. п. <...> Общеприняты следующие требования к геометрическому чертежу: - наглядность изображения, т. е. изображение должно вызывать пространственное представление рассматриваемого объекта; - верность изображения, т. е. при его построении должны учитываться свойства проецирования и форма изображаемой фигуры; 5 M B S - простота изображения, т. е. его построение должно быть свободно от построений, посторонних теме преподавания. <...> Верность изображения является необходимым, но не достаточным условием его наглядности: - верное изображение не обязательно является наглядным, например, изображение правильной пирамиды на рис. <...> 4 – верное, но не наглядное, поскольку высота не параллельна боковому краю листа (этот момент является «узловым» или «опорным» при изображении правильной пирамиды); - неверное изображение не может быть наглядным, так как оно не отражает реальных свойств геометрической фигуры. <...> Центральное проецирование плоскости на плоскость в евклидовом 3-пространстве. <...> Дополнение пространства несобственными элементами кую-либо плоскую фигуру, например ABC Предположим, что требуется <...>
Теория_изображений_учебное_пособие.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Е. В. Никулина
Теория
изображений
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета для студентов,
обучающихся по специальности и направлению Математика
Ярославль 2012
1
Стр.1
УДК 514.18 (075.8)
ББК В 18я73
Н 65
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2011 учебного года
Рецензенты:
Г. Ю. Буракова, кандидат педагогических наук,
доцент кафедры ТМОМ ЯГПУ им. К. Д. Ушинского;
кафедра теории и методики преподавания информатики ЯГПУ
им. К. Д. Ушинского
Никулина, Е. В. Теория изображений: учебное пособие
Н 65
/ Е. В. Никулина; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль :
ЯрГУ, 2012. – 104 с.
ISBN 978-5-8397-0850-1
Материалы, содержащиеся в данном пособии, ознакомят
студентов с основными понятиями, идеями и методами теории
изображений, будут способствовать развитию у них пространственных
представлений на основе геометрических чертежей. Основное
внимание уделяется вопросам центрального и параллельного
проецирований, полноте и неполноте изображений фигур
расширенного евклидова 3-пространства на 2-плоскости, n-пространства
на плоскости произвольной размерности, меньшей n.
Теоретические положения иллюстрированы примерами, приведены
упражнения для самостоятельной работы.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности
010101.65 Математика и магистрантов направления
010100.68 Математика (дисциплина «Теория изображений», блоки
ДС, СД), очной формы обучения.
УДК 514.18 (075.8)
ББК В 18я73
ISBN 978-5-8397-0850-1
Ярославский государственный университет
им. П. Г. Демидова, 2012
2
Стр.2
Оглавление
1. Функции геометрического чертежа. Требования
к геометрическому чертежу .......................................................... 3
2. Центральное проецирование плоскости на плоскость
в евклидовом 3-пространстве. Дополнение пространства
несобственными элементами ........................................................ 6
Основные свойства центрального проецирования плоскости
на плоскость в 3
P . ..................................................................................... 13
3. Теорема Дезарга. Гомология ....................................................... 13
Виды гомологии на расширенной плоскости ......................................... 15
4. Центральное и параллельное проецирования
в расширенном евклидовом пространстве ................................. 17
Параллельное проецирование плоскости на плоскость
в расширенном евклидовом пространстве ............................................. 17
Свойства параллельного проецирования плоскости
на плоскость в расширенном евклидовом пространстве ...................... 18
Центральное проецирование расширенного евклидова
пространства на плоскость ....................................................................... 19
Параллельное проецирование расширенного евклидова
пространства на плоскость ...................................................................... 21
5. Изображение фигур в центральной проекции на плоскости .... 22
6. Изображение фигур в параллельной проекции на плоскости .. 27
6.1. Изображение плоских фигур ............................................................ 27
6.2. Изображение пространственных фигур ........................................... 33
7. Полные изображения фигур расширенного евклидова
пространства на плоскости .......................................................... 44
8. Примеры полных изображений ................................................... 53
9. Метод внутреннего проецирования ............................................ 56
10. Сверхполные изображения ........................................................ 60
101
Стр.101
11. Неполные изображения.............................................................. 63
11.1. Коэффициент неполноты ................................................................ 63
11.2. Точечный базис ................................................................................ 68
11.3. Изображение системы точек общего
положения пространства .......................................................................... 70
12. Параллельное проецирование расширенного евклидова
n-пространства на плоскость произвольной размерности,
меньшей n ................................................................................... 72
13. Полные проекционные изображения фигур
пространства Sn на m-плоскости (m < n) .................................. 80
14. Неполные изображения фигур пространства Sn
на m-плоскости (m < n) ................................................................ 89
15. Точечная неполнота и точечный базис проекционного
изображения ................................................................................ 93
16. Неполные изображения как изображения оригиналов
разного числа измерений ........................................................... 95
Литература ...................................................................................... 100
102
Стр.102