Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. <...> П. Г. Демидова Кафедра математического моделирования И. С. Кащенко Асимптотическое разложение решений уравнений Методические указания Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по специальности Прикладная математика и информатика Ярославль 2011 УДК 517.52 ББК В16я73 К 31 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. <...> План 2010 / 2011 учебного года Рецензент кафедра математического моделирования Ярославского государственного университета им. <...> П. Г. Демидова Кащенко, И. С. Асимптотическое разложение решений К31 уравнений: метод. указания / И. С. Кащенко; Яросл. гос. ун-т им. <...> В методических указаниях описаны основные методы построения асимптотических приближений решений алгебраических уравнений: метод прямого разложения, метод диаграмм Ньютона; их использование подробно проиллюстрировано примерами. <...> Приведено большое количество задач для самостоятельного решения. <...> Задачи для самостоятельного решения Приложение Литература 33 37 41 3 4 ВВЕДЕНИЕ Если уравнение содержит малый параметр, то это нужно использовать. <...> Этот несколько расплывчатый термин объединяет классические методы Лапласа, метод стационарной фазы, метод перевала — для оценки интегралов, содержащих большой параметр, метод пограничного слоя — для исследования решений дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных) с малым параметром при всех или части старших производных, различные варианты метода осреднения для дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений, содержащих быстро колеблющиеся по времени и/или по пространству коэффициенты или свободные члены. <...> В методических указаниях описаны методы асимптотического разложения решений уравнений: метод прямого разложения по малому параметру и метод диаграмм Ньютона. <...> В первом <...>
Асимптотическое_разложение_решений_уравнений_Методические_указания.pdf
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Ярославский государственный университет
им. П. Г. Демидова
Кафедра математического моделирования
И. С. Кащенко
Асимптотическое разложение
решений уравнений
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по специальности
Прикладная математика и информатика
Ярославль 2011
Стр.1
УДК 517.52
ББК В16я73
К 31
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2010 / 2011 учебного года
Рецензент
кафедра математического моделирования
Ярославского государственного университета
им. П. Г. Демидова
Кащенко, И. С. Асимптотическое разложение решений
К31 уравнений: метод. указания / И. С. Кащенко; Яросл. гос.
ун-т им. П. Г. Демидова.—Ярославль: ЯрГУ, 2011. – 44 с.
В методических указаниях описаны основные методы
построения асимптотических приближений решений алгебраических
уравнений: метод прямого разложения, метод
диаграмм Ньютона; их использование подробно проиллюстрировано
примерами. Приведено большое количество
задач для самостоятельного решения.
Предназначены для студентов, обучающихся по специальности
010501.65 Прикладная математика и информатика
(дисциплина „Асимптотические методы“, блок ДС),
очной формы обучения.
УДК 517.52
ББК В16я73
Ярославский государственный университет
им. П. Г. Демидова, 2011
c
Стр.2
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
1. Некоторые определения
2. Прямое разложение по малому параметру
3. Метод диаграмм Ньютона
5
7
1.1. “о-малое” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Асимптотические последовательности и ряды . . .
1.3. Асимптотическое приближение решений уравнений 10
7
8
12
2.1. Решение уравнений рядами . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Ряд Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
20
3.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2. Определение главного члена разложения . . . . . . 21
3.3. Уточнение асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4. Теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5. Пример 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6. Пример 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. Задачи для самостоятельного решения
Приложение
Литература
33
37
41
3
Стр.3
ВВЕДЕНИЕ
Если уравнение содержит малый параметр, то это нужно использовать.
Именно нужно, не можно, не “приятно и полезно”,
а нужно. Действительно, очень часто бывает, что при решении
той или иной задачи как раз для малых значений параметра
(или для больших, что по сути сводится к тому же) все стандартные
методы отказывают. Обычно в таких случаях панацеей
оказываются асимптотические методы.
Этот несколько расплывчатый термин объединяет классические
методы Лапласа, метод стационарной фазы, метод
перевала — для оценки интегралов, содержащих большой параметр,
метод пограничного слоя — для исследования решений
дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных
производных) с малым параметром при всех или части
старших производных, различные варианты метода осреднения
для дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений,
содержащих быстро колеблющиеся по времени и/или по
пространству коэффициенты или свободные члены. Можно еще
назвать методы многомасштабных разложений, ряд специальных
методов для уравнений с медленно меняющимися параметрами,
для уравнений с сингулярностями и т. д. Надо сказать,
что классические методы находятся в постоянном развитии, их
приходится усовершенствовать для решения новых задач. Не
прекращается и процесс возникновения новых асимптотических
методов.
В методических указаниях описаны методы асимптотического
разложения решений уравнений: метод прямого разложения
по малому параметру и метод диаграмм Ньютона.
В первом разделе даются определения таких понятий, как
“о-малое”, асимптотическая последовательность, асимптотиче5
Стр.5